Theorem logbgcd1irr 27122

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is an irrational number if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (see 2logb9irr 27123). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irr	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 13015	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13162	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		eluz2nn 13015	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 13162	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
7		eluz2b3 13049	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	7	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ≠ 1)
10	3, 6, 9	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
11		relogbcl 27101	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13		eluz2gt1 13047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑋)
15	4	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	15	nnrpd 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
17	1	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19		eluz2gt1 13047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
21		logbgt0b 27121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
22	16, 18, 20, 21	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
23	14, 22	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
24	23	anim1ci 628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25		elpq 13103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
27	26	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
29	28	eqcoms 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
30		eluzelcn 12977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		nnne0 12372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
33	1, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
34	33, 8	nelprd 4617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
36	31, 35	eldifd 4050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
37		eluzelcn 12977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℂ)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		nnne0 12372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 0)
40		nelsn 4626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ {0})
41	4, 39, 40	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
43	38, 42	eldifd 4050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44		cxplogb 27114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
45	36, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
47	29, 46	sylan9eqr 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
48	47	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
49		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
50	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
51		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
53		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
55		nnne0 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
57	52, 54, 56	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
58		divcl 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
60	59	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
61		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
62	61	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
63	62	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
64	50, 60, 63	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
65		cxpmul2 27017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
66	65	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
67	64, 66	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
68	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
69		divcan1 11983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
71	70	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑐𝑚))
72	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ≠ 0)
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
74		nnz 12714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
76	75	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
77	50, 73, 76	cxpexpzd 27039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐𝑚) = (𝐵↑𝑚))
78	71, 77	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑚))
79	67, 78	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑚))
80	79	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) ↔ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)))
81		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
82		rplpwr 16732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
83	15, 17, 81, 82	syl2an3an 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
84		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵))
85	84	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
86	85	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
87	86	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
88		eluzelz 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
89	88	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
90		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
91		rpexp 16898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
92	89, 89, 90, 91	syl2an3an 1449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
93		gcdid 16699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
94	88, 93	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
95		eluzelre 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
96		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
97		nn0ge0 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
98	1, 96, 97	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
99	95, 98	absidd 15590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
100	94, 99	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
101	100	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
102	101	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
104		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
105	8, 104	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
106	105	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
107	106	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
108	103, 107	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
109	92, 108	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
110	109	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
111	87, 110	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
112	111	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
113	112	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
114	83, 113	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
115		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
116	114, 115	pm2.61d1 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
117	80, 116	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
118	49, 117	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
119	48, 118	syld 48	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
120	119	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
121	27, 120	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
122	121	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
123	122	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
124	12, 123	eldifd 4050	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℚcq 13075  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  abscabs 15401   gcd cgcd 16664  ↑_𝑐ccxp 26883   log_b clogb 27092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093

This theorem is used by:  2logb9irr  27123  logbprmirr  27124