Theorem hlhilsrnglem 42617

Description: Lemma for hlhilsrng 42618. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhillvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhildrng.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsrng.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsrng.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
hlhilsrng.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
hlhilsrng.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
hlhilsrng.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsrnglem	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Proof of Theorem hlhilsrnglem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhillvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhilsrng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhilsrng.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
4		hlhillvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhildrng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hlhillvec.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		hlhilsrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	hlhilsbase2 42606	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9		hlhilsrng.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	hlhilsplus2 42607	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
11		hlhilsrng.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	hlhilsmul2 42608	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
13		hlhilsrng.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
14	1, 4, 5, 13, 6	hlhilnvl 42614	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (*𝑟‘𝑅))
15	1, 4, 6, 5	hlhildrng 42616	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
16		drngring 20820	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
18	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 7, 13, 18, 19	hgmapcl 42553	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐵)
21	6	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24	1, 2, 3, 7, 9, 13, 21, 22, 23	hgmapadd 42558	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐺‘𝑥) + (𝐺‘𝑦)))
25	1, 2, 3, 7, 11, 13, 21, 22, 23	hgmapmul 42559	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑥)))
26	1, 2, 3, 7, 13, 18, 19	hgmapvv 42590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐺‘(𝐺‘𝑥)) = 𝑥)
27	8, 10, 12, 14, 17, 20, 24, 25, 26	issrngd 20936	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  Scalarcsca 17313  Ringcrg 20315  DivRingcdr 20813  *-Ringcsr 20919  HLchlt 40014  LHypclh 40648  DVecHcdvh 41742  HGMapchg 42547  HLHilchlh 42596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-riotaBAD 39617

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-0g 17494  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-oppg 19416  df-lsm 19706  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-rhm 20554  df-nzr 20596  df-rlreg 20779  df-domn 20780  df-drng 20815  df-staf 20920  df-srng 20921  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lvec 21202  df-lsatoms 39640  df-lshyp 39641  df-lcv 39683  df-lfl 39722  df-lkr 39750  df-ldual 39788  df-oposet 39840  df-ol 39842  df-oml 39843  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015  df-llines 40162  df-lplanes 40163  df-lvols 40164  df-lines 40165  df-psubsp 40167  df-pmap 40168  df-padd 40460  df-lhyp 40652  df-laut 40653  df-ldil 40768  df-ltrn 40769  df-trl 40823  df-tgrp 41407  df-tendo 41419  df-edring 41421  df-dveca 41667  df-disoa 41693  df-dvech 41743  df-dib 41803  df-dic 41837  df-dih 41893  df-doch 42012  df-djh 42059  df-lcdual 42251  df-mapd 42289  df-hvmap 42421  df-hdmap1 42457  df-hdmap 42458  df-hgmap 42548  df-hlhil 42597

This theorem is referenced by:  hlhilsrng  42618