Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhnm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qqhnm 33256
Description: The norm of the image by β„šHom of a rational number in a topological division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhnm.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
qqhnm.z 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qqhnm (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (π‘β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘„)) = (absβ€˜π‘„))
Proof of Theorem qqhnm
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . 3 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ 𝑄 ∈ β„š)
2 qeqnumdivden 16686 . . . 4 (𝑄 ∈ β„š β†’ 𝑄 = ((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„)))
32fveq2d 6895 . . 3 (𝑄 ∈ β„š β†’ (absβ€˜π‘„) = (absβ€˜((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„))))
41, 3syl 17 . 2 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (absβ€˜π‘„) = (absβ€˜((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„))))
5 qnumcl 16680 . . . . 5 (𝑄 ∈ β„š β†’ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„€)
61, 5syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„€)
76zcnd 12671 . . 3 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
8 qdencl 16681 . . . . 5 (𝑄 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„•)
109nncnd 12232 . . 3 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
11 nnne0 12250 . . . 4 ((denomβ€˜π‘„) ∈ β„• β†’ (denomβ€˜π‘„) β‰  0)
121, 8, 113syl 18 . . 3 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜π‘„) β‰  0)
137, 10, 12absdivd 15406 . 2 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (absβ€˜((numerβ€˜π‘„) / (denomβ€˜π‘„))) = ((absβ€˜(numerβ€˜π‘„)) / (absβ€˜(denomβ€˜π‘„))))
14 inss2 4229 . . . . 5 (NrmRing ∩ DivRing) βŠ† DivRing
15 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
1614, 15sselid 3980 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
17 simpl3 1193 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
18 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
19 eqid 2732 . . . . . 6 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
20 eqid 2732 . . . . . 6 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
2118, 19, 20qqhvval 33249 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘„) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))(/rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„))))
2221fveq2d 6895 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (π‘β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘„)) = (π‘β€˜(((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))(/rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)))))
2316, 17, 1, 22syl21anc 836 . . 3 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (π‘β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘„)) = (π‘β€˜(((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))(/rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)))))
24 inss1 4228 . . . . 5 (NrmRing ∩ DivRing) βŠ† NrmRing
2524, 15sselid 3980 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
26 drngnzr 20520 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2716, 26syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
28 drngring 20507 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2920zrhrhm 21280 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
30 zringbas 21224 . . . . . . 7 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
3130, 18rhmf 20376 . . . . . 6 ((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3216, 28, 29, 314syl 19 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3332, 6ffvelcdmd 7087 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
349nnzd 12589 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„€)
35 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
3618, 20, 35elzrhunit 33245 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ ((denomβ€˜π‘„) ∈ β„€ ∧ (denomβ€˜π‘„) β‰  0)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3716, 17, 34, 12, 36syl22anc 837 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
38 qqhnm.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
39 eqid 2732 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
4018, 38, 39, 19nmdvr 24407 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜(((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))(/rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)))) = ((π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))) / (π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)))))
4125, 27, 33, 37, 40syl22anc 837 . . 3 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (π‘β€˜(((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))(/rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)))) = ((π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))) / (π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)))))
42 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
43 qqhnm.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
4443zhmnrg 33233 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑍 ∈ NrmRing)
4525, 44syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ 𝑍 ∈ NrmRing)
4618, 38, 43, 20zrhnm 33235 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (numerβ€˜π‘„) ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))) = (absβ€˜(numerβ€˜π‘„)))
4742, 45, 27, 6, 46syl31anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))) = (absβ€˜(numerβ€˜π‘„)))
4818, 38, 43, 20zrhnm 33235 . . . . 5 (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (denomβ€˜π‘„) ∈ β„€) β†’ (π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„))) = (absβ€˜(denomβ€˜π‘„)))
4942, 45, 27, 34, 48syl31anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„))) = (absβ€˜(denomβ€˜π‘„)))
5047, 49oveq12d 7429 . . 3 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ ((π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(numerβ€˜π‘„))) / (π‘β€˜((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(denomβ€˜π‘„)))) = ((absβ€˜(numerβ€˜π‘„)) / (absβ€˜(denomβ€˜π‘„))))
5123, 41, 503eqtrrd 2777 . 2 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ ((absβ€˜(numerβ€˜π‘„)) / (absβ€˜(denomβ€˜π‘„))) = (π‘β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘„)))
524, 13, 513eqtrrd 2777 1 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ 𝑄 ∈ β„š) β†’ (π‘β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘„)) = (absβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ∩ cin 3947  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936  abscabs 15185  numercnumer 16673  denomcdenom 16674  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  Unitcui 20246  /rcdvr 20291   RingHom crh 20360  NzRingcnzr 20403  DivRingcdr 20500  β„€ringczring 21217  β„€RHomczrh 21268  β„€Modczlm 21269  chrcchr 21270  normcnm 24305  NrmRingcnrg 24308  NrmModcnlm 24309  β„šHomcqqh 33238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676  df-gz 16867  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-od 19437  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zlm 21273  df-chr 21274  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-qqh 33239
This theorem is referenced by:  qqhcn  33257  qqhucn  33258
  Copyright terms: Public domain W3C validator