Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sradrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sradrng 32349
Description: Condition for a subring algebra to be a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sraring.1 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π‘‰)
sraring.2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
sradrng ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sradrng
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 20226 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 sraring.1 . . . 4 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π‘‰)
3 sraring.2 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
42, 3sraring 32348 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
51, 4sylan 581 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
96, 7, 8isdrng 20223 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
109simprbi 498 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1110adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
12 eqidd 2734 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
132a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π‘‰))
14 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
1514, 3sseqtrdi 3998 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1613, 15srabase 20685 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π΄))
1713, 15sramulr 20689 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π΄))
1817oveqdr 7389 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦))
1912, 16, 18unitpropd 20136 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π΄))
20 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
2113, 20, 15sralmod0 20702 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π΄))
2221sneqd 4602 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = {(0gβ€˜π΄)})
2316, 22difeq12d 4087 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = ((Baseβ€˜π΄) βˆ– {(0gβ€˜π΄)}))
2411, 19, 233eqtr3d 2781 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (Unitβ€˜π΄) = ((Baseβ€˜π΄) βˆ– {(0gβ€˜π΄)}))
25 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
26 eqid 2733 . . 3 (Unitβ€˜π΄) = (Unitβ€˜π΄)
27 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
2825, 26, 27isdrng 20223 . 2 (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π΄) = ((Baseβ€˜π΄) βˆ– {(0gβ€˜π΄)})))
295, 24, 28sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  DivRingcdr 20219  subringAlg csra 20674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-drng 20221  df-sra 20678
This theorem is referenced by:  rgmoddim  32369  extdggt0  32410
  Copyright terms: Public domain W3C validator