Theorem qcvs 25267

Description: The field of rational numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qcvs.q	⊢ 𝑄 = (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))

Assertion

Ref	Expression
qcvs	⊢ 𝑄 ∈ ℂVec

Proof of Theorem qcvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsubdrg 21529	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
2		drngring 20811	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring)
3	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing) → (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring
5		rlmlmod 21293	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod
7	1	simpri 490	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
8		rlmsca 21288	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ℂfld ↾s ℚ) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))))
9	8	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ)
11	1	simpli 488	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)))
13	12	isclmi 25197	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ) ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ ℂMod)
14	6, 10, 11, 13	mp3an 1485	. . 3 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ ℂMod
15		rlmlvec 21294	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LVec)
16	7, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LVec
17	14, 16	elini 4154	. 2 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
18		qcvs.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))
19		df-cvs 25244	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
20	17, 18, 19	3eltr4i 2878	1 ⊢ 𝑄 ∈ ℂVec

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3906  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℚcq 12963   ↾_s cress 17280  Scalarcsca 17303  Ringcrg 20306  SubRingcsubrg 20645  DivRingcdr 20804  LModclmod 20950  LVecclvec 21192  ringLModcrglmod 21262  ℂ_fldccnfld 21482  ℂModcclm 25182  ℂVecccvs 25243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lvec 21193  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-cnfld 21483  df-clm 25183  df-cvs 25244

This theorem is referenced by: (None)