MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qcvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qcvs 24985
Description: The field of rational numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qcvs.q 𝑄 = (ringLMod‘(ℂflds ℚ))
Assertion
Ref Expression
qcvs 𝑄 ∈ ℂVec

Proof of Theorem qcvs
StepHypRef Expression
1 qsubdrg 21276 . . . . . 6 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
2 drngring 20579 . . . . . . 7 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (ℂflds ℚ) ∈ Ring)
32adantl 481 . . . . . 6 ((ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing) → (ℂflds ℚ) ∈ Ring)
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℚ) ∈ Ring
5 rlmlmod 21044 . . . . 5 ((ℂflds ℚ) ∈ Ring → (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LMod)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LMod
71simpri 485 . . . . 5 (ℂflds ℚ) ∈ DivRing
8 rlmsca 21039 . . . . . 6 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (ℂflds ℚ) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))))
98eqcomd 2730 . . . . 5 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (ℂflds ℚ))
107, 9ax-mp 5 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (ℂflds ℚ)
111simpli 483 . . . 4 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12 eqid 2724 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ)))
1312isclmi 24914 . . . 4 (((ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (ℂflds ℚ) ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ ℂMod)
146, 10, 11, 13mp3an 1457 . . 3 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ ℂMod
15 rlmlvec 21045 . . . 4 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LVec)
167, 15ax-mp 5 . . 3 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LVec
1714, 16elini 4185 . 2 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
18 qcvs.q . 2 𝑄 = (ringLMod‘(ℂflds ℚ))
19 df-cvs 24961 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2017, 18, 193eltr4i 2838 1 𝑄 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3939  cfv 6533  (class class class)co 7401  cq 12928  s cress 17169  Scalarcsca 17196  Ringcrg 20123  SubRingcsubrg 20454  DivRingcdr 20572  LModclmod 20691  LVecclvec 20935  ringLModcrglmod 21005  fldccnfld 21223  ℂModcclm 24899  ℂVecccvs 24960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-subg 19035  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-dvr 20288  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lvec 20936  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-cnfld 21224  df-clm 24900  df-cvs 24961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator