Theorem drnglpir 19650

Description: Division rings are principal ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
drnglpir	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ LPIR)

Proof of Theorem drnglpir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 19146	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	2, 3, 4	drngnidl 19626	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)})
6		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
7	6, 3	lpi0 19644	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LPIdeal‘𝑅))
8	6, 2	lpi1 19645	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (LPIdeal‘𝑅))
9		snex 5140	. . . . . . 7 ⊢ {(0g‘𝑅)} ∈ V
10		fvex 6459	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
11	9, 10	prss 4582	. . . . . 6 ⊢ (({(0g‘𝑅)} ∈ (LPIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ↔ {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)} ⊆ (LPIdeal‘𝑅))
12	11	bicomi 216	. . . . 5 ⊢ ({{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)} ⊆ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ({(0g‘𝑅)} ∈ (LPIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ∈ (LPIdeal‘𝑅)))
13	7, 8, 12	sylanbrc 578	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)} ⊆ (LPIdeal‘𝑅))
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{(0g‘𝑅)}, (Base‘𝑅)} ⊆ (LPIdeal‘𝑅))
15	5, 14	eqsstrd 3858	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) ⊆ (LPIdeal‘𝑅))
16	6, 4	islpir2 19648	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑅) ⊆ (LPIdeal‘𝑅)))
17	1, 15, 16	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ LPIR)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  {csn 4398  {cpr 4400  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  Ringcrg 18934  DivRingcdr 19139  LIdealclidl 19567  LPIdealclpidl 19638  LPIRclpir 19639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-drng 19141  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-rsp 19572  df-lpidl 19640  df-lpir 19641

This theorem is referenced by: (None)