MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknonex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknonex2 29362
Description: Extending a closed walk π‘Š on vertex 𝑋 by an additional edge (forth and back) results in a closed walk. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknonex2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlknonex2.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonex2 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknonex2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uz3m2nn 12875 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•)
21nnne0d 12262 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) β‰  0)
323ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) β‰  0)
4 clwwlknonex2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5 clwwlknonex2.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
64, 5clwwlknonel 29348 . . . . . 6 ((𝑁 βˆ’ 2) β‰  0 β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)))
8 simpr11 1258 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
98adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
10 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
11 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 ccatw2s1cl 14574 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
139, 10, 11, 12syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
144, 5clwwlknonex2lem2 29361 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
15 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
17 ccatw2s1len 14575 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 2))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 2))
1918oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) + 2) βˆ’ 1))
2019oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)) = (0..^(((β™―β€˜π‘Š) + 2) βˆ’ 1)))
21 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
22 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))
2321, 22anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2)))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2)))
25 clwwlknonex2lem1 29360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) + 2) βˆ’ 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) + 2) βˆ’ 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}))
2720, 26eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}))
2827raleqdv 3326 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
2914, 28mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
30 ccatws1cl 14566 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
31 lswccats1 14584 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = π‘Œ)
3230, 31stoic3 1779 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = π‘Œ)
3316, 10, 11, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = π‘Œ)
341nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 2))
35 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ 2)))
3634, 35imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š)))
37363ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š)))
3837com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š)))
39383ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š)))
4039imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
42 ccat2s1fst 14589 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
4316, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
4433, 43preq12d 4746 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} = {π‘Œ, (π‘Šβ€˜0)})
45 prcom 4737 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋, π‘Œ} = {π‘Œ, 𝑋}
4645eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Œ, 𝑋} ∈ 𝐸)
4746biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Œ, 𝑋} ∈ 𝐸)
4847adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {π‘Œ, 𝑋} ∈ 𝐸)
49 preq2 4739 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ {π‘Œ, (π‘Šβ€˜0)} = {π‘Œ, 𝑋})
5049eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ({π‘Œ, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Œ, 𝑋} ∈ 𝐸))
51503ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ({π‘Œ, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Œ, 𝑋} ∈ 𝐸))
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ ({π‘Œ, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Œ, 𝑋} ∈ 𝐸))
5348, 52mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {π‘Œ, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)
5444, 53eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸)
5513, 29, 543jca 1129 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸))
56173ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 2))
57563ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 2))
5857ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 2))
59 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = ((𝑁 βˆ’ 2) + 2))
60 eluzelcn 12834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
61 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„‚
62 npcan 11469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) = 𝑁)
6360, 61, 62sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) = 𝑁)
6459, 63sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = 𝑁)
6564ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = 𝑁))
66653ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = 𝑁))
6766com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = 𝑁))
68673ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = 𝑁))
6968imp 408 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = 𝑁)
7069adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 2) = 𝑁)
7158, 70eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁)
7255, 71jca 513 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁))
7372exp31 421 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁))))
747, 73sylbid 239 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁))))
7574com23 86 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁))))
76753imp 1112 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))) β†’ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁))
77 eluzge3nn 12874 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
784, 5isclwwlknx 29289 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁)))
80793ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁)))
81803ad2ant1 1134 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = 𝑁)))
8276, 81mpbird 257 1 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  β„€β‰₯cuz 12822  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  lastSclsw 14512   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307   ClWWalksN cclwwlkn 29277  ClWWalksNOncclwwlknon 29340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278  df-clwwlknon 29341
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2e  29363  numclwwlk1lem2foa  29607
  Copyright terms: Public domain W3C validator