Theorem rearchi 30966

Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 11882. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rearchi	⊢ ℝfld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reofld 30964	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oField
2		rebase 20295	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4		relt 20304	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝfld)
5	2, 3, 4	isarchiofld 30941	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7		arch 11882	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8		nnz 11992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9		refld 20308	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ Field
10		isfld 19504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
11	10	simplbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12		drngring 19502	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
13	9, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ Ring
14		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15		re1r 20302	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
16	3, 14, 15	zrhmulg 20203	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
17	13, 16	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18		1re 10630	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		remulg 20296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21		zcn 11974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	mulid1d 10647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
23	17, 20, 22	3eqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
24	23	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
25	8, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
26	25	rexbiia 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
27	7, 26	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
28	6, 27	mprgbir 3121	1 ⊢ ℝfld ∈ Archi

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ._gcmg 18216  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  DivRingcdr 19495  Fieldcfield 19496  ℤRHomczrh 20193  ℝ_fldcrefld 20293  Archicarchi 30856  oFieldcofld 30920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-toset 17636  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-refld 20294  df-omnd 30750  df-ogrp 30751  df-inftm 30857  df-archi 30858  df-orng 30921  df-ofld 30922

This theorem is referenced by:  nn0archi  30967