Theorem drngnzr 20848

Description: A division ring is a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
drngnzr	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem drngnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20834	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	drngunz 20847	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
5	3, 2	isnzr 20611	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
6	1, 4, 5	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6536  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  NzRingcnzr 20609  DivRingcdr 20827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-nzr 20610  df-drng 20829

This theorem is referenced by:  drngdomn  20849  rng1nfld  20882  isfieldidl  21386  islinds4  21985  drngidlhash  33741  drng0mxidl  33758  drngmxidl  33759  qsdrng  33779  drnglring  33782  ply1unit  33865  m1pmeq  33875  frlmdim  34001  ply1degltdimlem  34012  ply1degltdim  34013  fedgmul  34021  dimlssid  34022  extdgfialglem1  34082  minplyirred  34101  algextdeglem4  34110  rtelextdg2lem  34116  2sqr3minply  34170  cos9thpiminply  34178  qqhnm  34380  lindsdom  38265  lindsenlbs  38266  matunitlindflem2  38268  aks6d1c2lem4  42894  aks6d1c5lem3  42904  aks6d1c6lem1  42937  0prjspnlem  43355  drngprmrng  49105  isldepslvec2  49265  lmod1zrnlvec  49274  aacllem  50621