Theorem drngmul0or 20012

Description: A product is zero iff one of its factors is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmuleq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmuleq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmuleq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmuleq0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
drngmul0or	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem drngmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2944	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0 )
2		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
3	2	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
4		drngmuleq0.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngmuleq0.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
9		drngmuleq0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		drngmuleq0.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		drngmuleq0.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 20010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
16	15	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
17		drngring 19998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 20008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22		drngmuleq0.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	9, 11	ringass 19803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
25	19, 21, 7, 23, 24	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
26	9, 11, 12	ringlidm 19810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
27	18, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
29	16, 25, 28	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
30	29	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
31	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
33	21	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
34	9, 11, 10	ringrz 19827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
36	3, 30, 35	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 = 0 )
37	36	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 ≠ 0 → 𝑌 = 0 ))
38	1, 37	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (¬ 𝑋 = 0 → 𝑌 = 0 ))
39	38	orrd 860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
40	39	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
41	9, 11, 10	ringlz 19826	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
42	18, 22, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
43		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
44	43	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
45	42, 44	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
46	9, 11, 10	ringrz 19827	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
47	18, 6, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
48		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
49	48	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
50	47, 49	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
51	45, 50	jaod 856	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
52	40, 51	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  inv_rcinvr 19913  DivRingcdr 19991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993

This theorem is referenced by:  drngmulne0  20013  drngmuleq0  20014