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Theorem clwwlknonex2 30128
Description: Extending a closed walk 𝑊 on vertex 𝑋 by an additional edge (forth and back) results in a closed walk. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknonex2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonex2 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknonex2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uz3m2nn 12933 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
21nnne0d 12316 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
323ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
4 clwwlknonex2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 clwwlknonex2.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
64, 5clwwlknonel 30114 . . . . . 6 ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8 simpr11 1258 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑋𝑉)
11 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑌𝑉)
12 ccatw2s1cl 14662 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
139, 10, 11, 12syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
144, 5clwwlknonex2lem2 30127 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
15 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1615ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17 ccatw2s1len 14663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
1918oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 2) − 1))
2019oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)))
21 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
22 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))
2321, 22anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
25 clwwlknonex2lem1 30126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
2720, 26eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
2814, 27raleqtrrdv 3330 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
29 ccatws1cl 14654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
30 lswccats1 14672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑌𝑉) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
3129, 30stoic3 1776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
3216, 10, 11, 31syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
331nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 0 < (𝑁 − 2))
34 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 2)))
3533, 34imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 0 < (♯‘𝑊)))
36353ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 0 < (♯‘𝑊)))
3736com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝑊)))
38373ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝑊)))
3938imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 0 < (♯‘𝑊))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 0 < (♯‘𝑊))
41 ccat2s1fst 14677 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
4216, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
4332, 42preq12d 4741 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} = {𝑌, (𝑊‘0)})
44 prcom 4732 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
4544eleq1i 2832 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
4645biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
4746adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
48 preq2 4734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊‘0) = 𝑋 → {𝑌, (𝑊‘0)} = {𝑌, 𝑋})
4948eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
50493ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
5150ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
5247, 51mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
5343, 52eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
5413, 28, 533jca 1129 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
55173ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
56553ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
5756ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
58 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) + 2) = ((𝑁 − 2) + 2))
59 eluzelcn 12890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
60 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
61 npcan 11517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
6259, 60, 61sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
6358, 62sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
65643ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
6665com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
67663ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
6867imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
6968adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
7057, 69eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)
7154, 70jca 511 . . . . . 6 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))
7271exp31 419 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
737, 72sylbid 240 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
7473com23 86 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
75743imp 1111 . 2 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))
76 eluzge3nn 12932 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
774, 5isclwwlknx 30055 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
7876, 77syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
79783ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
80793ad2ant1 1134 . 2 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
8175, 80mpbird 257 1 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cun 3949  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  cuz 12878  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   ClWWalksN cclwwlkn 30043  ClWWalksNOncclwwlknon 30106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044  df-clwwlknon 30107
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2e  30129  numclwwlk1lem2foa  30373
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