MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknonex2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknonex2lem1 29937
Description: Lemma 1 for clwwlknonex2 29939: Transformation of a special half-open integer range into a union of a smaller half-open integer range and an unordered pair. This Lemma would not hold for 𝑁 = 2, i.e., (♯‘𝑊) = 0, because (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^((0 + 2) − 1)) = (0..^1) = {0} ≠ {-1, 0} = (∅ ∪ {-1, 0}) = ((0..^(0 − 1)) ∪ {(0 − 1), 0}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}). (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonex2lem1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Proof of Theorem clwwlknonex2lem1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12872 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2 2cnd 12328 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11609 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
43adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
5 eleq1 2817 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
65adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
74, 6mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8 2cnd 12328 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 2 ∈ ℂ)
9 1cnd 11247 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 1 ∈ ℂ)
107, 8, 9addsubd 11630 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) + 2) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 2))
1110oveq2d 7442 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)))
12 oveq1 7433 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
1312adantl 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
14 uznn0sub 12899 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
15 1cnd 11247 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
161, 2, 15subsub4d 11640 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
17 2p1e3 12392 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
1817oveq2i 7437 . . . . . . 7 (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3)
1916, 18eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
20 nn0uz 12902 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
2120eqcomi 2737 . . . . . . 7 (ℤ‘0) = ℕ0
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (ℤ‘0) = ℕ0)
2314, 19, 223eltr4d 2844 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ‘0))
2423adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ‘0))
2513, 24eqeltrd 2829 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
26 fzosplitpr 13781 . . 3 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
2725, 26syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
287, 9npcand 11613 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
2928preq2d 4749 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)} = {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)})
3029uneq2d 4164 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
3111, 27, 303eqtrd 2772 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3947  {cpr 4634  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  cmin 11482  2c2 12305  3c3 12306  0cn0 12510  cuz 12860  ..^cfzo 13667  chash 14329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  29939
  Copyright terms: Public domain W3C validator