Theorem sradrng 33592

Description: Condition for a subring algebra to be a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sradrng.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sradrng.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sradrng	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sradrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20652	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		sradrng.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
3		sradrng.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	sraring 21121	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	isdrng 20649	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
10	9	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
12		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
13	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14, 3	sseqtrdi 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 15	srabase 21112	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
17	13, 15	sramulr 21114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
18	17	oveqdr 7374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
19	12, 16, 18	unitpropd 20336	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝐴))
20		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
21	13, 20, 15	sralmod0 21123	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐴))
22	21	sneqd 4588	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘𝐴)})
23	16, 22	difeq12d 4077	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
24	11, 19, 23	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
25		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
26		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
27		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28	25, 26, 27	isdrng 20649	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
29	5, 24, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Ringcrg 20152  Unitcui 20274  DivRingcdr 20645  subringAlg csra 21106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-drng 20647  df-sra 21108

This theorem is referenced by:  rlmdim  33620  rgmoddimOLD  33621  extdggt0  33668