Theorem abvtriv 20681

Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as 𝑅 is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 20678 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
abvtriv	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvtriv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		abvtriv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		abvtriv.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5		eqid 2726	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		drngring 20591	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7		biid 261	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing)
8		eldifsn 4785	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
9		eldifsn 4785	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))
10	2, 5, 3	drngmcl 20601	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	7, 8, 9, 10	syl3anbr 1159	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
12		eldifsn 4785	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
13	11, 12	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
14	13	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	abvtrivd 20680	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940  ifcif 4523  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110  Basecbs 17150  ._rcmulr 17204  0_gc0g 17391  DivRingcdr 20584  AbsValcabv 20656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-ico 13333  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-abv 20657

This theorem is referenced by:  ostth1  27516  ostth  27522