Theorem drngmul0or 19927

Description: A product is zero iff one of its factors is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmuleq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmuleq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmuleq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmuleq0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
drngmul0or	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem drngmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2943	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0 )
2		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
3	2	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
4		drngmuleq0.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngmuleq0.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
9		drngmuleq0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		drngmuleq0.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		drngmuleq0.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 19925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
16	15	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
17		drngring 19913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 19923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22		drngmuleq0.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	9, 11	ringass 19718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
25	19, 21, 7, 23, 24	syl13anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
26	9, 11, 12	ringlidm 19725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
27	18, 22, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
29	16, 25, 28	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
30	29	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
31	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
33	21	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
34	9, 11, 10	ringrz 19742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
35	32, 33, 34	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
36	3, 30, 35	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 = 0 )
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 ≠ 0 → 𝑌 = 0 ))
38	1, 37	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (¬ 𝑋 = 0 → 𝑌 = 0 ))
39	38	orrd 859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
41	9, 11, 10	ringlz 19741	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
42	18, 22, 41	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
43		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
44	43	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
45	42, 44	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
46	9, 11, 10	ringrz 19742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
47	18, 6, 46	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
48		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
49	48	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
50	47, 49	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
51	45, 50	jaod 855	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
52	40, 51	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908

This theorem is referenced by:  drngmulne0  19928  drngmuleq0  19929