clwwlknonex2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > clwwlknonex2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem clwwlknonex2 30128

Description: Extending a closed walk 𝑊 on vertex 𝑋 by an additional edge (forth and back) results in a closed walk. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlknonex2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlknonex2	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknonex2 Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz3m2nn 12933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2	1	nnne0d 12316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
3	2	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
4		clwwlknonex2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		clwwlknonex2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	clwwlknonel 30114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
8		simpr11 1258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10		simpll1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		simpll2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		ccatw2s1cl 14662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
14	4, 5	clwwlknonex2lem2 30127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
15		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		ccatw2s1len 14663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
19	18	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 2) − 1))
20	19	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)))
21		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
22		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))
23	21, 22	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
25		clwwlknonex2lem1 30126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^(((♯‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
27	20, 26	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}))
28	14, 27	raleqtrrdv 3330	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
29		ccatws1cl 14654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
30		lswccats1 14672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
31	29, 30	stoic3 1776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
32	16, 10, 11, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑌)
33	1	nngt0d 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (𝑁 − 2))
34		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 2)))
35	33, 34	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (♯‘𝑊)))
36	35	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (♯‘𝑊)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝑊)))
38	37	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 0 < (♯‘𝑊)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → 0 < (♯‘𝑊))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → 0 < (♯‘𝑊))
41		ccat2s1fst 14677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
42	16, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
43	32, 42	preq12d 4741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} = {𝑌, (𝑊‘0)})
44		prcom 4732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
45	44	eleq1i 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
46	45	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸)
48		preq2 4734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → {𝑌, (𝑊‘0)} = {𝑌, 𝑋})
49	48	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
50	49	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
51	50	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ({𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑌, 𝑋} ∈ 𝐸))
52	47, 51	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑌, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
53	43, 52	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
54	13, 28, 53	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
55	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
56	55	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
57	56	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))
58		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) + 2) = ((𝑁 − 2) + 2))
59		eluzelcn 12890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
60		2cn 12341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
61		npcan 11517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
62	59, 60, 61	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
63	58, 62	sylan9eq 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
64	63	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
65	64	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
67	66	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁))
68	67	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) + 2) = 𝑁)
70	57, 69	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)
71	54, 70	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))
72	71	exp31 419	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
73	7, 72	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
74	73	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))))
75	74	3imp 1111	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁))
76		eluzge3nn 12932	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	4, 5	isclwwlknx 30055	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
79	78	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
80	79	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = 𝑁)))
81	75, 80	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∪ cun 3949 {cpr 4628 class class class wbr 5143 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 < clt 11295 − cmin 11492 ℕcn 12266 2c2 12321 3c3 12322 ℤ_≥cuz 12878 ..^cfzo 13694 ♯chash 14369 Word cword 14552 lastSclsw 14600 ++ cconcat 14608 ⟨“cs1 14633 Vtxcvtx 29013 Edgcedg 29064 ClWWalksN cclwwlkn 30043 ClWWalksNOncclwwlknon 30106

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-oadd 8510 df-er 8745 df-map 8868 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-xnn0 12600 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-hash 14370 df-word 14553 df-lsw 14601 df-concat 14609 df-s1 14634 df-clwwlk 30001 df-clwwlkn 30044 df-clwwlknon 30107

This theorem is referenced by: clwwlknonex2e 30129 numclwwlk1lem2foa 30373

W3C validator