Theorem dignn0ldlem 48591

Description: Lemma for dignnld 48592. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0ldlem	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))

Proof of Theorem dignn0ldlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12193	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12804	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		eluz2nn 12847	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
6		nnnn0 12449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0ge0d 12506	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝐵)
10		nnrp 12963	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
11		relogbzcl 26684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	4, 9, 13	recxpcld 26632	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
15		eluzelre 12804	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
17	4, 9, 16	recxpcld 26632	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐𝐾) ∈ ℝ)
18	1	leidd 11744	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ 𝑁)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ 𝑁)
20		eluz2cnn0n1 48500	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
21		nncn 12194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		nnne0 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
23		eldifsn 4750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
24	21, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
25		cxplogb 26696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
26	20, 24, 25	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
27	19, 26	breqtrrd 5135	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
28	27	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
29		eluz2 12799	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) ↔ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾))
30	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
31		flltp1 13762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
33		zre 12533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
36		zre 12533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		ltletr 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
40	30, 35, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
41	32, 40	mpand 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
42	41	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
43	42	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
44	43	3impia 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
45	44	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
46	29, 45	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
47	46	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)
48		eluz2gt1 12879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
49	3, 48	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
50	49	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
51		cxplt 26603	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾)))
52	50, 13, 16, 51	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾)))
53	47, 52	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾))
54	2, 14, 17, 28, 53	lelttrd 11332	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾))
55		eluzelcn 12805	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
56	55	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
57		eluz2n0 12852	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
58	57	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
59		eluzelz 12803	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
60	59	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
61		cxpexpz 26576	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝐾) = (𝐵↑𝐾))
62	61	breq2d 5119	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
63	56, 58, 60, 62	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
64	54, 63	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ⌊cfl 13752  ↑cexp 14026  ↑_𝑐ccxp 26464   log_b clogb 26674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466  df-logb 26675

This theorem is referenced by:  dignnld  48592