Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4a 47595
Description: Lemma 1 for lighneallem4 47597. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4a ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a
StepHypRef Expression
1 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
3 eluzelre 12889 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 peano2re 11434 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
62, 5remulcld 11291 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8 eluzge2nn0 12929 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10 eluzge3nn 12932 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
139, 12nn0expcld 14285 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℕ0)
1413nn0red 12588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
15 peano2re 11434 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
172, 3remulcld 11291 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
182, 17remulcld 11291 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20 1red 11262 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 eluz2nn 12924 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2221nnge1d 12314 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ 𝐴)
2320, 3, 3, 22leadd2dd 11878 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24 eluzelcn 12890 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25242timesd 12509 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2623, 25breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28 2pos 12369 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
291, 28pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
315, 17, 303jca 1129 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33 lemul2 12120 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3527, 34mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36 2cn 12341 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℂ)
3824adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3937, 37, 38mulassd 11284 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40 sq2 14236 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
41 4re 12350 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
4240, 41eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44 nn0sqcl 14130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12588 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
4910, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
519, 50nn0expcld 14285 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
5251nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
552, 3, 543jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57 0le2 12368 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 0 ≤ 2)
59 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝐴)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61 leexp1a 14215 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
6256, 58, 60, 61syl12anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63 2p1e3 12408 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
64 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑀)
6563, 64eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
67 eluzelre 12889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68 leaddsub 11739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
691, 66, 67, 68mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
7065, 69mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
723adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73 2z 12649 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79 eluz2gt1 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < 𝐴)
8172, 74, 78, 80leexp2d 14291 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
8271, 81mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8343, 47, 52, 62, 82letrd 11418 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8436sqvali 14219 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = (2 · 2)
8584eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = (2↑2)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87 eluz2n0 12930 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ≠ 0)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
8975adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
9038, 88, 89expm1d 14196 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴𝑀) / 𝐴))
9190eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
9283, 86, 913brtr4d 5175 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴))
931, 1remulcli 11277 . . . . . . . . 9 (2 · 2) ∈ ℝ
9421nngt0d 12315 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐴)
953, 94jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9695adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97 lemuldiv 12148 . . . . . . . . 9 (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9893, 14, 96, 97mp3an2i 1468 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9992, 98mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀))
10039, 99eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴𝑀))
1017, 19, 14, 35, 100letrd 11418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴𝑀))
10214lep1d 12199 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
1037, 14, 16, 101, 102letrd 11418 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
104 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105 nn0p1gt0 12555 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
10621, 104, 1053syl 18 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
1075, 106jca 511 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108107adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109 lemuldiv 12148 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1101, 16, 108, 109mp3an2i 1468 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111103, 110mpbid 232 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
1121113adant3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113 breq2 5147 . . 3 (𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1141133ad2ant3 1136 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115112, 114mpbird 257 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  lighneallem4b  47596
  Copyright terms: Public domain W3C validator