MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pcl 26206
Description: The monic generator of an ideal is always in the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pcl ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ig1pcl
StepHypRef Expression
1 fveq2 6901 . . 3 (𝐼 = {(0g𝑃)} → (𝐺𝐼) = (𝐺‘{(0g𝑃)}))
2 id 22 . . 3 (𝐼 = {(0g𝑃)} → 𝐼 = {(0g𝑃)})
31, 2eleq12d 2820 . 2 (𝐼 = {(0g𝑃)} → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ↔ (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)}))
4 ig1pval.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 ig1pval.g . . . . 5 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
6 eqid 2726 . . . . 5 (0g𝑃) = (0g𝑃)
7 ig1pcl.u . . . . 5 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8 eqid 2726 . . . . 5 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
9 eqid 2726 . . . . 5 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
104, 5, 6, 7, 8, 9ig1pval3 26205 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ ((deg1𝑅)‘(𝐺𝐼)) = inf(((deg1𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g𝑃)})), ℝ, < )))
1110simp1d 1139 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
12113expa 1115 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝐼 ≠ {(0g𝑃)}) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
13 drngring 20714 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
144, 5, 6ig1pval2 26204 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{(0g𝑃)}) = (0g𝑃))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g𝑃)}) = (0g𝑃))
16 fvex 6914 . . . . 5 (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ V
1716elsn 4648 . . . 4 ((𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)} ↔ (𝐺‘{(0g𝑃)}) = (0g𝑃))
1815, 17sylibr 233 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)})
1918adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺‘{(0g𝑃)}) ∈ {(0g𝑃)})
203, 12, 19pm2.61ne 3017 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  {csn 4633  cima 5685  cfv 6554  infcinf 9484  cr 11157   < clt 11298  0gc0g 17454  Ringcrg 20216  DivRingcdr 20707  LIdealclidl 21195  Poly1cpl1 22166  deg1cdg1 26078  Monic1pcmn1 26153  idlGen1pcig1p 26157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-rlreg 20672  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-cnfld 21344  df-ascl 21853  df-psr 21906  df-mvr 21907  df-mpl 21908  df-opsr 21910  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-mdeg 26079  df-deg1 26080  df-mon1 26158  df-uc1p 26159  df-ig1p 26162
This theorem is referenced by:  ig1pdvds  26207  ig1prsp  26208  ply1lpir  26209  ig1pnunit  33468  minplycl  33575  minplyann  33578  minplyirred  33580  irngnminplynz  33581
  Copyright terms: Public domain W3C validator