Theorem uzaddcl 12932

Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uzaddcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzaddcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addass 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
5	3, 4	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
6	1, 2, 5	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8		peano2uz 12929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	7, 9	eqeltrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	10	exp31 424	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
13	1	addridd 11414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
14	13	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
15	14	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 0))
17	16	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
19		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝑘))
20	19	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	20	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
22		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
23	22	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
25		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝐾))
26	25	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
27	26	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
28	12, 15, 18, 21, 24, 27	nn0indALT 12696	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
29	28	impcom 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107  ℕ₀cn0 12508  ℤ_≥cuz 12866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867

This theorem is used by:  elfz0add  13659  zpnn0elfzo  13772  ccatass  14631  ccatrn  14632  swrdccat2  14712  pfxccat1  14744  splfv1  14797  splval2  14799  revccat  14808  relexpaddg  15095  isercoll2  15725  iseraltlem2  15739  iseraltlem3  15740  mertenslem1  15943  eftlub  16169  vdwlem6  17050  gsumsgrpccat  18903  efginvrel2  19801  efgredleme  19817  efgcpbllemb  19829  geolim3  26511  sumcubes  43102  jm2.27c  43762  iunrelexpuztr  44473