Theorem abvtriv 20728

Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as 𝑅 is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 20725 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
abvtriv	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvtriv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		abvtriv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		abvtriv.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5		eqid 2728	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		drngring 20638	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7		biid 260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing)
8		eldifsn 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
9		eldifsn 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))
10	2, 5, 3	drngmcl 20648	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	7, 8, 9, 10	syl3anbr 1159	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
12		eldifsn 4795	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
13	11, 12	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
14	13	simprd 494	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	abvtrivd 20727	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3946  ifcif 4532  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147  Basecbs 17187  ._rcmulr 17241  0_gc0g 17428  DivRingcdr 20631  AbsValcabv 20703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-ico 13370  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-abv 20704

This theorem is referenced by:  ostth1  27586  ostth  27592