Theorem zrhre 30665

Description: The ℤRHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
zrhre	⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)

Proof of Theorem zrhre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 20355	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2	1	simpri 481	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
3		drngring 19150	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
4		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
5		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
6		re1r 20360	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
7	4, 5, 6	zrhval2 20257	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)))
8	2, 3, 7	mp2b 10	. 2 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1))
9		1re 10378	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		remulg 20354	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
11	9, 10	mpan2 681	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
12		zre 11736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
13		ax-1rid 10344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
15	11, 14	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = 𝑛)
16	15	mpteq2ia 4977	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛)
17		mptresid 5714	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛) = ( I ↾ ℤ)
18	8, 16, 17	3eqtri 2806	1 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 4967   I cid 5262   ↾ cres 5359  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  1c1 10275   · cmul 10279  ℤcz 11732  ._gcmg 17931  Ringcrg 18938  DivRingcdr 19143  SubRingcsubrg 19172  ℂ_fldccnfld 20146  ℤRHomczrh 20248  ℝ_fldcrefld 20351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-fz 12648  df-seq 13124  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-mulg 17932  df-subg 17979  df-ghm 18046  df-cmn 18585  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-cring 18941  df-oppr 19014  df-dvdsr 19032  df-unit 19033  df-invr 19063  df-dvr 19074  df-rnghom 19108  df-drng 19145  df-subrg 19174  df-cnfld 20147  df-zring 20219  df-zrh 20252  df-refld 20352

This theorem is referenced by:  qqhre  30666