Theorem ig1pcl 26389

Description: The monic generator of an ideal is always in the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ig1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝐺‘𝐼) = (𝐺‘{(0g‘𝑃)}))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → 𝐼 = {(0g‘𝑃)})
3	1, 2	eleq12d 2859	. 2 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)}))
4		ig1pval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ig1pval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ig1pval3 26388	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
11	10	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13		drngring 20886	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 5, 6	ig1pval2 26387	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
16		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ V
17	16	elsn 4606	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)} ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
18	15, 17	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
19	18	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
20	3, 12, 19	pm2.61ne 3045	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591   “ cima 5666  ‘cfv 6540  infcinf 9408  ℝcr 11116   < clt 11260  0_gc0g 17516  Ringcrg 20361  DivRingcdr 20879  LIdealclidl 21382  Poly₁cpl1 22389  deg₁cdg1 26264  Monic_1pcmn1 26336  idlGen_1pcig1p 26340

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-rlreg 20845  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-lidl 21384  df-cnfld 21575  df-ascl 22057  df-psr 22111  df-mvr 22112  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-psr1 22392  df-vr1 22393  df-ply1 22394  df-coe1 22395  df-mdeg 26265  df-deg1 26266  df-mon1 26341  df-uc1p 26342  df-ig1p 26345

This theorem is used by:  ig1pdvds  26390  ig1prsp  26391  ply1lpir  26392  ig1pnunit  33957  minplycl  34162  minplyann  34165  minplyirred  34167  irngnminplynz  34168