Theorem qqhnm 34389

Description: The norm of the image by ℚHom of a rational number in a topological division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
qqhnm.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhnm	⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Proof of Theorem qqhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		qeqnumdivden 16809	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
3	2	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
5		qnumcl 16803	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12705	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
8		qdencl 16804	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12253	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
11		nnne0 12274	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝑄) ∈ ℕ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
12	1, 8, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ≠ 0)
13	7, 10, 12	absdivd 15514	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
14		inss2 4190	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
15		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
16	14, 15	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
17		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
21	18, 19, 20	qqhvval 34382	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))))
22	21	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
23	16, 17, 1, 22	syl21anc 850	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
24		inss1 4189	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
25	24, 15	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
26		drngnzr 20857	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
27	16, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NzRing)
28		drngring 20843	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
29	20	zrhrhm 21670	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
30		zringbas 21612	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31	30, 18	rhmf 20572	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
32	16, 28, 29, 31	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
33	32, 6	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
34	9	nnzd 12621	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
35		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	18, 20, 35	elzrhunit 34376	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ((denom‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ≠ 0)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
37	16, 17, 34, 12, 36	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
38		qqhnm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
39		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
40	18, 38, 39, 19	nmdvr 24836	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
41	25, 27, 33, 37, 40	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
42		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
43		qqhnm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
44	43	zhmnrg 34364	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ NrmRing)
45	25, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
46	18, 38, 43, 20	zrhnm 34366	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (numer‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
47	42, 45, 27, 6, 46	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
48	18, 38, 43, 20	zrhnm 34366	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
49	42, 45, 27, 34, 48	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
50	47, 49	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
51	23, 41, 50	3eqtrrd 2803	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))) = (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)))
52	4, 13, 51	3eqtrrd 2803	1 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3904  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104   / cdiv 11875  ℕcn 12237  ℤcz 12595  ℚcq 12976  abscabs 15290  numercnumer 16796  denomcdenom 16797  Basecbs 17273  0_gc0g 17496  Ringcrg 20319  Unitcui 20442  /_rcdvr 20487   RingHom crh 20556  NzRingcnzr 20618  DivRingcdr 20836  ℤ_ringczring 21605  ℤRHomczrh 21658  ℤModczlm 21659  chrcchr 21660  normcnm 24742  NrmRingcnrg 24745  NrmModcnlm 24746  ℚHomcqqh 34369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ico 13382  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-dvds 16315  df-gcd 16557  df-numer 16798  df-denom 16799  df-gz 16994  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-topgen 17500  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-od 19602  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-rhm 20559  df-nzr 20619  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-drng 20838  df-abv 20921  df-lmod 20992  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-cnfld 21532  df-zring 21606  df-zrh 21662  df-zlm 21663  df-chr 21664  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-xms 24486  df-ms 24487  df-nm 24748  df-ngp 24749  df-nrg 24751  df-nlm 24752  df-qqh 34370

This theorem is used by:  qqhcn  34390  qqhucn  34391