Theorem lighneallem4a 47007

Description: Lemma 1 for lighneallem4 47009. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem4a	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		peano2re 11412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 11269	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8		eluzge2nn0 12896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
9	8	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10		eluzge3nn 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12	11	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0expcld 14235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12558	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
15		peano2re 11412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ)
17	2, 3	remulcld 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
18	2, 17	remulcld 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1red 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
21		eluz2nn 12893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 𝐴)
23	20, 3, 3, 22	leadd2dd 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24		eluzelcn 12859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
26	23, 25	breqtrrd 5172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
27	26	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28		2pos 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
29	1, 28	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
31	5, 17, 30	3jca 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
32	31	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33		lemul2 12092	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
35	27, 34	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36		2cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
38	24	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	37, 37, 38	mulassd 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40		sq2 14187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
41		4re 12321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
42	40, 41	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44		nn0sqcl 14081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
45	8, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
47	46	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48		nnm1nn0 12538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
49	10, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
51	9, 50	nn0expcld 14235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53		2nn0 12514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
55	2, 3, 54	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
56	55	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57		0le2 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 0 ≤ 2)
59		eluzle 12860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴)
60	59	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61		leexp1a 14166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
62	56, 58, 60, 61	syl12anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63		2p1e3 12379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
64		eluzle 12860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
65	63, 64	eqbrtrid 5179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66		1red 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
67		eluzelre 12858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		leaddsub 11715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
69	1, 66, 67, 68	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
70	65, 69	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
71	70	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
72	3	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73		2z 12619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75		eluzelz 12857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76		peano2zm 12630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
78	77	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79		eluz2gt1 12929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
80	79	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 1 < 𝐴)
81	72, 74, 78, 80	leexp2d 14241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
82	71, 81	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
83	43, 47, 52, 62, 82	letrd 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
84	36	sqvali 14170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
85	84	eqcomi 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = (2↑2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87		eluz2n0 12897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ≠ 0)
88	87	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
89	75	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	38, 88, 89	expm1d 14147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
91	90	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴↑𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
92	83, 86, 91	3brtr4d 5176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴))
93	1, 1	remulcli 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) ∈ ℝ
94	21	nngt0d 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐴)
95	3, 94	jca 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
96	95	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97		lemuldiv 12119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
98	93, 14, 96, 97	mp3an2i 1462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴↑𝑀) / 𝐴)))
99	92, 98	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴↑𝑀))
100	39, 99	eqbrtrrd 5168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴↑𝑀))
101	7, 19, 14, 35, 100	letrd 11396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴↑𝑀))
102	14	lep1d 12170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝐴↑𝑀) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
103	7, 14, 16, 101, 102	letrd 11396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1))
104		nnnn0 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105		nn0p1gt0 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
106	21, 104, 105	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
107	5, 106	jca 510	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108	107	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109		lemuldiv 12119	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
110	1, 16, 108, 109	mp3an2i 1462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴↑𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111	103, 110	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3)) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
112	111	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113		breq2 5148	. . 3 ⊢ (𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
114	113	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115	112, 114	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴↑𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273   ≤ cle 11274   − cmin 11469   / cdiv 11896  ℕcn 12237  2c2 12292  3c3 12293  4c4 12294  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847  ↑cexp 14053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  47008