MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtriv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtriv 19584
Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as 𝑅 is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 19581 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
Assertion
Ref Expression
abvtriv (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvtriv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 abvtriv.z . 2 0 = (0g𝑅)
4 abvtriv.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5 eqid 2820 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 drngring 19481 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7 biid 263 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing)
8 eldifsn 4691 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
9 eldifsn 4691 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑧𝐵𝑧0 ))
102, 5, 3drngmcl 19487 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
117, 8, 9, 10syl3anbr 1158 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
12 eldifsn 4691 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1311, 12sylib 220 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1413simprd 498 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14abvtrivd 19583 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  cdif 3906  ifcif 4439  {csn 4539  cmpt 5118  cfv 6327  (class class class)co 7129  0cc0 10511  1c1 10512  Basecbs 16458  .rcmulr 16541  0gc0g 16688  DivRingcdr 19474  AbsValcabv 19559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-tpos 7866  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-ico 12719  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-oppr 19348  df-dvdsr 19366  df-unit 19367  df-invr 19397  df-dvr 19408  df-drng 19476  df-abv 19560
This theorem is referenced by:  ostth1  26192  ostth  26198
  Copyright terms: Public domain W3C validator