Theorem ig1prsp 26144

Description: Any ideal of polynomials over a division ring is generated by the ideal's canonical generator. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1prsp.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1prsp	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}))

Proof of Theorem ig1prsp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ig1pval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
3		ig1pcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
4	1, 2, 3	ig1pcl 26142	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
6	1, 2, 3, 5	ig1pdvds 26143	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)
7	6	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)
8	7	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)
9		drngring 20671	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	1	ply1ring 22190	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ Ring)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	14, 3	lidlss 21169	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
17	16, 4	sseldd 3934	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
18		ig1prsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
19	14, 3, 18, 5	lidldvgen 21291	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}) ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)))
20	12, 13, 17, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}) ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)))
21	4, 8, 20	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17138  Ringcrg 20170  ∥_rcdsr 20292  DivRingcdr 20664  LIdealclidl 21163  RSpancrsp 21164  Poly₁cpl1 22119  idlGen_1pcig1p 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166  df-cnfld 21312  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-coe1 22125  df-mdeg 26018  df-deg1 26019  df-mon1 26094  df-uc1p 26095  df-q1p 26096  df-r1p 26097  df-ig1p 26098

This theorem is referenced by:  ply1lpir  26145  ply1annig1p  33863