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Theorem lighneallem4a 42369
Description: Lemma 1 for lighneallem4 42371. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4a ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a
StepHypRef Expression
1 2re 11432 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
3 eluzelre 11986 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 peano2re 10535 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
62, 5remulcld 10394 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
76adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8 eluzge2nn0 12016 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
98adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10 eluzge3nn 12019 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11685 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1211adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
139, 12nn0expcld 13334 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11686 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
15 peano2re 10535 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
172, 3remulcld 10394 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
182, 17remulcld 10394 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20 1red 10364 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 eluz2nn 12015 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2221nnge1d 11406 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ 𝐴)
2320, 3, 3, 22leadd2dd 10974 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24 eluzelcn 11987 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25242timesd 11608 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2623, 25breqtrrd 4903 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
2726adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28 2pos 11468 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
291, 28pm3.2i 464 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
315, 17, 303jca 1162 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
3231adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33 lemul2 11213 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3527, 34mpbid 224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36 2cn 11433 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℂ)
3824adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3937, 37, 38mulassd 10387 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40 sq2 13261 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
41 4re 11443 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
4240, 41eqeltri 2902 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44 nn0sqcl 13188 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11686 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4746adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48 nnm1nn0 11668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
4910, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
5049adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
519, 50nn0expcld 13334 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
5251nn0red 11686 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53 2nn0 11644 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
552, 3, 543jca 1162 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
5655adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57 0le2 11467 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 0 ≤ 2)
59 eluzle 11988 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝐴)
6059adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61 leexp1a 13220 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
6256, 58, 60, 61syl12anc 870 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63 2p1e3 11507 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
64 eluzle 11988 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑀)
6563, 64syl5eqbr 4910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66 1red 10364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
67 eluzelre 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68 leaddsub 10835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
691, 66, 67, 68mp3an2i 1594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
7065, 69mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
7170adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
723adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73 2z 11744 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75 eluzelz 11985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76 peano2zm 11755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7877adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79 eluz2gt1 12050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
8079adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < 𝐴)
8172, 74, 78, 80leexp2d 13342 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
8271, 81mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8343, 47, 52, 62, 82letrd 10520 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8436sqvali 13244 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = (2 · 2)
8584eqcomi 2834 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = (2↑2)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87 eluz2n0 12017 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ≠ 0)
8887adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
8975adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
9038, 88, 89expm1d 13319 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴𝑀) / 𝐴))
9190eqcomd 2831 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
9283, 86, 913brtr4d 4907 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴))
931, 1remulcli 10380 . . . . . . . . 9 (2 · 2) ∈ ℝ
9421nngt0d 11407 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐴)
953, 94jca 507 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9695adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97 lemuldiv 11240 . . . . . . . . 9 (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9893, 14, 96, 97mp3an2i 1594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9992, 98mpbird 249 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀))
10039, 99eqbrtrrd 4899 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴𝑀))
1017, 19, 14, 35, 100letrd 10520 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴𝑀))
10214lep1d 11292 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
1037, 14, 16, 101, 102letrd 10520 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
104 nnnn0 11633 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105 nn0p1gt0 11656 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
10621, 104, 1053syl 18 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
1075, 106jca 507 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108107adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109 lemuldiv 11240 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1101, 16, 108, 109mp3an2i 1594 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111103, 110mpbid 224 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
1121113adant3 1166 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113 breq2 4879 . . 3 (𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1141133ad2ant3 1169 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115112, 114mpbird 249 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592   / cdiv 11016  cn 11357  2c2 11413  3c3 11414  4c4 11415  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975  cexp 13161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162
This theorem is referenced by:  lighneallem4b  42370
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