Theorem hlhilsrnglem 42152

Description: Lemma for hlhilsrng 42153. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhildrng.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsrng.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsrng.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
hlhilsrng.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
hlhilsrng.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
hlhilsrng.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsrnglem	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Proof of Theorem hlhilsrnglem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhilsrng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhilsrng.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
4		hlhillvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhildrng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hlhillvec.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		hlhilsrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	hlhilsbase2 42141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9		hlhilsrng.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	hlhilsplus2 42142	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
11		hlhilsrng.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	hlhilsmul2 42143	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
13		hlhilsrng.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
14	1, 4, 5, 13, 6	hlhilnvl 42149	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (*𝑟‘𝑅))
15	1, 4, 6, 5	hlhildrng 42151	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
16		drngring 20667	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
18	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 7, 13, 18, 19	hgmapcl 42088	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐵)
21	6	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24	1, 2, 3, 7, 9, 13, 21, 22, 23	hgmapadd 42093	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐺‘𝑥) + (𝐺‘𝑦)))
25	1, 2, 3, 7, 11, 13, 21, 22, 23	hgmapmul 42094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑥)))
26	1, 2, 3, 7, 13, 18, 19	hgmapvv 42125	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐺‘(𝐺‘𝑥)) = 𝑥)
27	8, 10, 12, 14, 17, 20, 24, 25, 26	issrngd 20786	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178  Ringcrg 20166  DivRingcdr 20660  *-Ringcsr 20769  HLchlt 39549  LHypclh 40183  DVecHcdvh 41277  HGMapchg 42082  HLHilchlh 42131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-riotaBAD 39152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-0g 17359  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-nzr 20444  df-rlreg 20625  df-domn 20626  df-drng 20662  df-staf 20770  df-srng 20771  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lvec 21053  df-lsatoms 39175  df-lshyp 39176  df-lcv 39218  df-lfl 39257  df-lkr 39285  df-ldual 39323  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-llines 39697  df-lplanes 39698  df-lvols 39699  df-lines 39700  df-psubsp 39702  df-pmap 39703  df-padd 39995  df-lhyp 40187  df-laut 40188  df-ldil 40303  df-ltrn 40304  df-trl 40358  df-tgrp 40942  df-tendo 40954  df-edring 40956  df-dveca 41202  df-disoa 41228  df-dvech 41278  df-dib 41338  df-dic 41372  df-dih 41428  df-doch 41547  df-djh 41594  df-lcdual 41786  df-mapd 41824  df-hvmap 41956  df-hdmap1 41992  df-hdmap 41993  df-hgmap 42083  df-hlhil 42132

This theorem is referenced by:  hlhilsrng  42153