Theorem sradrng 33617

Description: Condition for a subring algebra to be a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sradrng.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sradrng.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sradrng	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sradrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20655	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		sradrng.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
3		sradrng.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	sraring 21124	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	isdrng 20652	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
10	9	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
12		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
13	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14, 3	sseqtrdi 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 15	srabase 21115	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
17	13, 15	sramulr 21117	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
18	17	oveqdr 7382	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
19	12, 16, 18	unitpropd 20339	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝐴))
20		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
21	13, 20, 15	sralmod0 21126	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐴))
22	21	sneqd 4589	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘𝐴)})
23	16, 22	difeq12d 4076	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
24	11, 19, 23	3eqtr3d 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)}))
25		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
26		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
27		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28	25, 26, 27	isdrng 20652	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ DivRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐴) = ((Base‘𝐴) ∖ {(0g‘𝐴)})))
29	5, 24, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  ._rcmulr 17166  0_gc0g 17347  Ringcrg 20155  Unitcui 20277  DivRingcdr 20648  subringAlg csra 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-drng 20650  df-sra 21111

This theorem is referenced by:  rlmdim  33645  rgmoddimOLD  33646  extdggt0  33693