Theorem qqh0 34494

Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh0	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem qqh0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 13005	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		0z 12626	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3928	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 34493	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
8	3, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9		1z 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		gcd0id 16609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 gcd 1) = (abs‘1)
12		abs1 15384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 gcd 1) = 1
14		0cn 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	div1i 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 1) = 0
16	15	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0 / 1)
17	13, 16	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18		1nn 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		qnumdenbi 16835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
20	3, 2, 18, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
21	17, 20	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
22	21	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ (numer‘0) = 0
23	22	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
24	21	simpri 491	. . . . . 6 ⊢ (denom‘0) = 1
25	24	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
26	23, 25	oveq12i 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27		drngring 20897	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	6, 28	zrh0 21726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
30		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	6, 30	zrh1 21725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
32	29, 31	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
33	27, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
34		drnggrp 20900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
35	4, 28	grpidcl 19089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
36	34, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	4, 5, 30	dvr1 20548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	27, 36, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	33, 38	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g‘𝑅))
40	26, 39	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
41	40	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
42	8, 41	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   / cdiv 11895  ℕcn 12257  ℤcz 12615  ℚcq 12997  abscabs 15321   gcd cgcd 16584  numercnumer 16824  denomcdenom 16825  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  Grpcgrp 19057  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  /_rcdvr 20541  DivRingcdr 20890  ℤRHomczrh 21712  chrcchr 21714  ℚHomcqqh 34480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-numer 16826  df-denom 16827  df-gz 17022  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-od 19655  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-drng 20892  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-zrh 21716  df-chr 21718  df-qqh 34481

This theorem is used by:  qqhcn  34501  rrh0  34525