Theorem drgext0gsca 33560

Description: The additive neutral element of the scalar field of a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
drgext0gsca	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Proof of Theorem drgext0gsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
2		drngring 20621	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ DivRing → 𝐸 ∈ Ring)
3		ringmnd 20128	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Ring → 𝐸 ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
5		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
6		subrgsubg 20462	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸))
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8	7	subg0cl 19042	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
9	5, 6, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20457	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾s 𝑈) = (𝐸 ↾s 𝑈)
14	13, 10, 7	ress0g 18665	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
15	4, 9, 12, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
16		drgext.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
17	16, 1, 5	drgext0g 33558	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐵))
18	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
19	18, 12	srasca 21063	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
20	19	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17378  Mndcmnd 18637  SubGrpcsubg 19028  Ringcrg 20118  SubRingcsubrg 20454  DivRingcdr 20614  subringAlg csra 21054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-subg 19031  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-sra 21056

This theorem is referenced by:  fedgmullem2  33599