Theorem dvdsexp 15679

Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem dvdsexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uznn0sub 12280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
4		zexpcl 13447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
6		zexpcl 13447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
7	6	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
8		dvdsmul2 15634	. . 3 ⊢ (((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
9	5, 7, 8	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
10	1	zcnd 12091	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12	10, 11, 3	expaddd 13515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
13		eluzelcn 12258	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	11	nn0cnd 11960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	14, 15	npcand 11003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
17	16	oveq2d 7174	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
18	12, 17	eqtr3d 2860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
19	9, 18	breqtrd 5094	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   + caddc 10542   · cmul 10544   − cmin 10872  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ↑cexp 13432   ∥ cdvds 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433  df-dvds 15610

This theorem is referenced by:  bitsmod  15787  pcpremul  16182  pcdvdsb  16207  lt6abl  19017  ablfac1eu  19197  dvdsppwf1o  25765  jm2.20nn  39601  odz2prm2pw  43732