Theorem drgext0gsca 33754

Description: The additive neutral element of the scalar field of a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
drgext0gsca	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Proof of Theorem drgext0gsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
2		drngring 20707	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ DivRing → 𝐸 ∈ Ring)
3		ringmnd 20218	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Ring → 𝐸 ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
5		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
6		subrgsubg 20548	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸))
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8	7	subg0cl 19104	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
9	5, 6, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20543	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾s 𝑈) = (𝐸 ↾s 𝑈)
14	13, 10, 7	ress0g 18724	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
15	4, 9, 12, 14	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
16		drgext.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
17	16, 1, 5	drgext0g 33752	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐵))
18	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
19	18, 12	srasca 21170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
20	19	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  Scalarcsca 17217  0_gc0g 17396  Mndcmnd 18696  SubGrpcsubg 19090  Ringcrg 20208  SubRingcsubrg 20540  DivRingcdr 20700  subringAlg csra 21161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-subg 19093  df-ring 20210  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-sra 21163

This theorem is referenced by:  fedgmullem2  33793