Theorem qqhnm 31940

Description: The norm of the image by ℚHom of a rational number in a topological division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
qqhnm.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhnm	⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Proof of Theorem qqhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		qeqnumdivden 16450	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
3	2	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
5		qnumcl 16444	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12427	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
8		qdencl 16445	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 11989	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
11		nnne0 12007	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝑄) ∈ ℕ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
12	1, 8, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ≠ 0)
13	7, 10, 12	absdivd 15167	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
14		inss2 4163	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
15		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
16	14, 15	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
17		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
18		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
20		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
21	18, 19, 20	qqhvval 31933	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))))
22	21	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
23	16, 17, 1, 22	syl21anc 835	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
24		inss1 4162	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
25	24, 15	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
26		drngnzr 20533	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
27	16, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NzRing)
28		drngring 19998	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
29	20	zrhrhm 20713	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
30		zringbas 20676	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31	30, 18	rhmf 19970	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
32	16, 28, 29, 31	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
33	32, 6	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
34	9	nnzd 12425	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
35		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	18, 20, 35	elzrhunit 31929	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ((denom‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ≠ 0)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
37	16, 17, 34, 12, 36	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
38		qqhnm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
39		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
40	18, 38, 39, 19	nmdvr 23834	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
41	25, 27, 33, 37, 40	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
42		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
43		qqhnm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
44	43	zhmnrg 31917	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ NrmRing)
45	25, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
46	18, 38, 43, 20	zrhnm 31919	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (numer‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
47	42, 45, 27, 6, 46	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
48	18, 38, 43, 20	zrhnm 31919	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
49	42, 45, 27, 34, 48	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
50	47, 49	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
51	23, 41, 50	3eqtrrd 2783	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))) = (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)))
52	4, 13, 51	3eqtrrd 2783	1 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∩ cin 3886  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℚcq 12688  abscabs 14945  numercnumer 16437  denomcdenom 16438  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  Unitcui 19881  /_rcdvr 19924   RingHom crh 19956  DivRingcdr 19991  NzRingcnzr 20528  ℤ_ringczring 20670  ℤRHomczrh 20701  ℤModczlm 20702  chrcchr 20703  normcnm 23732  NrmRingcnrg 23735  NrmModcnlm 23736  ℚHomcqqh 31922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440  df-gz 16631  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-od 19136  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-lmod 20125  df-nzr 20529  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zlm 20706  df-chr 20707  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nrg 23741  df-nlm 23742  df-qqh 31923

This theorem is referenced by:  qqhcn  31941  qqhucn  31942