Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4a 46871
Description: Lemma 1 for lighneallem4 46873. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4a ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ๐‘† = (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘†)

Proof of Theorem lighneallem4a
StepHypRef Expression
1 2re 12308 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3 eluzelre 12855 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 peano2re 11409 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
62, 5remulcld 11266 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„)
76adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„)
8 eluzge2nn0 12893 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
10 eluzge3nn 12896 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1110nnnn0d 12554 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
139, 12nn0expcld 14232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„•0)
1413nn0red 12555 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
15 peano2re 11409 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โˆˆ โ„)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โˆˆ โ„)
172, 3remulcld 11266 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
182, 17remulcld 11266 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
20 1red 11237 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
21 eluz2nn 12890 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2221nnge1d 12282 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
2320, 3, 3, 22leadd2dd 11851 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด + 1) โ‰ค (๐ด + ๐ด))
24 eluzelcn 12856 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
25242timesd 12477 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
2623, 25breqtrrd 5170 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด + 1) โ‰ค (2 ยท ๐ด))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ด + 1) โ‰ค (2 ยท ๐ด))
28 2pos 12337 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
291, 28pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
315, 17, 303jca 1126 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด + 1) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((๐ด + 1) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)))
33 lemul2 12089 . . . . . . . 8 (((๐ด + 1) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐ด + 1) โ‰ค (2 ยท ๐ด) โ†” (2 ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (2 ยท (2 ยท ๐ด))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((๐ด + 1) โ‰ค (2 ยท ๐ด) โ†” (2 ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (2 ยท (2 ยท ๐ด))))
3527, 34mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
36 2cn 12309 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3824adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3937, 37, 38mulassd 11259 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
40 sq2 14184 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
41 4re 12318 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„
4240, 41eqeltri 2824 . . . . . . . . . . 11 (2โ†‘2) โˆˆ โ„
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2โ†‘2) โˆˆ โ„)
44 nn0sqcl 14078 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
4645nn0red 12555 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
48 nnm1nn0 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
4910, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
519, 50nn0expcld 14232 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
5251nn0red 12555 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
53 2nn0 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
552, 3, 543jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„•0))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„•0))
57 0le2 12336 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 2
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ 0 โ‰ค 2)
59 eluzle 12857 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด)
61 leexp1a 14163 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (2โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2))
6256, 58, 60, 61syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘2))
63 2p1e3 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
64 eluzle 12857 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)
6563, 64eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ (2 + 1) โ‰ค ๐‘€)
66 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
67 eluzelre 12855 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
68 leaddsub 11712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ ((2 + 1) โ‰ค ๐‘€ โ†” 2 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1)))
691, 66, 67, 68mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ((2 + 1) โ‰ค ๐‘€ โ†” 2 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1)))
7065, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
723adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
73 2z 12616 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„ค
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
75 eluzelz 12854 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
76 peano2zm 12627 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
79 eluz2gt1 12926 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐ด)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ 1 < ๐ด)
8172, 74, 78, 80leexp2d 14238 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1) โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))))
8271, 81mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))
8343, 47, 52, 62, 82letrd 11393 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2โ†‘2) โ‰ค (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))
8436sqvali 14167 . . . . . . . . . . 11 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
8584eqcomi 2736 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = (2โ†‘2)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท 2) = (2โ†‘2))
87 eluz2n0 12894 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โ‰  0)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
8975adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
9038, 88, 89expm1d 14144 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) / ๐ด))
9190eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) / ๐ด) = (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))
9283, 86, 913brtr4d 5174 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท 2) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘€) / ๐ด))
931, 1remulcli 11252 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) โˆˆ โ„
9421nngt0d 12283 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 0 < ๐ด)
953, 94jca 511 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
9695adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
97 lemuldiv 12116 . . . . . . . . 9 (((2 ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (((2 ยท 2) ยท ๐ด) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (2 ยท 2) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘€) / ๐ด)))
9893, 14, 96, 97mp3an2i 1463 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (((2 ยท 2) ยท ๐ด) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (2 ยท 2) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘€) / ๐ด)))
9992, 98mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐ด) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
10039, 99eqbrtrrd 5166 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐ด)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
1017, 19, 14, 35, 100letrd 11393 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
10214lep1d 12167 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1))
1037, 14, 16, 101, 102letrd 11393 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2 ยท (๐ด + 1)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1))
104 nnnn0 12501 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
105 nn0p1gt0 12523 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < (๐ด + 1))
10621, 104, 1053syl 18 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 0 < (๐ด + 1))
1075, 106jca 511 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + 1)))
108107adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((๐ด + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + 1)))
109 lemuldiv 12116 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + 1))) โ†’ ((2 ยท (๐ด + 1)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โ†” 2 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))))
1101, 16, 108, 109mp3an2i 1463 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ ((2 ยท (๐ด + 1)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โ†” 2 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))))
111103, 110mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ 2 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1)))
1121113adant3 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ๐‘† = (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))) โ†’ 2 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1)))
113 breq2 5146 . . 3 (๐‘† = (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1)) โ†’ (2 โ‰ค ๐‘† โ†” 2 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))))
1141133ad2ant3 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ๐‘† = (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))) โ†’ (2 โ‰ค ๐‘† โ†” 2 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))))
115112, 114mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ๐‘† = (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  3c3 12290  4c4 12291  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ„คโ‰ฅcuz 12844  โ†‘cexp 14050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051
This theorem is referenced by:  lighneallem4b  46872
  Copyright terms: Public domain W3C validator