Theorem ig1pcl 26336

Description: The monic generator of an ideal is always in the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ig1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝐺‘𝐼) = (𝐺‘{(0g‘𝑃)}))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → 𝐼 = {(0g‘𝑃)})
3	1, 2	eleq12d 2857	. 2 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)}))
4		ig1pval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ig1pval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ig1pval3 26335	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
11	10	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13		drngring 20834	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 5, 6	ig1pval2 26334	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
16		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ V
17	16	elsn 4604	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)} ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
18	15, 17	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
19	18	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
20	3, 12, 19	pm2.61ne 3043	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4589   “ cima 5664  ‘cfv 6536  infcinf 9397  ℝcr 11094   < clt 11238  0_gc0g 17487  Ringcrg 20310  DivRingcdr 20827  LIdealclidl 21330  Poly₁cpl1 22337  deg₁cdg1 26211  Monic_1pcmn1 26283  idlGen_1pcig1p 26287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-rlreg 20793  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332  df-cnfld 21523  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343  df-mdeg 26212  df-deg1 26213  df-mon1 26288  df-uc1p 26289  df-ig1p 26292

This theorem is referenced by:  ig1pdvds  26337  ig1prsp  26338  ply1lpir  26339  ig1pnunit  33891  minplycl  34096  minplyann  34099  minplyirred  34101  irngnminplynz  34102