Theorem clwwlknonex2lem1 30399

Description: Lemma 1 for clwwlknonex2 30401: Transformation of a special half-open integer range into a union of a smaller half-open integer range and an unordered pair. This Lemma would not hold for 𝑁 = 2, i.e., (♯‘𝑊) = 0, because (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^((0 + 2) − 1)) = (0..^1) = {0} ≠ {-1, 0} = (∅ ∪ {-1, 0}) = ((0..^(0 − 1)) ∪ {(0 − 1), 0}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}). (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonex2lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Proof of Theorem clwwlknonex2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		2cnd 12319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11569	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
5		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
7	4, 6	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8		2cnd 12319	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 2 ∈ ℂ)
9		1cnd 11202	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 1 ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	addsubd 11590	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) + 2) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 2))
11	10	oveq2d 7427	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)))
12		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
13	12	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
14		uznn0sub 12897	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
15		1cnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
16	1, 2, 15	subsub4d 11600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
17		2p1e3 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3)
19	16, 18	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
20		nn0uz 12900	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘0) = ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘0) = ℕ0)
23	14, 19, 22	3eltr4d 2884	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
25	13, 24	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26		fzosplitpr 13806	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
28	7, 9	npcand 11573	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	28	preq2d 4711	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)} = {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)})
30	29	uneq2d 4130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
31	11, 27, 30	3eqtrd 2808	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {cpr 4596  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12504  ℤ_≥cuz 12862  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  30401