Theorem qqhnm 33817

Description: The norm of the image by ℚHom of a rational number in a topological division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
qqhnm.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhnm	⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Proof of Theorem qqhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		qeqnumdivden 16742	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
3	2	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
5		qnumcl 16736	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12712	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
8		qdencl 16737	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12273	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
11		nnne0 12291	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝑄) ∈ ℕ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
12	1, 8, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ≠ 0)
13	7, 10, 12	absdivd 15454	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
14		inss2 4230	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
15		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
16	14, 15	sselid 3978	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
17		simpl3 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
18		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
20		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
21	18, 19, 20	qqhvval 33810	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))))
22	21	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
23	16, 17, 1, 22	syl21anc 836	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
24		inss1 4229	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
25	24, 15	sselid 3978	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
26		drngnzr 20721	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
27	16, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NzRing)
28		drngring 20709	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
29	20	zrhrhm 21496	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
30		zringbas 21438	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31	30, 18	rhmf 20462	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
32	16, 28, 29, 31	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
33	32, 6	ffvelcdmd 7090	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
34	9	nnzd 12630	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
35		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	18, 20, 35	elzrhunit 33806	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ((denom‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ≠ 0)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
37	16, 17, 34, 12, 36	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
38		qqhnm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
39		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
40	18, 38, 39, 19	nmdvr 24674	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
41	25, 27, 33, 37, 40	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
42		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
43		qqhnm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
44	43	zhmnrg 33794	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ NrmRing)
45	25, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
46	18, 38, 43, 20	zrhnm 33796	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (numer‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
47	42, 45, 27, 6, 46	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
48	18, 38, 43, 20	zrhnm 33796	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
49	42, 45, 27, 34, 48	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
50	47, 49	oveq12d 7433	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
51	23, 41, 50	3eqtrrd 2771	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))) = (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)))
52	4, 13, 51	3eqtrrd 2771	1 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∩ cin 3947  ⟶wf 6541  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  0cc0 11148   / cdiv 11911  ℕcn 12257  ℤcz 12603  ℚcq 12977  abscabs 15233  numercnumer 16729  denomcdenom 16730  Basecbs 17207  0_gc0g 17448  Ringcrg 20211  Unitcui 20332  /_rcdvr 20377   RingHom crh 20446  NzRingcnzr 20489  DivRingcdr 20702  ℤ_ringczring 21431  ℤRHomczrh 21484  ℤModczlm 21485  chrcchr 21486  normcnm 24572  NrmRingcnrg 24575  NrmModcnlm 24576  ℚHomcqqh 33799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8848  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-sup 9477  df-inf 9478  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-q 12978  df-rp 13022  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ico 13377  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-fl 13805  df-mod 13883  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16251  df-gcd 16489  df-numer 16731  df-denom 16732  df-gz 16926  df-struct 17143  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-ress 17237  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-starv 17275  df-sca 17276  df-vsca 17277  df-ip 17278  df-tset 17279  df-ple 17280  df-ds 17282  df-unif 17283  df-rest 17431  df-topn 17432  df-0g 17450  df-topgen 17452  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18767  df-grp 18925  df-minusg 18926  df-sbg 18927  df-mulg 19057  df-subg 19112  df-ghm 19202  df-od 19521  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-rhm 20449  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20548  df-drng 20704  df-abv 20783  df-lmod 20833  df-psmet 21330  df-xmet 21331  df-met 21332  df-bl 21333  df-mopn 21334  df-cnfld 21339  df-zring 21432  df-zrh 21488  df-zlm 21489  df-chr 21490  df-top 22883  df-topon 22900  df-topsp 22922  df-bases 22936  df-xms 24313  df-ms 24314  df-nm 24578  df-ngp 24579  df-nrg 24581  df-nlm 24582  df-qqh 33800

This theorem is referenced by:  qqhcn  33818  qqhucn  33819