Theorem zrhre 33620

Description: The ℤRHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
zrhre	⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)

Proof of Theorem zrhre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		remulg 21538	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
3	1, 2	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
4		zre 12592	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
5		ax-1rid 11208	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
7	3, 6	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = 𝑛)
8	7	mpteq2ia 5251	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛)
9		resubdrg 21539	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
10	9	simpri 485	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
11		drngring 20630	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
12		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
13		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
14		re1r 21544	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
15	12, 13, 14	zrhval2 21433	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1)))
16	10, 11, 15	mp2b 10	. 2 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘ℝfld)1))
17		mptresid 6054	. 2 ⊢ ( I ↾ ℤ) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ 𝑛)
18	8, 16, 17	3eqtr4i 2766	1 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5231   I cid 5575   ↾ cres 5680  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11137  1c1 11139   · cmul 11143  ℤcz 12588  ._gcmg 19022  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20505  DivRingcdr 20623  ℂ_fldccnfld 21278  ℤRHomczrh 21424  ℝ_fldcrefld 21535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-refld 21536

This theorem is referenced by:  qqhre  33621