MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtriv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtriv 20710
Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as 𝑅 is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 20707 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
Assertion
Ref Expression
abvtriv (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvtriv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 abvtriv.z . 2 0 = (0g𝑅)
4 abvtriv.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5 eqid 2727 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 drngring 20620 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7 biid 261 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing)
8 eldifsn 4786 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
9 eldifsn 4786 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑧𝐵𝑧0 ))
102, 5, 3drngmcl 20630 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
117, 8, 9, 10syl3anbr 1160 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
12 eldifsn 4786 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1311, 12sylib 217 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1413simprd 495 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14abvtrivd 20709 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  cdif 3941  ifcif 4524  {csn 4624  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  0gc0g 17412  DivRingcdr 20613  AbsValcabv 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-ico 13354  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-abv 20686
This theorem is referenced by:  ostth1  27553  ostth  27559
  Copyright terms: Public domain W3C validator