Theorem sradrng 31673

Description: Condition for a subring algebra to be a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sradrng	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sradrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 19998	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		sraring.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
3		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	sraring 31672	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	isdrng 19995	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
10	9	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
12		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
13	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14, 3	sseqtrdi 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 15	srabase 20441	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
17	13, 15	sramulr 20445	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
18	17	oveqdr 7303	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
19	12, 16, 18	unitpropd 19939	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝐴))
20		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
21	13, 20, 15	sralmod0 20458	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐴))
22	21	sneqd 4573	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘𝐴)})
23	16, 22	difeq12d 4058	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
24	11, 19, 23	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
25		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
26		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
27		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28	25, 26, 27	isdrng 19995	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
29	5, 24, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  Unitcui 19881  DivRingcdr 19991  subringAlg csra 20430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-drng 19993  df-sra 20434

This theorem is referenced by:  rgmoddim  31693  extdggt0  31732