MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsexp 15540
Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexp ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∥ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem dvdsexp
StepHypRef Expression
1 simp1 1116 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 uznn0sub 12094 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
323ad2ant3 1115 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
4 zexpcl 13262 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
51, 3, 4syl2anc 576 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
6 zexpcl 13262 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℤ)
763adant3 1112 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℤ)
8 dvdsmul2 15495 . . 3 (((𝐴↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)))
95, 7, 8syl2anc 576 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)))
101zcnd 11904 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simp2 1117 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1210, 11, 3expaddd 13330 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)))
13 eluzelcn 12073 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
14133ad2ant3 1115 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1511nn0cnd 11772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1614, 15npcand 10804 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
1716oveq2d 6994 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 𝑀)) = (𝐴𝑁))
1812, 17eqtr3d 2816 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)) = (𝐴𝑁))
199, 18breqtrd 4956 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∥ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068  wcel 2050   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335   + caddc 10340   · cmul 10342  cmin 10672  0cn0 11710  cz 11796  cuz 12061  cexp 13247  cdvds 15470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-seq 13188  df-exp 13248  df-dvds 15471
This theorem is referenced by:  bitsmod  15648  pcpremul  16039  pcdvdsb  16064  lt6abl  18772  ablfac1eu  18948  dvdsppwf1o  25468  jm2.20nn  38990  odz2prm2pw  43094
  Copyright terms: Public domain W3C validator