Theorem rearchi 33429

Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 12425. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rearchi	⊢ ℝfld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reofld 33426	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oField
2		rebase 21581	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4		relt 21590	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝfld)
5	2, 3, 4	isarchiofld 33280	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7		arch 12425	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8		nnz 12536	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9		refld 21594	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ Field
10		isfld 20712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
11	10	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12		drngring 20708	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
13	9, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ Ring
14		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15		re1r 21588	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
16	3, 14, 15	zrhmulg 21484	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
17	13, 16	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18		1re 11135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		remulg 21582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	mpan2 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21		zcn 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
23	17, 20, 22	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
24	23	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
25	8, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
26	25	rexbiia 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
27	7, 26	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
28	6, 27	mprgbir 3060	1 ⊢ ℝfld ∈ Archi

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ._gcmg 19034  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  DivRingcdr 20701  Fieldcfield 20702  oFieldcofld 20830  ℤRHomczrh 21474  ℝ_fldcrefld 21579  Archicarchi 33258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-toset 18372  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-omnd 20087  df-ogrp 20088  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-field 20704  df-orng 20831  df-ofld 20832  df-cnfld 21348  df-zring 21422  df-zrh 21478  df-refld 21580  df-inftm 33259  df-archi 33260

This theorem is referenced by:  nn0archi  33430