Theorem qqh0 30875

Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqh0	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem qqh0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12170	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		0z 11804	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	sselii 3855	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	4, 5, 6	qqhvval 30874	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
8	3, 7	mpan2 678	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9		1z 11825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		gcd0id 15727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 gcd 1) = (abs‘1)
12		abs1 14518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	eqtri 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 gcd 1) = 1
14		0cn 10431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	div1i 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 1) = 0
16	15	eqcomi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0 / 1)
17	13, 16	pm3.2i 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18		1nn 11452	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		qnumdenbi 15940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
20	3, 2, 18, 19	mp3an 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
21	17, 20	mpbi 222	. . . . . . 7 ⊢ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
22	21	simpli 476	. . . . . 6 ⊢ (numer‘0) = 0
23	22	fveq2i 6502	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
24	21	simpri 478	. . . . . 6 ⊢ (denom‘0) = 1
25	24	fveq2i 6502	. . . . 5 ⊢ (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
26	23, 25	oveq12i 6988	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27		drngring 19232	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	6, 28	zrh0 20363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g‘𝑅))
30		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	6, 30	zrh1 20362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑅))
32	29, 31	oveq12d 6994	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
33	27, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)))
34		drnggrp 19233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
35	4, 28	grpidcl 17919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	4, 5, 30	dvr1 19162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	27, 36, 37	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((0g‘𝑅) / (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	33, 38	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g‘𝑅))
40	26, 39	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
41	40	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g‘𝑅))
42	8, 41	eqtrd 2814	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336   / cdiv 11098  ℕcn 11439  ℤcz 11793  ℚcq 12162  abscabs 14454   gcd cgcd 15703  numercnumer 15929  denomcdenom 15930  Basecbs 16339  0_gc0g 16569  Grpcgrp 17891  1_rcur 18974  Ringcrg 19020  /_rcdvr 19155  DivRingcdr 19225  ℤRHomczrh 20349  chrcchr 20351  ℚHomcqqh 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-numer 15931  df-denom 15932  df-gz 16122  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-od 18418  df-cmn 18668  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-rnghom 19190  df-drng 19227  df-subrg 19256  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353  df-chr 20355  df-qqh 30864

This theorem is referenced by:  qqhcn  30882  rrh0  30906