Theorem abvtriv 21004

Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
abvtriv	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngdomn 20916	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
2		abvtriv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
3		abvtriv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		abvtriv.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		abvtriv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
6	2, 3, 4, 5	abvtrivg 21003	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝐹 ∈ 𝐴)
7	1, 6	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  0cc0 11127  1c1 11128  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Domncdomn 20858  DivRingcdr 20894  AbsValcabv 20978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-ico 13406  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-nzr 20677  df-rlreg 20860  df-domn 20861  df-drng 20896  df-abv 20979

This theorem is used by:  ostth1  27870  ostth  27876