Theorem qqhnm 34128

Description: The norm of the image by ℚHom of a rational number in a topological division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
qqhnm.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhnm	⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Proof of Theorem qqhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		qeqnumdivden 16677	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
3	2	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
5		qnumcl 16671	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12601	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
8		qdencl 16672	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12165	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
11		nnne0 12183	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝑄) ∈ ℕ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
12	1, 8, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ≠ 0)
13	7, 10, 12	absdivd 15385	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
14		inss2 4191	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
15		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
16	14, 15	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
17		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
21	18, 19, 20	qqhvval 34121	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))))
22	21	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
23	16, 17, 1, 22	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
24		inss1 4190	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
25	24, 15	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
26		drngnzr 20685	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
27	16, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NzRing)
28		drngring 20673	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
29	20	zrhrhm 21470	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
30		zringbas 21412	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31	30, 18	rhmf 20424	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
32	16, 28, 29, 31	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
33	32, 6	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
34	9	nnzd 12518	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
35		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	18, 20, 35	elzrhunit 34115	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ((denom‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ≠ 0)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
37	16, 17, 34, 12, 36	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
38		qqhnm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
39		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
40	18, 38, 39, 19	nmdvr 24618	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
41	25, 27, 33, 37, 40	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
42		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
43		qqhnm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
44	43	zhmnrg 34103	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ NrmRing)
45	25, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
46	18, 38, 43, 20	zrhnm 34105	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (numer‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
47	42, 45, 27, 6, 46	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
48	18, 38, 43, 20	zrhnm 34105	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
49	42, 45, 27, 34, 48	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
50	47, 49	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
51	23, 41, 50	3eqtrrd 2777	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))) = (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)))
52	4, 13, 51	3eqtrrd 2777	1 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3901  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℤcz 12492  ℚcq 12865  abscabs 15161  numercnumer 16664  denomcdenom 16665  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  Ringcrg 20172  Unitcui 20295  /_rcdvr 20340   RingHom crh 20409  NzRingcnzr 20449  DivRingcdr 20666  ℤ_ringczring 21405  ℤRHomczrh 21458  ℤModczlm 21459  chrcchr 21460  normcnm 24524  NrmRingcnrg 24527  NrmModcnlm 24528  ℚHomcqqh 34108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ico 13271  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-numer 16666  df-denom 16667  df-gz 16862  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-topgen 17367  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-od 19461  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-rhm 20412  df-nzr 20450  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-abv 20746  df-lmod 20817  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zlm 21463  df-chr 21464  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-xms 24268  df-ms 24269  df-nm 24530  df-ngp 24531  df-nrg 24533  df-nlm 24534  df-qqh 34109

This theorem is referenced by:  qqhcn  34129  qqhucn  34130