Theorem ig1prsp 26240

Description: Any ideal of polynomials over a division ring is generated by the ideal's canonical generator. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1prsp.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1prsp	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}))

Proof of Theorem ig1prsp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ig1pval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
3		ig1pcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
4	1, 2, 3	ig1pcl 26238	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
6	1, 2, 3, 5	ig1pdvds 26239	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)
7	6	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)
8	7	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)
9		drngring 20758	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	1	ply1ring 22270	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ Ring)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	14, 3	lidlss 21245	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
17	16, 4	sseldd 4009	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃))
18		ig1prsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
19	14, 3, 18, 5	lidldvgen 21367	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}) ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)))
20	12, 13, 17, 19	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}) ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝐼)(∥r‘𝑃)𝑥)))
21	4, 8, 20	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = (𝐾‘{(𝐺‘𝐼)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  Ringcrg 20260  ∥_rcdsr 20380  DivRingcdr 20751  LIdealclidl 21239  RSpancrsp 21240  Poly₁cpl1 22199  idlGen_1pcig1p 26189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-cnfld 21388  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-mon1 26190  df-uc1p 26191  df-q1p 26192  df-r1p 26193  df-ig1p 26194

This theorem is referenced by:  ply1lpir  26241  ply1annig1p  33697