Theorem qqh0 34397

Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh0	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem qqh0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12991	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		0z 12613	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3935	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 34396	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
8	3, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9		1z 12635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		gcd0id 16594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 gcd 1) = (abs‘1)
12		abs1 15367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 gcd 1) = 1
14		0cn 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	div1i 11954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 1) = 0
16	15	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0 / 1)
17	13, 16	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18		1nn 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		qnumdenbi 16820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
20	3, 2, 18, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
21	17, 20	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
22	21	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ (numer‘0) = 0
23	22	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
24	21	simpri 491	. . . . . 6 ⊢ (denom‘0) = 1
25	24	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
26	23, 25	oveq12i 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27		drngring 20863	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	6, 28	zrh0 21692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
30		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	6, 30	zrh1 21691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
32	29, 31	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
33	27, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
34		drnggrp 20866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
35	4, 28	grpidcl 19055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
36	34, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	4, 5, 30	dvr1 20514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	27, 36, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	33, 38	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g‘𝑅))
40	26, 39	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
41	40	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
42	8, 41	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ℚcq 12983  abscabs 15304   gcd cgcd 16569  numercnumer 16809  denomcdenom 16810  Basecbs 17286  0_gc0g 17509  Grpcgrp 19023  1_rcur 20286  Ringcrg 20338  /_rcdvr 20507  DivRingcdr 20856  ℤRHomczrh 21678  chrcchr 21680  ℚHomcqqh 34383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-gcd 16570  df-numer 16811  df-denom 16812  df-gz 17007  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-od 19621  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-drng 20858  df-cnfld 21552  df-zring 21626  df-zrh 21682  df-chr 21684  df-qqh 34384

This theorem is used by:  qqhcn  34404  rrh0  34428