Theorem ig1pcl 26206

Description: The monic generator of an ideal is always in the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ig1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6901	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝐺‘𝐼) = (𝐺‘{(0g‘𝑃)}))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → 𝐼 = {(0g‘𝑃)})
3	1, 2	eleq12d 2820	. 2 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)}))
4		ig1pval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ig1pval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
6		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ig1pval3 26205	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
11	10	simp1d 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3expa 1115	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13		drngring 20714	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 5, 6	ig1pval2 26204	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
16		fvex 6914	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ V
17	16	elsn 4648	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)} ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
18	15, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
19	18	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
20	3, 12, 19	pm2.61ne 3017	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3944  {csn 4633   “ cima 5685  ‘cfv 6554  infcinf 9484  ℝcr 11157   < clt 11298  0_gc0g 17454  Ringcrg 20216  DivRingcdr 20707  LIdealclidl 21195  Poly₁cpl1 22166  deg₁cdg1 26078  Monic_1pcmn1 26153  idlGen_1pcig1p 26157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-rlreg 20672  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-cnfld 21344  df-ascl 21853  df-psr 21906  df-mvr 21907  df-mpl 21908  df-opsr 21910  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-mdeg 26079  df-deg1 26080  df-mon1 26158  df-uc1p 26159  df-ig1p 26162

This theorem is referenced by:  ig1pdvds  26207  ig1prsp  26208  ply1lpir  26209  ig1pnunit  33468  minplycl  33575  minplyann  33578  minplyirred  33580  irngnminplynz  33581