Proof of Theorem lighneallem4a
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2re 12340 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ) |
| 3 | | eluzelre 12889 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 4 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈
ℝ) |
| 5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ) |
| 6 | 2, 5 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ) |
| 7 | 6 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · (𝐴 + 1))
∈ ℝ) |
| 8 | | eluzge2nn0 12929 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈
ℕ0) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 𝐴 ∈
ℕ0) |
| 10 | | eluzge3nn 12932 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ) |
| 11 | 10 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 12 | 11 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 13 | 9, 12 | nn0expcld 14285 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑𝑀) ∈
ℕ0) |
| 14 | 13 | nn0red 12588 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑𝑀) ∈
ℝ) |
| 15 | | peano2re 11434 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ) |
| 16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈
ℝ) |
| 17 | 2, 3 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 18 | 2, 17 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈
ℝ) |
| 19 | 18 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 20 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ) |
| 21 | | eluz2nn 12924 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ) |
| 22 | 21 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 ≤ 𝐴) |
| 23 | 20, 3, 3, 22 | leadd2dd 11878 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴)) |
| 24 | | eluzelcn 12890 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 25 | 24 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴)) |
| 26 | 23, 25 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴)) |
| 27 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴 + 1) ≤ (2
· 𝐴)) |
| 28 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 <
2 |
| 29 | 1, 28 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2) |
| 30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 <
2)) |
| 31 | 5, 17, 30 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2))) |
| 32 | 31 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((𝐴 + 1) ∈
ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ
∧ 0 < 2))) |
| 33 | | lemul2 12120 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2
· 𝐴) ∈ ℝ
∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))) |
| 34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((𝐴 + 1) ≤ (2
· 𝐴) ↔ (2
· (𝐴 + 1)) ≤ (2
· (2 · 𝐴)))) |
| 35 | 27, 34 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · (𝐴 + 1))
≤ (2 · (2 · 𝐴))) |
| 36 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 37 | 36 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 2 ∈ ℂ) |
| 38 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
| 39 | 37, 37, 38 | mulassd 11284 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))) |
| 40 | | sq2 14236 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(2↑2) = 4 |
| 41 | | 4re 12350 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 4 ∈
ℝ |
| 42 | 40, 41 | eqeltri 2837 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(2↑2) ∈ ℝ |
| 43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2↑2) ∈ ℝ) |
| 44 | | nn0sqcl 14130 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ (𝐴↑2) ∈
ℕ0) |
| 45 | 8, 44 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈
ℕ0) |
| 46 | 45 | nn0red 12588 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ) |
| 47 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑2) ∈
ℝ) |
| 48 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈
ℕ0) |
| 49 | 10, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈
ℕ0) |
| 50 | 49 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝑀 − 1) ∈
ℕ0) |
| 51 | 9, 50 | nn0expcld 14285 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈
ℕ0) |
| 52 | 51 | nn0red 12588 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈
ℝ) |
| 53 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 54 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 2 ∈
ℕ0) |
| 55 | 2, 3, 54 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℕ0)) |
| 56 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℕ0)) |
| 57 | | 0le2 12368 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 ≤
2 |
| 58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 0 ≤ 2) |
| 59 | | eluzle 12891 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴) |
| 60 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 2 ≤ 𝐴) |
| 61 | | leexp1a 14215 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((2
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤
𝐴)) → (2↑2) ≤
(𝐴↑2)) |
| 62 | 56, 58, 60, 61 | syl12anc 837 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2↑2) ≤ (𝐴↑2)) |
| 63 | | 2p1e3 12408 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2 + 1) =
3 |
| 64 | | eluzle 12891 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑀) |
| 65 | 63, 64 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀) |
| 66 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ) |
| 67 | | eluzelre 12889 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℝ) |
| 68 | | leaddsub 11739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1))) |
| 69 | 1, 66, 67, 68 | mp3an2i 1468 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1))) |
| 70 | 65, 69 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1)) |
| 71 | 70 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 2 ≤ (𝑀 −
1)) |
| 72 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
| 73 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 74 | 73 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 2 ∈ ℤ) |
| 75 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 76 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈
ℤ) |
| 77 | 75, 76 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ) |
| 78 | 77 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝑀 − 1) ∈
ℤ) |
| 79 | | eluz2gt1 12962 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴) |
| 80 | 79 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 1 < 𝐴) |
| 81 | 72, 74, 78, 80 | leexp2d 14291 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 ≤ (𝑀 −
1) ↔ (𝐴↑2) ≤
(𝐴↑(𝑀 − 1)))) |
| 82 | 71, 81 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑2) ≤
(𝐴↑(𝑀 − 1))) |
| 83 | 43, 47, 52, 62, 82 | letrd 11418 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))) |
| 84 | 36 | sqvali 14219 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(2↑2) = (2 · 2) |
| 85 | 84 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 2) = (2↑2) |
| 86 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · 2) = (2↑2)) |
| 87 | | eluz2n0 12930 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ≠ 0) |
| 88 | 87 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 𝐴 ≠
0) |
| 89 | 75 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 𝑀 ∈
ℤ) |
| 90 | 38, 88, 89 | expm1d 14196 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)) |
| 91 | 90 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1))) |
| 92 | 83, 86, 91 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)) |
| 93 | 1, 1 | remulcli 11277 |
. . . . . . . . 9
⊢ (2
· 2) ∈ ℝ |
| 94 | 21 | nngt0d 12315 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 0 < 𝐴) |
| 95 | 3, 94 | jca 511 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) |
| 96 | 95 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝐴)) |
| 97 | | lemuldiv 12148 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((2
· 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2)
· 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))) |
| 98 | 93, 14, 96, 97 | mp3an2i 1468 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))) |
| 99 | 92, 98 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀)) |
| 100 | 39, 99 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴↑𝑀)) |
| 101 | 7, 19, 14, 35, 100 | letrd 11418 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · (𝐴 + 1))
≤ (𝐴↑𝑀)) |
| 102 | 14 | lep1d 12199 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (𝐴↑𝑀) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1)) |
| 103 | 7, 14, 16, 101, 102 | letrd 11418 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ (2 · (𝐴 + 1))
≤ ((𝐴↑𝑀) + 1)) |
| 104 | | nnnn0 12533 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈
ℕ0) |
| 105 | | nn0p1gt0 12555 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 0 < (𝐴 +
1)) |
| 106 | 21, 104, 105 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 0 < (𝐴 + 1)) |
| 107 | 5, 106 | jca 511 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) |
| 108 | 107 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((𝐴 + 1) ∈
ℝ ∧ 0 < (𝐴 +
1))) |
| 109 | | lemuldiv 12148 |
. . . . 5
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0
< (𝐴 + 1))) → ((2
· (𝐴 + 1)) ≤
((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))) |
| 110 | 1, 16, 108, 109 | mp3an2i 1468 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ ((2 · (𝐴 +
1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))) |
| 111 | 103, 110 | mpbid 232 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3))
→ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) |
| 112 | 111 | 3adant3 1133 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)
∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) |
| 113 | | breq2 5147 |
. . 3
⊢ (𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))) |
| 114 | 113 | 3ad2ant3 1136 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)
∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))) |
| 115 | 112, 114 | mpbird 257 |
1
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)
∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆) |