Theorem clwwlknonex2lem1 28372

Description: Lemma 1 for clwwlknonex2 28374: Transformation of a special half-open integer range into a union of a smaller half-open integer range and an unordered pair. This Lemma would not hold for 𝑁 = 2, i.e., (♯‘𝑊) = 0, because (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^((0 + 2) − 1)) = (0..^1) = {0} ≠ {-1, 0} = (∅ ∪ {-1, 0}) = ((0..^(0 − 1)) ∪ {(0 − 1), 0}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}). (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonex2lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Proof of Theorem clwwlknonex2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		2cnd 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
5		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
7	4, 6	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8		2cnd 11981	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 2 ∈ ℂ)
9		1cnd 10901	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 1 ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	addsubd 11283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) + 2) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 2))
11	10	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)))
12		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
14		uznn0sub 12546	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
15		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
16	1, 2, 15	subsub4d 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
17		2p1e3 12045	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3)
19	16, 18	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
20		nn0uz 12549	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘0) = ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘0) = ℕ0)
23	14, 19, 22	3eltr4d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
25	13, 24	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26		fzosplitpr 13424	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}))
28	7, 9	npcand 11266	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	28	preq2d 4673	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)} = {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)})
30	29	uneq2d 4093	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)}) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
31	11, 27, 30	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  28374