Theorem drnglpir 21224

Description: Division rings are principal ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
drnglpir	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ LPIR)

Proof of Theorem drnglpir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20633	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	2, 3, 4	drngnidl 21140	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
6		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
7	6, 3	lpi0 21218	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LPIdeal‘𝑅))
8	6, 2	lpi1 21219	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (LPIdeal‘𝑅))
9	7, 8	prssd 4819	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)} ⊆ (LPIdeal‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)} ⊆ (LPIdeal‘𝑅))
11	5, 10	eqsstrd 4010	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) ⊆ (LPIdeal‘𝑅))
12	6, 4	islpir2 21222	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑅) ⊆ (LPIdeal‘𝑅)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ LPIR)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  {csn 4622  {cpr 4624  ‘cfv 6541  Basecbs 17177  0_gc0g 17418  Ringcrg 20175  DivRingcdr 20626  LIdealclidl 21104  LPIdealclpidl 21212  LPIRclpir 21213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-lpidl 21214  df-lpir 21215

This theorem is referenced by: (None)