Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh0 32393
Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh0 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))

Proof of Theorem qqh0
StepHypRef Expression
1 zssq 12835 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 0z 12468 . . . 4 0 ∈ ℤ
31, 2sselii 3939 . . 3 0 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 32392 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
83, 7mpan2 689 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9 1z 12491 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
10 gcd0id 16353 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 gcd 1) = (abs‘1)
12 abs1 15136 . . . . . . . . . 10 (abs‘1) = 1
1311, 12eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (0 gcd 1) = 1
14 0cn 11105 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
1514div1i 11841 . . . . . . . . . 10 (0 / 1) = 0
1615eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 0 = (0 / 1)
1713, 16pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18 1nn 12122 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
19 qnumdenbi 16573 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
203, 2, 18, 19mp3an 1461 . . . . . . . 8 (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
2117, 20mpbi 229 . . . . . . 7 ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
2221simpli 484 . . . . . 6 (numer‘0) = 0
2322fveq2i 6842 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
2421simpri 486 . . . . . 6 (denom‘0) = 1
2524fveq2i 6842 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
2623, 25oveq12i 7363 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27 drngring 20139 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
296, 28zrh0 20861 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g𝑅))
30 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
316, 30zrh1 20860 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
3229, 31oveq12d 7369 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
3327, 32syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
34 drnggrp 20142 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
354, 28grpidcl 18732 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
374, 5, 30dvr1 20065 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3827, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3933, 38eqtrd 2776 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g𝑅))
4026, 39eqtrid 2788 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
4140adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
428, 41eqtrd 2776 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010   / cdiv 11770  cn 12111  cz 12457  cq 12827  abscabs 15073   gcd cgcd 16328  numercnumer 16562  denomcdenom 16563  Basecbs 17037  0gc0g 17275  Grpcgrp 18702  1rcur 19866  Ringcrg 19912  /rcdvr 20058  DivRingcdr 20132  ℤRHomczrh 20847  chrcchr 20849  ℚHomcqqh 32381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-dvds 16091  df-gcd 16329  df-numer 16564  df-denom 16565  df-gz 16756  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-0g 17277  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-mhm 18555  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-mulg 18826  df-subg 18878  df-ghm 18959  df-od 19263  df-cmn 19517  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-cring 19915  df-oppr 19996  df-dvdsr 20017  df-unit 20018  df-invr 20048  df-dvr 20059  df-rnghom 20093  df-drng 20134  df-subrg 20167  df-cnfld 20744  df-zring 20817  df-zrh 20851  df-chr 20853  df-qqh 32382
This theorem is referenced by:  qqhcn  32400  rrh0  32424
  Copyright terms: Public domain W3C validator