Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rearchi 31554
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 12240. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi fld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 31552 . . 3 fld ∈ oField
2 rebase 20821 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
3 eqid 2738 . . . 4 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4 relt 20830 . . . 4 < = (lt‘ℝfld)
52, 3, 4isarchiofld 31524 . . 3 (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7 arch 12240 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8 nnz 12352 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9 refld 20834 . . . . . . . . 9 fld ∈ Field
10 isfld 20010 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
1110simplbi 498 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12 drngring 20008 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
14 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15 re1r 20828 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℝfld)
163, 14, 15zrhmulg 20721 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
1713, 16mpan 687 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18 1re 10985 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
19 remulg 20822 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
2018, 19mpan2 688 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21 zcn 12334 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
2221mulid1d 11002 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
2317, 20, 223eqtrd 2782 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
2423breq2d 5085 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
258, 24syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
2625rexbiia 3178 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
277, 26sylibr 233 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
286, 27mprgbir 3079 1 fld ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  cr 10880  1c1 10882   · cmul 10886   < clt 11019  cn 11983  cz 12329  .gcmg 18710  Ringcrg 19793  CRingccrg 19794  DivRingcdr 20001  Fieldcfield 20002  ℤRHomczrh 20711  fldcrefld 20819  Archicarchi 31439  oFieldcofld 31503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-seq 13732  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-0g 17162  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-toset 18145  df-ps 18294  df-tsr 18295  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-cmn 19398  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-cring 19796  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-rnghom 19969  df-drng 20003  df-field 20004  df-subrg 20032  df-cnfld 20608  df-zring 20681  df-zrh 20715  df-refld 20820  df-omnd 31333  df-ogrp 31334  df-inftm 31440  df-archi 31441  df-orng 31504  df-ofld 31505
This theorem is referenced by:  nn0archi  31555
  Copyright terms: Public domain W3C validator