Theorem lighneallem4a 48284

Description: Lemma 1 for lighneallem4 48286. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem4a	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		peano2re 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8		eluzge2nn0 12916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
9	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10		eluz3nn 12913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12	11	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0expcld 14282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12566	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
15		peano2re 11383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
17	2, 3	remulcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
18	2, 17	remulcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1red 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		eluz2nn 12912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 𝐴)
23	20, 3, 3, 22	leadd2dd 11829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24		eluzelcn 12874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
26	23, 25	breqtrrd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
27	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28		2pos 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
29	1, 28	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
31	5, 17, 30	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
32	31	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33		lemul2 12068	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
35	27, 34	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36		2cn 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
38	24	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	37, 37, 38	mulassd 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40		sq2 14233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
41		4re 12325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
42	40, 41	eqeltri 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44		nn0sqcl 14125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
45	8, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
47	46	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48		nnm1nn0 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
49	10, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
51	9, 50	nn0expcld 14282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53		2nn0 12521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
55	2, 3, 54	3jca 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
56	55	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57		0le2 12343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 ≤ 2)
59		eluzle 12875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴)
60	59	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61		leexp1a 14211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
62	56, 58, 60, 61	syl12anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63		2p1e3 12382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
64		eluzle 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
65	63, 64	eqbrtrid 5148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
67		eluzelre 12873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		leaddsub 11690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
69	1, 66, 67, 68	mp3an2i 1492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
70	65, 69	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
71	70	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
72	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73		2z 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75		eluzelz 12872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76		peano2zm 12637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
78	77	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79		eluz2gt1 12944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
80	79	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 1 < 𝐴)
81	72, 74, 78, 80	leexp2d 14288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
82	71, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
83	43, 47, 52, 62, 82	letrd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
84	36	sqvali 14216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
85	84	eqcomi 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (2↑2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87		eluz2n0 12917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ≠ 0)
88	87	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
89	75	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	38, 88, 89	expm1d 14192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
91	90	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
92	83, 86, 91	3brtr4d 5145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
93	1, 1	remulcli 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) ∈ ℝ
94	21	nngt0d 12285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐴)
95	3, 94	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
96	95	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97		lemuldiv 12095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
98	93, 14, 96, 97	mp3an2i 1492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
99	92, 98	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀))
100	39, 99	eqbrtrrd 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴↑𝑀))
101	7, 19, 14, 35, 100	letrd 11367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴↑𝑀))
102	14	lep1d 12146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
103	7, 14, 16, 101, 102	letrd 11367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
104		nnnn0 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105		nn0p1gt0 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
106	21, 104, 105	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
107	5, 106	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108	107	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109		lemuldiv 12095	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
110	1, 16, 108, 109	mp3an2i 1492	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111	103, 110	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
112	111	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113		breq2 5115	. . 3 ⊢ (𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
114	113	3ad2ant3 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115	112, 114	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ↑cexp 14097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  48285