Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1prsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1prsp 24822
 Description: Any ideal of polynomials over a division ring is generated by the ideal's canonical generator. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1prsp.k 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1prsp ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = (𝐾‘{(𝐺𝐼)}))

Proof of Theorem ig1prsp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ig1pval.g . . 3 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
3 ig1pcl.u . . 3 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
41, 2, 3ig1pcl 24820 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
5 eqid 2798 . . . . 5 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
61, 2, 3, 5ig1pdvds 24821 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝑥𝐼) → (𝐺𝐼)(∥r𝑃)𝑥)
763expa 1115 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝐼)(∥r𝑃)𝑥)
87ralrimiva 3149 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝐼)(∥r𝑃)𝑥)
9 drngring 19523 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
101ply1ring 20918 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
1211adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → 𝑃 ∈ Ring)
13 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼𝑈)
14 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1514, 3lidlss 19997 . . . . 5 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
1615adantl 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
1716, 4sseldd 3918 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
18 ig1prsp.k . . . 4 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
1914, 3, 18, 5lidldvgen 20042 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐼 = (𝐾‘{(𝐺𝐼)}) ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝐼)(∥r𝑃)𝑥)))
2012, 13, 17, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼 = (𝐾‘{(𝐺𝐼)}) ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝐼)(∥r𝑃)𝑥)))
214, 8, 20mpbir2and 712 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = (𝐾‘{(𝐺𝐼)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3883  {csn 4528   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  Basecbs 16495  Ringcrg 19311  ∥rcdsr 19405  DivRingcdr 19516  LIdealclidl 19956  RSpancrsp 19957  Poly1cpl1 20847  idlGen1pcig1p 24774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mhm 17968  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-subg 18289  df-ghm 18369  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-cring 19314  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-drng 19518  df-subrg 19547  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-lsp 19758  df-sra 19958  df-rgmod 19959  df-lidl 19960  df-rsp 19961  df-rlreg 20070  df-cnfld 20113  df-ascl 20566  df-psr 20617  df-mvr 20618  df-mpl 20619  df-opsr 20621  df-psr1 20850  df-vr1 20851  df-ply1 20852  df-coe1 20853  df-mdeg 24697  df-deg1 24698  df-mon1 24775  df-uc1p 24776  df-q1p 24777  df-r1p 24778  df-ig1p 24779 This theorem is referenced by:  ply1lpir  24823
 Copyright terms: Public domain W3C validator