Theorem qcvs 25182

Description: The field of rational numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qcvs.q	⊢ 𝑄 = (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))

Assertion

Ref	Expression
qcvs	⊢ 𝑄 ∈ ℂVec

Proof of Theorem qcvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsubdrg 21444	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
2		drngring 20758	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring)
3	2	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing) → (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring
5		rlmlmod 21243	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod
7	1	simpri 488	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
8		rlmsca 21238	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ℂfld ↾s ℚ) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))))
9	8	eqcomd 2762	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ)
11	1	simpli 486	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)))
13	12	isclmi 25112	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ) ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ ℂMod)
14	6, 10, 11, 13	mp3an 1476	. . 3 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ ℂMod
15		rlmlvec 21244	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LVec)
16	7, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LVec
17	14, 16	elini 4146	. 2 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
18		qcvs.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))
19		df-cvs 25159	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
20	17, 18, 19	3eltr4i 2869	1 ⊢ 𝑄 ∈ ℂVec

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ∩ cin 3898  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℚcq 12939   ↾_s cress 17242  Scalarcsca 17265  Ringcrg 20255  SubRingcsubrg 20591  DivRingcdr 20751  LModclmod 20900  LVecclvec 21142  ringLModcrglmod 21212  ℂ_fldccnfld 21397  ℂModcclm 25097  ℂVecccvs 25158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-drng 20753  df-lmod 20902  df-lvec 21143  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-cnfld 21398  df-clm 25098  df-cvs 25159

This theorem is referenced by: (None)