Theorem qqh0 33799

Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh0	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem qqh0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12992	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		0z 12621	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3976	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 33798	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
8	3, 7	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9		1z 12644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		gcd0id 16519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 gcd 1) = (abs‘1)
12		abs1 15302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 gcd 1) = 1
14		0cn 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	div1i 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 1) = 0
16	15	eqcomi 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0 / 1)
17	13, 16	pm3.2i 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18		1nn 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		qnumdenbi 16746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
20	3, 2, 18, 19	mp3an 1458	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
21	17, 20	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
22	21	simpli 482	. . . . . 6 ⊢ (numer‘0) = 0
23	22	fveq2i 6904	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
24	21	simpri 484	. . . . . 6 ⊢ (denom‘0) = 1
25	24	fveq2i 6904	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
26	23, 25	oveq12i 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27		drngring 20714	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	6, 28	zrh0 21503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
30		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	6, 30	zrh1 21502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
32	29, 31	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
33	27, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
34		drnggrp 20717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
35	4, 28	grpidcl 18960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	4, 5, 30	dvr1 20389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	27, 36, 37	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	33, 38	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g‘𝑅))
40	26, 39	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
41	40	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
42	8, 41	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   / cdiv 11921  ℕcn 12264  ℤcz 12610  ℚcq 12984  abscabs 15239   gcd cgcd 16494  numercnumer 16735  denomcdenom 16736  Basecbs 17213  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18928  1_rcur 20164  Ringcrg 20216  /_rcdvr 20382  DivRingcdr 20707  ℤRHomczrh 21489  chrcchr 21491  ℚHomcqqh 33787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-numer 16737  df-denom 16738  df-gz 16932  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-od 19526  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-cnfld 21344  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-chr 21495  df-qqh 33788

This theorem is referenced by:  qqhcn  33806  rrh0  33830