Theorem drngnzr 20633

Description: A division ring is a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
drngnzr	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem drngnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20621	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	drngunz 20632	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
5	3, 2	isnzr 20399	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
6	1, 4, 5	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6482  0_gc0g 17343  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  NzRingcnzr 20397  DivRingcdr 20614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-nzr 20398  df-drng 20616

This theorem is referenced by:  drngdomn  20634  rng1nfld  20664  islinds4  21742  drngidlhash  33371  drng0mxidl  33413  drngmxidl  33414  qsdrng  33434  ply1unit  33510  m1pmeq  33519  frlmdim  33578  ply1degltdimlem  33589  ply1degltdim  33590  fedgmul  33598  dimlssid  33599  extdgfialglem1  33659  minplyirred  33678  algextdeglem4  33687  rtelextdg2lem  33693  2sqr3minply  33747  cos9thpiminply  33755  qqhnm  33957  lindsdom  37594  lindsenlbs  37595  matunitlindflem2  37597  aks6d1c2lem4  42100  aks6d1c5lem3  42110  aks6d1c6lem1  42143  0prjspnlem  42596  isldepslvec2  48470  lmod1zrnlvec  48479  aacllem  49786