clwwlknonex2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlknonex2 30184

Description: Extending a closed walk 𝑊 on vertex 𝑋 by an additional edge (forth and back) results in a closed walk. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlknonex2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlknonex2	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknonex2 Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz3m2nn 12807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2	1	nnne0d 12195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
3	2	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
4		clwwlknonex2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		clwwlknonex2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	clwwlknonel 30170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8		simpr11 1258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10		simpll1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		simpll2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		ccatw2s1cl 14548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
14	4, 5	clwwlknonex2lem2 30183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
15		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		ccatw2s1len 14549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
19	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 2) − 1))
20	19	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)))
21		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
22		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))
23	21, 22	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
25		clwwlknonex2lem1 30182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
27	20, 26	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
28	14, 27	raleqtrrdv 3300	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
29		ccatws1cl 14540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
30		lswccats1 14558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
31	29, 30	stoic3 1777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
32	16, 10, 11, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
33	1	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (𝑁 − 2))
34		breq2 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 2)))
35	33, 34	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (♯‘𝑊)))
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (♯‘𝑊)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝑊)))
38	37	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝑊)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 0 < (♯‘𝑊))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 0 < (♯‘𝑊))
41		ccat2s1fst 14563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
42	16, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
43	32, 42	preq12d 4698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} = {𝑌, (𝑊‘0)})
44		prcom 4689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
45	44	eleq1i 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
46	45	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
48		preq2 4691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → {𝑌, (𝑊‘0)} = {𝑌, 𝑋})
49	48	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
50	49	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
51	50	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
52	47, 51	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
53	43, 52	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
54	13, 28, 53	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
55	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
56	55	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
57	56	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
58		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) + 2) = ((𝑁 − 2) + 2))
59		eluzelcn 12763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
60		2cn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
61		npcan 11389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
62	59, 60, 61	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
63	58, 62	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
64	63	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
65	64	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
67	66	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
68	67	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
70	57, 69	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)
71	54, 70	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))
72	71	exp31 419	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
73	7, 72	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
74	73	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
75	74	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))
76		eluz3nn 12802	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	4, 5	isclwwlknx 30111	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
79	78	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
80	79	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
81	75, 80	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ∀wral 3051 ∪ cun 3899 {cpr 4582 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 < clt 11166 − cmin 11364 ℕcn 12145 2c2 12200 3c3 12201 ℤ_≥cuz 12751 ..^cfzo 13570 ♯chash 14253 Word cword 14436 lastSclsw 14485 ++ cconcat 14493 ⟨“cs1 14519 Vtxcvtx 29069 Edgcedg 29120 ClWWalksN cclwwlkn 30099 ClWWalksNOncclwwlknon 30162

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-oadd 8401 df-er 8635 df-map 8765 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-n0 12402 df-xnn0 12475 df-z 12489 df-uz 12752 df-rp 12906 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-hash 14254 df-word 14437 df-lsw 14486 df-concat 14494 df-s1 14520 df-clwwlk 30057 df-clwwlkn 30100 df-clwwlknon 30163

This theorem is referenced by: clwwlknonex2e 30185 numclwwlk1lem2foa 30429

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