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Theorem logbgcd1irr 25287
Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is an irrational number if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (see 2logb9irr 25288). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12276 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
21nnrpd 12422 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
323ad2ant2 1128 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4 eluz2nn 12276 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
54nnrpd 12422 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
653ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
7 eluz2b3 12314 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≠ 1))
87simprbi 497 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 1)
983ad2ant2 1128 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ≠ 1)
103, 6, 93jca 1122 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1))
11 relogbcl 25266 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13 eluz2gt1 12312 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑋)
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑋)
154adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
1615nnrpd 12422 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
171adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
1817nnrpd 12422 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19 eluz2gt1 12312 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
2019adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐵)
21 logbgt0b 25286 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2216, 18, 20, 21syl12anc 834 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2314, 22mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
2423anim1ci 615 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25 elpq 12367 . . . . . . 7 (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2726ex 413 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28 oveq2 7159 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
2928eqcoms 2833 . . . . . . . . 9 ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
30 eluzelcn 12247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 nnne0 11663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
3433, 8nelprd 4592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
3631, 35eldifd 3950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
37 eluzelcn 12247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39 nnne0 11663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 0)
40 nelsn 4601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ {0})
414, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
4338, 42eldifd 3950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 cxplogb 25279 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
4536, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
4729, 46sylan9eqr 2882 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
4847ex 413 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
49 oveq1 7158 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛))
5031adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
51 nncn 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
53 nncn 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
55 nnne0 11663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
5752, 54, 563jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
58 divcl 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
61 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
6261adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6450, 60, 633jca 1122 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
65 cxpmul2 25187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
6665eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
6857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
69 divcan1 11299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
7170oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑐𝑚))
7233adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ≠ 0)
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
74 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7750, 73, 76cxpexpzd 25209 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐𝑚) = (𝐵𝑚))
7871, 77eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑚))
7967, 78eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑚))
8079eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) ↔ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)))
81 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
82 rplpwr 15899 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
8315, 17, 81, 82syl2an3an 1416 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
84 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵𝑚) gcd 𝐵))
8584eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
8685eqcoms 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
88 eluzelz 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
8988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
90 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
91 rpexp 16056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
9289, 89, 90, 91syl2an3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
93 gcdid 15867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
9488, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
95 eluzelre 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
96 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
97 nn0ge0 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
981, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
9995, 98absidd 14775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
10094, 99eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
101100eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
104 eqneqall 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
1058, 104syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
106105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
108103, 107sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10992, 108sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11187, 110sylbid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
112111ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
113112com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
11483, 113syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
115 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
116114, 115pm2.61d1 181 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11780, 116sylbid 241 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11849, 117syl5 34 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11948, 118syld 47 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
120119rexlimdvva 3298 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
12127, 120syld 47 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
122121con2d 136 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
1231223impia 1111 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
12412, 123eldifd 3950 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wrex 3143  cdif 3936  {csn 4563  {cpr 4565   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  cq 12340  +crp 12382  cexp 13422  abscabs 14586   gcd cgcd 15835  𝑐ccxp 25054   logb clogb 25257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-lp 21662  df-perf 21663  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-haus 21841  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849  df-cncf 23403  df-limc 24381  df-dv 24382  df-log 25055  df-cxp 25056  df-logb 25258
This theorem is referenced by:  2logb9irr  25288  logbprmirr  25289
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