Theorem sradrng 31971

Description: Condition for a subring algebra to be a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sradrng	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sradrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20100	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		sraring.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
3		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	sraring 31970	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	isdrng 20097	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
10	9	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
12		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
13	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14, 3	sseqtrdi 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 15	srabase 20547	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
17	13, 15	sramulr 20551	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
18	17	oveqdr 7365	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
19	12, 16, 18	unitpropd 20034	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝐴))
20		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
21	13, 20, 15	sralmod0 20564	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐴))
22	21	sneqd 4585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘𝐴)})
23	16, 22	difeq12d 4070	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
24	11, 19, 23	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
25		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
27		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28	25, 26, 27	isdrng 20097	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
29	5, 24, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4573  ‘cfv 6479  Basecbs 17009  ._rcmulr 17060  0_gc0g 17247  Ringcrg 19878  Unitcui 19976  DivRingcdr 20093  subringAlg csra 20536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-drng 20095  df-sra 20540

This theorem is referenced by:  rgmoddim  31991  extdggt0  32030