MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsexp 16312
Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexp ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem dvdsexp
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 uznn0sub 12899 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
323ad2ant3 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
4 zexpcl 14081 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
51, 3, 4syl2anc 582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
6 zexpcl 14081 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ค)
763adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ค)
8 dvdsmul2 16263 . . 3 (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆฅ ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
95, 7, 8syl2anc 582 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆฅ ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
101zcnd 12705 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1210, 11, 3expaddd 14152 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
13 eluzelcn 12872 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
14133ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1511nn0cnd 12572 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1614, 15npcand 11613 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + ๐‘€) = ๐‘)
1716oveq2d 7442 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + ๐‘€)) = (๐ดโ†‘๐‘))
1812, 17eqtr3d 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) = (๐ดโ†‘๐‘))
199, 18breqtrd 5178 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ†‘cexp 14066   โˆฅ cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-exp 14067  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  bitsmod  16418  pcpremul  16819  pcdvdsb  16845  lt6abl  19857  ablfac1eu  20037  dvdsppwf1o  27138  jm2.20nn  42449  odz2prm2pw  46932
  Copyright terms: Public domain W3C validator