Theorem uzaddcl 13055

Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uzaddcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzaddcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 13001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addass 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
5	3, 4	mp3an3 1480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
6	1, 2, 5	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8		peano2uz 13052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	7, 9	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	10	exp31 425	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
13	1	addridd 11534	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
14	13	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
15	14	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 0))
17	16	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
19		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝑘))
20	19	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	20	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
22		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
23	22	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
25		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝐾))
26	25	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
27	26	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
28	12, 15, 18, 21, 24, 27	nn0indALT 12819	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
29	28	impcom 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  ℕ₀cn0 12630  ℤ_≥cuz 12989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990

This theorem is used by:  elfz0add  13784  zpnn0elfzo  13897  ccatass  14758  ccatrn  14759  swrdccat2  14844  pfxccat1  14876  splfv1  14929  splval2  14931  revccat  14940  relexpaddg  15232  isercoll2  15862  iseraltlem2  15876  iseraltlem3  15877  mertenslem1  16079  eftlub  16303  vdwlem6  17190  gsumsgrpccat  19062  efginvrel2  19968  efgredleme  19984  efgcpbllemb  19996  geolim3  26693  sumcubes  43561  jm2.27c  44205  iunrelexpuztr  44909