Theorem lighneallem4a 47602

Description: Lemma 1 for lighneallem4 47604. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem4a	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		peano2re 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 11180	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8		eluzge2nn0 12827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10		eluz3nn 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0expcld 14187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
15		peano2re 11323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
17	2, 3	remulcld 11180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
18	2, 17	remulcld 11180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1red 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		eluz2nn 12823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 𝐴)
23	20, 3, 3, 22	leadd2dd 11769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24		eluzelcn 12781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 12401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
26	23, 25	breqtrrd 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28		2pos 12265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
29	1, 28	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
31	5, 17, 30	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33		lemul2 12011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
35	27, 34	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36		2cn 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
38	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	37, 37, 38	mulassd 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40		sq2 14138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
41		4re 12246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
42	40, 41	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44		nn0sqcl 14030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
45	8, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48		nnm1nn0 12459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
49	10, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
51	9, 50	nn0expcld 14187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53		2nn0 12435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
55	2, 3, 54	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57		0le2 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 ≤ 2)
59		eluzle 12782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61		leexp1a 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
62	56, 58, 60, 61	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63		2p1e3 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
64		eluzle 12782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
65	63, 64	eqbrtrid 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
67		eluzelre 12780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		leaddsub 11630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
69	1, 66, 67, 68	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
70	65, 69	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
72	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73		2z 12541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76		peano2zm 12552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79		eluz2gt1 12855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 1 < 𝐴)
81	72, 74, 78, 80	leexp2d 14193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
82	71, 81	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
83	43, 47, 52, 62, 82	letrd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
84	36	sqvali 14121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
85	84	eqcomi 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (2↑2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87		eluz2n0 12828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ≠ 0)
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
89	75	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	38, 88, 89	expm1d 14097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
91	90	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
92	83, 86, 91	3brtr4d 5134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
93	1, 1	remulcli 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) ∈ ℝ
94	21	nngt0d 12211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐴)
95	3, 94	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
96	95	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97		lemuldiv 12039	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
98	93, 14, 96, 97	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
99	92, 98	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀))
100	39, 99	eqbrtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴↑𝑀))
101	7, 19, 14, 35, 100	letrd 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴↑𝑀))
102	14	lep1d 12090	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
103	7, 14, 16, 101, 102	letrd 11307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
104		nnnn0 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105		nn0p1gt0 12447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
106	21, 104, 105	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
107	5, 106	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108	107	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109		lemuldiv 12039	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
110	1, 16, 108, 109	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111	103, 110	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
112	111	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113		breq2 5106	. . 3 ⊢ (𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
114	113	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115	112, 114	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  47603