Theorem ig1pcl 26091

Description: The monic generator of an ideal is always in the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ig1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝐺‘𝐼) = (𝐺‘{(0g‘𝑃)}))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → 𝐼 = {(0g‘𝑃)})
3	1, 2	eleq12d 2823	. 2 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)}))
4		ig1pval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ig1pval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ig1pval3 26090	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
11	10	simp1d 1142	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13		drngring 20652	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 5, 6	ig1pval2 26089	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
16		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ V
17	16	elsn 4607	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)} ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
18	15, 17	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
19	18	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
20	3, 12, 19	pm2.61ne 3011	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  {csn 4592   “ cima 5644  ‘cfv 6514  infcinf 9399  ℝcr 11074   < clt 11215  0_gc0g 17409  Ringcrg 20149  DivRingcdr 20645  LIdealclidl 21123  Poly₁cpl1 22068  deg₁cdg1 25966  Monic_1pcmn1 26038  idlGen_1pcig1p 26042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-rlreg 20610  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-cnfld 21272  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-mdeg 25967  df-deg1 25968  df-mon1 26043  df-uc1p 26044  df-ig1p 26047

This theorem is referenced by:  ig1pdvds  26092  ig1prsp  26093  ply1lpir  26094  ig1pnunit  33573  minplycl  33703  minplyann  33706  minplyirred  33708  irngnminplynz  33709