Theorem dignn0ldlem 45836

Description: Lemma for dignnld 45837. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0ldlem	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))

Proof of Theorem dignn0ldlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11910	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12522	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		eluz2nn 12553	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
6		nnnn0 12170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0ge0d 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
9	8	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝐵)
10		nnrp 12670	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
11		relogbzcl 25829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	4, 9, 13	recxpcld 25783	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
15		eluzelre 12522	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
17	4, 9, 16	recxpcld 25783	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐𝐾) ∈ ℝ)
18	1	leidd 11471	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ 𝑁)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ 𝑁)
20		eluz2cnn0n1 45740	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
21		nncn 11911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		nnne0 11937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
23		eldifsn 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
24	21, 22, 23	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
25		cxplogb 25841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
26	20, 24, 25	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
27	19, 26	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
28	27	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
29		eluz2 12517	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) ↔ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾))
30	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
31		flltp1 13448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
33		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
36		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		ltletr 10997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
40	30, 35, 38, 39	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
41	32, 40	mpand 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
42	41	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
43	42	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
44	43	3impia 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
45	44	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
46	29, 45	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
47	46	3impia 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)
48		eluz2gt1 12589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
49	3, 48	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
50	49	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
51		cxplt 25754	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾)))
52	50, 13, 16, 51	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾)))
53	47, 52	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾))
54	2, 14, 17, 28, 53	lelttrd 11063	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾))
55		eluzelcn 12523	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
56	55	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
57		eluz2n0 12557	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
58	57	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
59		eluzelz 12521	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
60	59	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
61		cxpexpz 25727	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝐾) = (𝐵↑𝐾))
62	61	breq2d 5082	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
63	56, 58, 60, 62	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
64	54, 63	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ⌊cfl 13438  ↑cexp 13710  ↑_𝑐ccxp 25616   log_b clogb 25819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618  df-logb 25820

This theorem is referenced by:  dignnld  45837