Theorem rearchi 31448

Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 12160. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rearchi	⊢ ℝfld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reofld 31446	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oField
2		rebase 20723	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4		relt 20732	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝfld)
5	2, 3, 4	isarchiofld 31418	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7		arch 12160	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8		nnz 12272	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9		refld 20736	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ Field
10		isfld 19915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
11	10	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12		drngring 19913	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
13	9, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ Ring
14		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15		re1r 20730	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
16	3, 14, 15	zrhmulg 20623	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
17	13, 16	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18		1re 10906	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		remulg 20724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	mpan2 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21		zcn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	mulid1d 10923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
23	17, 20, 22	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
24	23	breq2d 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
25	8, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
26	25	rexbiia 3176	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
27	7, 26	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
28	6, 27	mprgbir 3078	1 ⊢ ℝfld ∈ Archi

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ._gcmg 18615  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  DivRingcdr 19906  Fieldcfield 19907  ℤRHomczrh 20613  ℝ_fldcrefld 20721  Archicarchi 31333  oFieldcofld 31397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-toset 18050  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-refld 20722  df-omnd 31227  df-ogrp 31228  df-inftm 31334  df-archi 31335  df-orng 31398  df-ofld 31399

This theorem is referenced by:  nn0archi  31449