Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rearchi 32185
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 12415. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi โ„fld โˆˆ Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 32183 . . 3 โ„fld โˆˆ oField
2 rebase 21026 . . . 4 โ„ = (Baseโ€˜โ„fld)
3 eqid 2733 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜โ„fld) = (โ„คRHomโ€˜โ„fld)
4 relt 21035 . . . 4 < = (ltโ€˜โ„fld)
52, 3, 4isarchiofld 32159 . . 3 (โ„fld โˆˆ oField โ†’ (โ„fld โˆˆ Archi โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (โ„fld โˆˆ Archi โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›))
7 arch 12415 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ๐‘›)
8 nnz 12525 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
9 refld 21039 . . . . . . . . 9 โ„fld โˆˆ Field
10 isfld 20208 . . . . . . . . . 10 (โ„fld โˆˆ Field โ†” (โ„fld โˆˆ DivRing โˆง โ„fld โˆˆ CRing))
1110simplbi 499 . . . . . . . . 9 (โ„fld โˆˆ Field โ†’ โ„fld โˆˆ DivRing)
12 drngring 20204 . . . . . . . . 9 (โ„fld โˆˆ DivRing โ†’ โ„fld โˆˆ Ring)
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8 โ„fld โˆˆ Ring
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.gโ€˜โ„fld) = (.gโ€˜โ„fld)
15 re1r 21033 . . . . . . . . 9 1 = (1rโ€˜โ„fld)
163, 14, 15zrhmulg 20926 . . . . . . . 8 ((โ„fld โˆˆ Ring โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) = (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1))
1713, 16mpan 689 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) = (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1))
18 1re 11160 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
19 remulg 21027 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1) = (๐‘› ยท 1))
2018, 19mpan2 690 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1) = (๐‘› ยท 1))
21 zcn 12509 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2221mulid1d 11177 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท 1) = ๐‘›)
2317, 20, 223eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) = ๐‘›)
2423breq2d 5118 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) โ†” ๐‘ฅ < ๐‘›))
258, 24syl 17 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) โ†” ๐‘ฅ < ๐‘›))
2625rexbiia 3092 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ๐‘›)
277, 26sylibr 233 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›))
286, 27mprgbir 3068 1 โ„fld โˆˆ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  .gcmg 18877  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  DivRingcdr 20197  Fieldcfield 20198  โ„คRHomczrh 20916  โ„fldcrefld 21024  Archicarchi 32062  oFieldcofld 32138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-toset 18311  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-refld 21025  df-omnd 31956  df-ogrp 31957  df-inftm 32063  df-archi 32064  df-orng 32139  df-ofld 32140
This theorem is referenced by:  nn0archi  32186
  Copyright terms: Public domain W3C validator