Theorem drgext0gsca 33697

Description: The additive neutral element of the scalar field of a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
drgext0gsca	⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Proof of Theorem drgext0gsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
2		drngring 20667	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ DivRing → 𝐸 ∈ Ring)
3		ringmnd 20176	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Ring → 𝐸 ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
5		drgext.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
6		subrgsubg 20508	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸))
7		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8	7	subg0cl 19062	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
9	5, 6, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝑈)
10		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20503	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾s 𝑈) = (𝐸 ↾s 𝑈)
14	13, 10, 7	ress0g 18685	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
15	4, 9, 12, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)))
16		drgext.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
17	16, 1, 5	drgext0g 33695	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐵))
18	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
19	18, 12	srasca 21130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐵))
20	19	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐸 ↾s 𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐵) = (0g‘(Scalar‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  Scalarcsca 17178  0_gc0g 17357  Mndcmnd 18657  SubGrpcsubg 19048  Ringcrg 20166  SubRingcsubrg 20500  DivRingcdr 20660  subringAlg csra 21121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-subg 19051  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-sra 21123

This theorem is referenced by:  fedgmullem2  33736