Theorem qqhnm 34389

Description: The norm of the image by ℚHom of a rational number in a topological division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
qqhnm.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhnm	⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

Proof of Theorem qqhnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		qeqnumdivden 16811	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
3	2	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘𝑄) = (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))))
5		qnumcl 16805	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12707	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
8		qdencl 16806	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12255	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
11		nnne0 12276	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝑄) ∈ ℕ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
12	1, 8, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ≠ 0)
13	7, 10, 12	absdivd 15516	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (abs‘((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
14		inss2 4189	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
15		simpl1 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
16	14, 15	sselid 3934	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
17		simpl3 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
20		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
21	18, 19, 20	qqhvval 34382	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))))
22	21	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
23	16, 17, 1, 22	syl21anc 850	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
24		inss1 4188	. . . . 5 ⊢ (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
25	24, 15	sselid 3934	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
26		drngnzr 20859	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
27	16, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NzRing)
28		drngring 20845	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
29	20	zrhrhm 21672	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
30		zringbas 21614	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
31	30, 18	rhmf 20574	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
32	16, 28, 29, 31	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
33	32, 6	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
34	9	nnzd 12623	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
35		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	18, 20, 35	elzrhunit 34376	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ((denom‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ≠ 0)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
37	16, 17, 34, 12, 36	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))
38		qqhnm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
39		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
40	18, 38, 39, 19	nmdvr 24838	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
41	25, 27, 33, 37, 40	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘(((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))(/r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))))
42		simpl2 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
43		qqhnm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
44	43	zhmnrg 34364	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑍 ∈ NrmRing)
45	25, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmRing)
46	18, 38, 43, 20	zrhnm 34366	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (numer‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
47	42, 45, 27, 6, 46	syl31anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) = (abs‘(numer‘𝑄)))
48	18, 38, 43, 20	zrhnm 34366	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑍 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
49	42, 45, 27, 34, 48	syl31anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄))) = (abs‘(denom‘𝑄)))
50	47, 49	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(numer‘𝑄))) / (𝑁‘((ℤRHom‘𝑅)‘(denom‘𝑄)))) = ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))))
51	23, 41, 50	3eqtrrd 2802	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((abs‘(numer‘𝑄)) / (abs‘(denom‘𝑄))) = (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)))
52	4, 13, 51	3eqtrrd 2802	1 ⊢ (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (𝑁‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑄)) = (abs‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∩ cin 3903  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106   / cdiv 11877  ℕcn 12239  ℤcz 12597  ℚcq 12978  abscabs 15292  numercnumer 16798  denomcdenom 16799  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  Ringcrg 20321  Unitcui 20444  /_rcdvr 20489   RingHom crh 20558  NzRingcnzr 20620  DivRingcdr 20838  ℤ_ringczring 21607  ℤRHomczrh 21660  ℤModczlm 21661  chrcchr 21662  normcnm 24744  NrmRingcnrg 24747  NrmModcnlm 24748  ℚHomcqqh 34369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-numer 16800  df-denom 16801  df-gz 16996  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-topgen 17502  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-od 19604  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-rhm 20561  df-nzr 20621  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-abv 20923  df-lmod 20994  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664  df-zlm 21665  df-chr 21666  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-xms 24488  df-ms 24489  df-nm 24750  df-ngp 24751  df-nrg 24753  df-nlm 24754  df-qqh 34370

This theorem is used by:  qqhcn  34390  qqhucn  34391