Theorem sradrng 33738

Description: Condition for a subring algebra to be a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sradrng.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sradrng.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sradrng	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sradrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20669	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		sradrng.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
3		sradrng.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	sraring 21138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	isdrng 20666	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
10	9	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
12		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
13	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14, 3	sseqtrdi 3974	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 15	srabase 21129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
17	13, 15	sramulr 21131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
18	17	oveqdr 7386	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
19	12, 16, 18	unitpropd 20353	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝐴))
20		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
21	13, 20, 15	sralmod0 21140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐴))
22	21	sneqd 4592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘𝐴)})
23	16, 22	difeq12d 4079	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
24	11, 19, 23	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
25		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
27		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28	25, 26, 27	isdrng 20666	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
29	5, 24, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168  Unitcui 20291  DivRingcdr 20662  subringAlg csra 21123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-drng 20664  df-sra 21125

This theorem is referenced by:  rlmdim  33766  rgmoddimOLD  33767  extdggt0  33814