Theorem qcvs 25067

Description: The field of rational numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qcvs.q	⊢ 𝑄 = (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))

Assertion

Ref	Expression
qcvs	⊢ 𝑄 ∈ ℂVec

Proof of Theorem qcvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsubdrg 21349	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing)
2		drngring 20644	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing) → (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring
5		rlmlmod 21130	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ Ring → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod
7	1	simpri 485	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing
8		rlmsca 21125	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ℂfld ↾s ℚ) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))))
9	8	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ)
11	1	simpli 483	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)))
13	12	isclmi 24997	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (ℂfld ↾s ℚ) ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ ℂMod)
14	6, 10, 11, 13	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ ℂMod
15		rlmlvec 21131	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ↾s ℚ) ∈ DivRing → (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LVec)
16	7, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ LVec
17	14, 16	elini 4147	. 2 ⊢ (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ)) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
18		qcvs.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ringLMod‘(ℂfld ↾s ℚ))
19		df-cvs 25044	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
20	17, 18, 19	3eltr4i 2842	1 ⊢ 𝑄 ∈ ℂVec

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3899  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℚcq 12838   ↾_s cress 17133  Scalarcsca 17156  Ringcrg 20144  SubRingcsubrg 20477  DivRingcdr 20637  LModclmod 20786  LVecclvec 21029  ringLModcrglmod 21099  ℂ_fldccnfld 21284  ℂModcclm 24982  ℂVecccvs 25043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-addf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-subg 19028  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lvec 21030  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-cnfld 21285  df-clm 24983  df-cvs 25044

This theorem is referenced by: (None)