Theorem rearchi 33354

Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 12521. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rearchi	⊢ ℝfld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reofld 33352	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oField
2		rebase 21642	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4		relt 21651	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝfld)
5	2, 3, 4	isarchiofld 33327	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7		arch 12521	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8		nnz 12632	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9		refld 21655	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ Field
10		isfld 20757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
11	10	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12		drngring 20753	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
13	9, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ Ring
14		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15		re1r 21649	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
16	3, 14, 15	zrhmulg 21538	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
17	13, 16	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18		1re 11259	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		remulg 21643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21		zcn 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
23	17, 20, 22	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
24	23	breq2d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
25	8, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
26	25	rexbiia 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
27	7, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
28	6, 27	mprgbir 3066	1 ⊢ ℝfld ∈ Archi

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ._gcmg 19098  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747  ℤRHomczrh 21528  ℝ_fldcrefld 21640  Archicarchi 33167  oFieldcofld 33306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-toset 18475  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-refld 21641  df-omnd 33059  df-ogrp 33060  df-inftm 33168  df-archi 33169  df-orng 33307  df-ofld 33308

This theorem is referenced by:  nn0archi  33355