Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rearchi 30951
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 11894. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi fld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 30949 . . 3 fld ∈ oField
2 rebase 20753 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
3 eqid 2824 . . . 4 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4 relt 20762 . . . 4 < = (lt‘ℝfld)
52, 3, 4isarchiofld 30926 . . 3 (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7 arch 11894 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8 nnz 12004 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9 refld 20766 . . . . . . . . 9 fld ∈ Field
10 isfld 19514 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
1110simplbi 501 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12 drngring 19512 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
14 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15 re1r 20760 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℝfld)
163, 14, 15zrhmulg 20660 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
1713, 16mpan 689 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18 1re 10640 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
19 remulg 20754 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
2018, 19mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21 zcn 11986 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
2221mulid1d 10657 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
2317, 20, 223eqtrd 2863 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
2423breq2d 5065 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
258, 24syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
2625rexbiia 3241 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
277, 26sylibr 237 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
286, 27mprgbir 3148 1 fld ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  cr 10535  1c1 10537   · cmul 10541   < clt 10674  cn 11637  cz 11981  .gcmg 18227  Ringcrg 19300  CRingccrg 19301  DivRingcdr 19505  Fieldcfield 19506  ℤRHomczrh 20650  fldcrefld 20751  Archicarchi 30841  oFieldcofld 30905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-seq 13377  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-toset 17647  df-ps 17813  df-tsr 17814  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cmn 18911  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-rnghom 19473  df-drng 19507  df-field 19508  df-subrg 19536  df-cnfld 20549  df-zring 20621  df-zrh 20654  df-refld 20752  df-omnd 30735  df-ogrp 30736  df-inftm 30842  df-archi 30843  df-orng 30906  df-ofld 30907
This theorem is referenced by:  nn0archi  30952
  Copyright terms: Public domain W3C validator