Theorem dvdsexp 16308

Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem dvdsexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uznn0sub 12894	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
4		zexpcl 14077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
6		zexpcl 14077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
7	6	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
8		dvdsmul2 16259	. . 3 ⊢ (((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
9	5, 7, 8	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
10	1	zcnd 12700	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12	10, 11, 3	expaddd 14148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
13		eluzelcn 12867	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	11	nn0cnd 12567	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	14, 15	npcand 11607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
17	16	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
18	12, 17	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
19	9, 18	breqtrd 5175	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138   + caddc 11143   · cmul 11145   − cmin 11476  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ↑cexp 14062   ∥ cdvds 16234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063  df-dvds 16235

This theorem is referenced by:  bitsmod  16414  pcpremul  16815  pcdvdsb  16841  lt6abl  19862  ablfac1eu  20042  dvdsppwf1o  27163  jm2.20nn  42560  odz2prm2pw  47040