Theorem abvtriv 20710

Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as 𝑅 is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 20707 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
abvtriv	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvtriv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		abvtriv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		abvtriv.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5		eqid 2727	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		drngring 20620	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7		biid 261	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing)
8		eldifsn 4786	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
9		eldifsn 4786	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))
10	2, 5, 3	drngmcl 20630	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	7, 8, 9, 10	syl3anbr 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
12		eldifsn 4786	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
13	11, 12	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
14	13	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	abvtrivd 20709	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3941  ifcif 4524  {csn 4624   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  Basecbs 17171  ._rcmulr 17225  0_gc0g 17412  DivRingcdr 20613  AbsValcabv 20685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-ico 13354  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-abv 20686

This theorem is referenced by:  ostth1  27553  ostth  27559