Theorem uzaddcl 12907

Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uzaddcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzaddcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addass 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
5	3, 4	mp3an3 1473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
6	1, 2, 5	syl2anr 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
7	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8		peano2uz 12904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	7, 9	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	10	exp31 423	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
13	1	addridd 11385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
14	13	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
15	14	ibir 270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 0))
17	16	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
19		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝑘))
20	19	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	20	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
22		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
23	22	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24	23	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
25		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝐾))
26	25	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
27	26	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
28	12, 15, 18, 21, 24, 27	nn0indALT 12671	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
29	28	impcom 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12483  ℤ_≥cuz 12841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842

This theorem is referenced by:  elfz0add  13633  zpnn0elfzo  13746  ccatass  14604  ccatrn  14605  swrdccat2  14685  pfxccat1  14717  splfv1  14770  splval2  14772  revccat  14781  relexpaddg  15068  isercoll2  15698  iseraltlem2  15712  iseraltlem3  15713  mertenslem1  15916  eftlub  16143  vdwlem6  17024  gsumsgrpccat  18876  efginvrel2  19769  efgredleme  19785  efgcpbllemb  19797  geolim3  26405  sumcubes  42927  jm2.27c  43589  iunrelexpuztr  44300