Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh0 30875
Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh0 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))

Proof of Theorem qqh0
StepHypRef Expression
1 zssq 12170 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 0z 11804 . . . 4 0 ∈ ℤ
31, 2sselii 3855 . . 3 0 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 30874 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
83, 7mpan2 678 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9 1z 11825 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
10 gcd0id 15727 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 gcd 1) = (abs‘1)
12 abs1 14518 . . . . . . . . . 10 (abs‘1) = 1
1311, 12eqtri 2802 . . . . . . . . 9 (0 gcd 1) = 1
14 0cn 10431 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
1514div1i 11169 . . . . . . . . . 10 (0 / 1) = 0
1615eqcomi 2787 . . . . . . . . 9 0 = (0 / 1)
1713, 16pm3.2i 463 . . . . . . . 8 ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18 1nn 11452 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
19 qnumdenbi 15940 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
203, 2, 18, 19mp3an 1440 . . . . . . . 8 (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
2117, 20mpbi 222 . . . . . . 7 ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
2221simpli 476 . . . . . 6 (numer‘0) = 0
2322fveq2i 6502 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
2421simpri 478 . . . . . 6 (denom‘0) = 1
2524fveq2i 6502 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
2623, 25oveq12i 6988 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27 drngring 19232 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28 eqid 2778 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
296, 28zrh0 20363 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g𝑅))
30 eqid 2778 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
316, 30zrh1 20362 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
3229, 31oveq12d 6994 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
3327, 32syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
34 drnggrp 19233 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
354, 28grpidcl 17919 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
374, 5, 30dvr1 19162 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3827, 36, 37syl2anc 576 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3933, 38eqtrd 2814 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g𝑅))
4026, 39syl5eq 2826 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
4140adantr 473 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
428, 41eqtrd 2814 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336   / cdiv 11098  cn 11439  cz 11793  cq 12162  abscabs 14454   gcd cgcd 15703  numercnumer 15929  denomcdenom 15930  Basecbs 16339  0gc0g 16569  Grpcgrp 17891  1rcur 18974  Ringcrg 19020  /rcdvr 19155  DivRingcdr 19225  ℤRHomczrh 20349  chrcchr 20351  ℚHomcqqh 30863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-numer 15931  df-denom 15932  df-gz 16122  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-od 18418  df-cmn 18668  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-rnghom 19190  df-drng 19227  df-subrg 19256  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353  df-chr 20355  df-qqh 30864
This theorem is referenced by:  qqhcn  30882  rrh0  30906
  Copyright terms: Public domain W3C validator