Theorem lighneallem4a 45060

Description: Lemma 1 for lighneallem4 45062. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem4a	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12047	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		peano2re 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8		eluzge2nn0 12627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10		eluzge3nn 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0expcld 13961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
15		peano2re 11148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
17	2, 3	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
18	2, 17	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1red 10976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		eluz2nn 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 𝐴)
23	20, 3, 3, 22	leadd2dd 11590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24		eluzelcn 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 12216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
26	23, 25	breqtrrd 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28		2pos 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
29	1, 28	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
31	5, 17, 30	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33		lemul2 11828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
35	27, 34	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
38	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	37, 37, 38	mulassd 10998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40		sq2 13914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
41		4re 12057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
42	40, 41	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44		nn0sqcl 13810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
45	8, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48		nnm1nn0 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
49	10, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
51	9, 50	nn0expcld 13961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
55	2, 3, 54	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57		0le2 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 ≤ 2)
59		eluzle 12595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴)
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61		leexp1a 13893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
62	56, 58, 60, 61	syl12anc 834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63		2p1e3 12115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
64		eluzle 12595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
65	63, 64	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
67		eluzelre 12593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		leaddsub 11451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
69	1, 66, 67, 68	mp3an2i 1465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
70	65, 69	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
72	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73		2z 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79		eluz2gt1 12660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 1 < 𝐴)
81	72, 74, 78, 80	leexp2d 13969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
82	71, 81	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
83	43, 47, 52, 62, 82	letrd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
84	36	sqvali 13897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
85	84	eqcomi 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (2↑2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87		eluz2n0 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ≠ 0)
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
89	75	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	38, 88, 89	expm1d 13874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
91	90	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
92	83, 86, 91	3brtr4d 5106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
93	1, 1	remulcli 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) ∈ ℝ
94	21	nngt0d 12022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐴)
95	3, 94	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
96	95	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97		lemuldiv 11855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
98	93, 14, 96, 97	mp3an2i 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
99	92, 98	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀))
100	39, 99	eqbrtrrd 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴↑𝑀))
101	7, 19, 14, 35, 100	letrd 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴↑𝑀))
102	14	lep1d 11906	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
103	7, 14, 16, 101, 102	letrd 11132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
104		nnnn0 12240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105		nn0p1gt0 12262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
106	21, 104, 105	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
107	5, 106	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108	107	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109		lemuldiv 11855	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
110	1, 16, 108, 109	mp3an2i 1465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111	103, 110	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
112	111	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113		breq2 5078	. . 3 ⊢ (𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
114	113	3ad2ant3 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115	112, 114	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  45061