Theorem drgext0gsca 33889

Description: The additive neutral element of the scalar field of a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
drgext0gsca	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Proof of Theorem drgext0gsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
2		drngring 20786	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ DivRing → 𝐸 ∈ Ring)
3		ringmnd 20293	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Ring → 𝐸 ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
5		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
6		subrgsubg 20627	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8	7	subg0cl 19176	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
9	5, 6, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20622	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾s 𝑈) = (𝐸 ↾s 𝑈)
14	13, 10, 7	ress0g 18796	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
15	4, 9, 12, 14	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
16		drgext.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
17	16, 1, 5	drgext0g 33887	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐵))
18	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
19	18, 12	srasca 21247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
20	19	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  Scalarcsca 17289  0_gc0g 17468  Mndcmnd 18768  SubGrpcsubg 19162  Ringcrg 20283  SubRingcsubrg 20619  DivRingcdr 20779  subringAlg csra 21238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-subg 19165  df-ring 20285  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-sra 21240

This theorem is referenced by:  fedgmullem2  33927