MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzaddcl 12924
Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
uzaddcl ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzaddcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12870 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
2 nn0cn 12518 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 11202 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4 addass 11231 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
53, 4mp3an3 1446 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
61, 2, 5syl2anr 595 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
76adantr 479 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8 peano2uz 12921 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
98adantl 480 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
107, 9eqeltrrd 2829 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))
1110exp31 418 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
1211a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
131addridd 11450 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
1413eleq1d 2813 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
1514ibir 267 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀))
16 oveq2 7432 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 0))
1716eleq1d 2813 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀)))
1817imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀))))
19 oveq2 7432 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝑘))
2019eleq1d 2813 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)))
2120imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀))))
22 oveq2 7432 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
2322eleq1d 2813 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀)))
2423imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
25 oveq2 7432 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝐾))
2625eleq1d 2813 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀)))
2726imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))))
2812, 15, 18, 21, 24, 27nn0indALT 12694 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀)))
2928impcom 406 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147  0cn0 12508  cuz 12858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859
This theorem is referenced by:  elfz0add  13638  zpnn0elfzo  13743  ccatass  14576  ccatrn  14577  swrdccat2  14657  pfxccat1  14690  splfv1  14743  splval2  14745  revccat  14754  relexpaddg  15038  isercoll2  15653  iseraltlem2  15667  iseraltlem3  15668  mertenslem1  15868  eftlub  16091  vdwlem6  16960  gsumsgrpccat  18797  efginvrel2  19687  efgredleme  19703  efgcpbllemb  19715  geolim3  26292  sumcubes  41876  jm2.27c  42431  iunrelexpuztr  43152
  Copyright terms: Public domain W3C validator