Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rearchi 33082
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 12507. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi โ„fld โˆˆ Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 33080 . . 3 โ„fld โˆˆ oField
2 rebase 21545 . . . 4 โ„ = (Baseโ€˜โ„fld)
3 eqid 2728 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜โ„fld) = (โ„คRHomโ€˜โ„fld)
4 relt 21554 . . . 4 < = (ltโ€˜โ„fld)
52, 3, 4isarchiofld 33056 . . 3 (โ„fld โˆˆ oField โ†’ (โ„fld โˆˆ Archi โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (โ„fld โˆˆ Archi โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›))
7 arch 12507 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ๐‘›)
8 nnz 12617 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
9 refld 21558 . . . . . . . . 9 โ„fld โˆˆ Field
10 isfld 20642 . . . . . . . . . 10 (โ„fld โˆˆ Field โ†” (โ„fld โˆˆ DivRing โˆง โ„fld โˆˆ CRing))
1110simplbi 496 . . . . . . . . 9 (โ„fld โˆˆ Field โ†’ โ„fld โˆˆ DivRing)
12 drngring 20638 . . . . . . . . 9 (โ„fld โˆˆ DivRing โ†’ โ„fld โˆˆ Ring)
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8 โ„fld โˆˆ Ring
14 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (.gโ€˜โ„fld) = (.gโ€˜โ„fld)
15 re1r 21552 . . . . . . . . 9 1 = (1rโ€˜โ„fld)
163, 14, 15zrhmulg 21442 . . . . . . . 8 ((โ„fld โˆˆ Ring โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) = (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1))
1713, 16mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) = (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1))
18 1re 11252 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
19 remulg 21546 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1) = (๐‘› ยท 1))
2018, 19mpan2 689 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„fld)1) = (๐‘› ยท 1))
21 zcn 12601 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2221mulridd 11269 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท 1) = ๐‘›)
2317, 20, 223eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) = ๐‘›)
2423breq2d 5164 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) โ†” ๐‘ฅ < ๐‘›))
258, 24syl 17 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) โ†” ๐‘ฅ < ๐‘›))
2625rexbiia 3089 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ๐‘›)
277, 26sylibr 233 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฅ < ((โ„คRHomโ€˜โ„fld)โ€˜๐‘›))
286, 27mprgbir 3065 1 โ„fld โˆˆ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  1c1 11147   ยท cmul 11151   < clt 11286  โ„•cn 12250  โ„คcz 12596  .gcmg 19030  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  DivRingcdr 20631  Fieldcfield 20632  โ„คRHomczrh 21432  โ„fldcrefld 21543  Archicarchi 32906  oFieldcofld 33035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-toset 18416  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-refld 21544  df-omnd 32800  df-ogrp 32801  df-inftm 32907  df-archi 32908  df-orng 33036  df-ofld 33037
This theorem is referenced by:  nn0archi  33083
  Copyright terms: Public domain W3C validator