Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rearchi 30842
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 11882. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi fld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 30840 . . 3 fld ∈ oField
2 rebase 20678 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
3 eqid 2818 . . . 4 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4 relt 20687 . . . 4 < = (lt‘ℝfld)
52, 3, 4isarchiofld 30817 . . 3 (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7 arch 11882 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8 nnz 11992 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9 refld 20691 . . . . . . . . 9 fld ∈ Field
10 isfld 19440 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
1110simplbi 498 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12 drngring 19438 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
14 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15 re1r 20685 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℝfld)
163, 14, 15zrhmulg 20585 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
1713, 16mpan 686 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18 1re 10629 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
19 remulg 20679 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
2018, 19mpan2 687 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21 zcn 11974 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
2221mulid1d 10646 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
2317, 20, 223eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
2423breq2d 5069 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
258, 24syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
2625rexbiia 3243 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
277, 26sylibr 235 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
286, 27mprgbir 3150 1 fld ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cn 11626  cz 11969  .gcmg 18162  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  DivRingcdr 19431  Fieldcfield 19432  ℤRHomczrh 20575  fldcrefld 20676  Archicarchi 30733  oFieldcofld 30796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-toset 17632  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-refld 20677  df-omnd 30627  df-ogrp 30628  df-inftm 30734  df-archi 30735  df-orng 30797  df-ofld 30798
This theorem is referenced by:  nn0archi  30843
  Copyright terms: Public domain W3C validator