![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rearchi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 12507. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
rearchi | โข โfld โ Archi |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | reofld 33080 | . . 3 โข โfld โ oField | |
2 | rebase 21545 | . . . 4 โข โ = (Baseโโfld) | |
3 | eqid 2728 | . . . 4 โข (โคRHomโโfld) = (โคRHomโโfld) | |
4 | relt 21554 | . . . 4 โข < = (ltโโfld) | |
5 | 2, 3, 4 | isarchiofld 33056 | . . 3 โข (โfld โ oField โ (โfld โ Archi โ โ๐ฅ โ โ โ๐ โ โ ๐ฅ < ((โคRHomโโfld)โ๐))) |
6 | 1, 5 | ax-mp 5 | . 2 โข (โfld โ Archi โ โ๐ฅ โ โ โ๐ โ โ ๐ฅ < ((โคRHomโโfld)โ๐)) |
7 | arch 12507 | . . 3 โข (๐ฅ โ โ โ โ๐ โ โ ๐ฅ < ๐) | |
8 | nnz 12617 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | |
9 | refld 21558 | . . . . . . . . 9 โข โfld โ Field | |
10 | isfld 20642 | . . . . . . . . . 10 โข (โfld โ Field โ (โfld โ DivRing โง โfld โ CRing)) | |
11 | 10 | simplbi 496 | . . . . . . . . 9 โข (โfld โ Field โ โfld โ DivRing) |
12 | drngring 20638 | . . . . . . . . 9 โข (โfld โ DivRing โ โfld โ Ring) | |
13 | 9, 11, 12 | mp2b 10 | . . . . . . . 8 โข โfld โ Ring |
14 | eqid 2728 | . . . . . . . . 9 โข (.gโโfld) = (.gโโfld) | |
15 | re1r 21552 | . . . . . . . . 9 โข 1 = (1rโโfld) | |
16 | 3, 14, 15 | zrhmulg 21442 | . . . . . . . 8 โข ((โfld โ Ring โง ๐ โ โค) โ ((โคRHomโโfld)โ๐) = (๐(.gโโfld)1)) |
17 | 13, 16 | mpan 688 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ((โคRHomโโfld)โ๐) = (๐(.gโโfld)1)) |
18 | 1re 11252 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ | |
19 | remulg 21546 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โค โง 1 โ โ) โ (๐(.gโโfld)1) = (๐ ยท 1)) | |
20 | 18, 19 | mpan2 689 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ (๐(.gโโfld)1) = (๐ ยท 1)) |
21 | zcn 12601 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
22 | 21 | mulridd 11269 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ (๐ ยท 1) = ๐) |
23 | 17, 20, 22 | 3eqtrd 2772 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ ((โคRHomโโfld)โ๐) = ๐) |
24 | 23 | breq2d 5164 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (๐ฅ < ((โคRHomโโfld)โ๐) โ ๐ฅ < ๐)) |
25 | 8, 24 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (๐ฅ < ((โคRHomโโfld)โ๐) โ ๐ฅ < ๐)) |
26 | 25 | rexbiia 3089 | . . 3 โข (โ๐ โ โ ๐ฅ < ((โคRHomโโfld)โ๐) โ โ๐ โ โ ๐ฅ < ๐) |
27 | 7, 26 | sylibr 233 | . 2 โข (๐ฅ โ โ โ โ๐ โ โ ๐ฅ < ((โคRHomโโfld)โ๐)) |
28 | 6, 27 | mprgbir 3065 | 1 โข โfld โ Archi |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3058 โwrex 3067 class class class wbr 5152 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โcr 11145 1c1 11147 ยท cmul 11151 < clt 11286 โcn 12250 โคcz 12596 .gcmg 19030 Ringcrg 20180 CRingccrg 20181 DivRingcdr 20631 Fieldcfield 20632 โคRHomczrh 21432 โfldcrefld 21543 Archicarchi 32906 oFieldcofld 33035 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 ax-addf 11225 ax-mulf 11226 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-tpos 8238 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-er 8731 df-map 8853 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-4 12315 df-5 12316 df-6 12317 df-7 12318 df-8 12319 df-9 12320 df-n0 12511 df-z 12597 df-dec 12716 df-uz 12861 df-fz 13525 df-seq 14007 df-struct 17123 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-ress 17217 df-plusg 17253 df-mulr 17254 df-starv 17255 df-tset 17259 df-ple 17260 df-ds 17262 df-unif 17263 df-0g 17430 df-proset 18294 df-poset 18312 df-plt 18329 df-toset 18416 df-ps 18565 df-tsr 18566 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-mhm 18747 df-grp 18900 df-minusg 18901 df-sbg 18902 df-mulg 19031 df-subg 19085 df-ghm 19175 df-cmn 19744 df-abl 19745 df-mgp 20082 df-rng 20100 df-ur 20129 df-ring 20182 df-cring 20183 df-oppr 20280 df-dvdsr 20303 df-unit 20304 df-invr 20334 df-dvr 20347 df-rhm 20418 df-subrng 20490 df-subrg 20515 df-drng 20633 df-field 20634 df-cnfld 21287 df-zring 21380 df-zrh 21436 df-refld 21544 df-omnd 32800 df-ogrp 32801 df-inftm 32907 df-archi 32908 df-orng 33036 df-ofld 33037 |
This theorem is referenced by: nn0archi 33083 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |