Theorem zrhre 33958

Description: The ℤRHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
zrhre	⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)

Proof of Theorem zrhre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11227	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		remulg 21552	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
4		zre 12584	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
5		ax-1rid 11191	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
7	3, 6	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = 𝑛)
8	7	mpteq2ia 5213	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛)
9		resubdrg 21553	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
10	9	simpri 485	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
11		drngring 20681	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
12		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
14		re1r 21558	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
15	12, 13, 14	zrhval2 21454	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)))
16	10, 11, 15	mp2b 10	. 2 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1))
17		mptresid 6035	. 2 ⊢ ( I ↾ ℤ) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛)
18	8, 16, 17	3eqtr4i 2767	1 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5198   I cid 5544   ↾ cres 5653  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℝcr 11120  1c1 11122   · cmul 11126  ℤcz 12580  ._gcmg 19035  Ringcrg 20178  SubRingcsubrg 20514  DivRingcdr 20674  ℂ_fldccnfld 21300  ℤRHomczrh 21445  ℝ_fldcrefld 21549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-addf 11200  ax-mulf 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8219  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-seq 14009  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-0g 17440  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20282  df-dvdsr 20302  df-unit 20303  df-invr 20333  df-dvr 20346  df-rhm 20417  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-cnfld 21301  df-zring 21393  df-zrh 21449  df-refld 21550

This theorem is referenced by:  qqhre  33959