Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rearchi 30358
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 11577. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi fld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 30356 . . 3 fld ∈ oField
2 rebase 20275 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
3 eqid 2799 . . . 4 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4 relt 20284 . . . 4 < = (lt‘ℝfld)
52, 3, 4isarchiofld 30333 . . 3 (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7 arch 11577 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8 nnz 11689 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9 refld 20288 . . . . . . . . 9 fld ∈ Field
10 isfld 19074 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
1110simplbi 492 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12 drngring 19072 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
14 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15 re1r 20282 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℝfld)
163, 14, 15zrhmulg 20180 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
1713, 16mpan 682 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18 1re 10328 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
19 remulg 20276 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
2018, 19mpan2 683 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21 zcn 11671 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
2221mulid1d 10346 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
2317, 20, 223eqtrd 2837 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
2423breq2d 4855 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
258, 24syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
2625rexbiia 3221 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
277, 26sylibr 226 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
286, 27mprgbir 3108 1 fld ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  1c1 10225   · cmul 10229   < clt 10363  cn 11312  cz 11666  .gcmg 17856  Ringcrg 18863  CRingccrg 18864  DivRingcdr 19065  Fieldcfield 19066  ℤRHomczrh 20170  fldcrefld 20273  Archicarchi 30247  oFieldcofld 30312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-toset 17349  df-ps 17515  df-tsr 17516  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-rnghom 19033  df-drng 19067  df-field 19068  df-subrg 19096  df-cnfld 20069  df-zring 20141  df-zrh 20174  df-refld 20274  df-omnd 30215  df-ogrp 30216  df-inftm 30248  df-archi 30249  df-orng 30313  df-ofld 30314
This theorem is referenced by:  nn0archi  30359
  Copyright terms: Public domain W3C validator