Theorem ig1pcl 26232

Description: The monic generator of an ideal is always in the ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ig1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6906	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → (𝐺‘𝐼) = (𝐺‘{(0g‘𝑃)}))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → 𝐼 = {(0g‘𝑃)})
3	1, 2	eleq12d 2832	. 2 ⊢ (𝐼 = {(0g‘𝑃)} → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)}))
4		ig1pval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ig1pval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
7		ig1pcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
8		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ig1pval3 26231	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐺‘𝐼)) = inf(((deg1‘𝑅) “ (𝐼 ∖ {(0g‘𝑃)})), ℝ, < )))
11	10	simp1d 1141	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	11	3expa 1117	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝐼 ≠ {(0g‘𝑃)}) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
13		drngring 20752	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 5, 6	ig1pval2 26230	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
16		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ V
17	16	elsn 4645	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)} ↔ (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) = (0g‘𝑃))
18	15, 17	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
19	18	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘{(0g‘𝑃)}) ∈ {(0g‘𝑃)})
20	3, 12, 19	pm2.61ne 3024	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3959  {csn 4630   “ cima 5691  ‘cfv 6562  infcinf 9478  ℝcr 11151   < clt 11292  0_gc0g 17485  Ringcrg 20250  DivRingcdr 20745  LIdealclidl 21233  Poly₁cpl1 22193  deg₁cdg1 26107  Monic_1pcmn1 26179  idlGen_1pcig1p 26183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-cnfld 21382  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-mon1 26184  df-uc1p 26185  df-ig1p 26188

This theorem is referenced by:  ig1pdvds  26233  ig1prsp  26234  ply1lpir  26235  ig1pnunit  33600  minplycl  33713  minplyann  33716  minplyirred  33718  irngnminplynz  33719