Theorem qqh0 34609

Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh0	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem qqh0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 13076	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		0z 12697	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3928	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 34608	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
8	3, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9		1z 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		gcd0id 16684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 gcd 1) = (abs‘1)
12		abs1 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 gcd 1) = 1
14		0cn 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	div1i 12038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 1) = 0
16	15	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0 / 1)
17	13, 16	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18		1nn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		qnumdenbi 16913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
20	3, 2, 18, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
21	17, 20	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
22	21	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ (numer‘0) = 0
23	22	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
24	21	simpri 491	. . . . . 6 ⊢ (denom‘0) = 1
25	24	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
26	23, 25	oveq12i 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27		drngring 20980	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	6, 28	zrh0 21812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
30		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	6, 30	zrh1 21811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
32	29, 31	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
33	27, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
34		drnggrp 20983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
35	4, 28	grpidcl 19169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
36	34, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	4, 5, 30	dvr1 20630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	27, 36, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	33, 38	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g‘𝑅))
40	26, 39	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
41	40	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
42	8, 41	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℤcz 12686  ℚcq 13068  abscabs 15394   gcd cgcd 16657  numercnumer 16902  denomcdenom 16903  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  /_rcdvr 20623  DivRingcdr 20973  ℤRHomczrh 21798  chrcchr 21800  ℚHomcqqh 34595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-numer 16904  df-denom 16905  df-gz 17101  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-od 19735  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-rhm 20695  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-drng 20975  df-cnfld 21672  df-zring 21746  df-zrh 21802  df-chr 21804  df-qqh 34596

This theorem is used by:  qqhcn  34616  rrh0  34640