Theorem dignn0ldlem 48582

Description: Lemma for dignnld 48583. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0ldlem	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))

Proof of Theorem dignn0ldlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12247	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12863	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		eluz2nn 12898	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
6		nnnn0 12508	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0ge0d 12565	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝐵)
10		nnrp 13020	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
11		relogbzcl 26736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	4, 9, 13	recxpcld 26684	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
15		eluzelre 12863	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
17	4, 9, 16	recxpcld 26684	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐𝐾) ∈ ℝ)
18	1	leidd 11803	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ 𝑁)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ 𝑁)
20		eluz2cnn0n1 48487	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
21		nncn 12248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		nnne0 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
23		eldifsn 4762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
24	21, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
25		cxplogb 26748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
26	20, 24, 25	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
27	19, 26	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
28	27	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ≤ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
29		eluz2 12858	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) ↔ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾))
30	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
31		flltp1 13817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
33		zre 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
36		zre 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		ltletr 11327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
40	30, 35, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
41	32, 40	mpand 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
42	41	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
43	42	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
44	43	3impia 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
45	44	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
46	29, 45	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
47	46	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)
48		eluz2gt1 12936	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
49	3, 48	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
50	49	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
51		cxplt 26655	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾)))
52	50, 13, 16, 51	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾)))
53	47, 52	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵↑𝑐𝐾))
54	2, 14, 17, 28, 53	lelttrd 11393	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾))
55		eluzelcn 12864	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
56	55	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
57		eluz2n0 12904	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
58	57	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
59		eluzelz 12862	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
60	59	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
61		cxpexpz 26628	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝐾) = (𝐵↑𝐾))
62	61	breq2d 5131	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
63	56, 58, 60, 62	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 < (𝐵↑𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵↑𝐾)))
64	54, 63	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵↑𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  2c2 12295  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  ⌊cfl 13807  ↑cexp 14079  ↑_𝑐ccxp 26516   log_b clogb 26726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-logb 26727

This theorem is referenced by:  dignnld  48583