Theorem logbgcd1irr 26937

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is an irrational number if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (see 2logb9irr 26938). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irr	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12913	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13059	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		eluz2nn 12913	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 13059	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
7		eluz2b3 12947	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	7	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ≠ 1)
10	3, 6, 9	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
11		relogbcl 26916	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13		eluz2gt1 12945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑋)
15	4	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	15	nnrpd 13059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
17	1	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19		eluz2gt1 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
20	19	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
21		logbgt0b 26936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
22	16, 18, 20, 21	syl12anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
23	14, 22	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
24	23	anim1ci 627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25		elpq 13000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
27	26	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
29	28	eqcoms 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
30		eluzelcn 12875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		nnne0 12271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
33	1, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
34	33, 8	nelprd 4624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
35	34	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
36	31, 35	eldifd 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
37		eluzelcn 12875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℂ)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		nnne0 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 0)
40		nelsn 4633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ {0})
41	4, 39, 40	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
43	38, 42	eldifd 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44		cxplogb 26929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
45	36, 43, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
46	45	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
47	29, 46	sylan9eqr 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
48	47	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
49		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
50	31	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
51		nncn 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
53		nncn 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
55		nnne0 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
56	55	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
57	52, 54, 56	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
58		divcl 11879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
60	59	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
61		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
62	61	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
63	62	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
64	50, 60, 63	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
65		cxpmul2 26832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
66	65	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
67	64, 66	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
68	57	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
69		divcan1 11882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
71	70	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑐𝑚))
72	33	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ≠ 0)
73	72	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
74		nnz 12613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
75	74	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
76	75	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
77	50, 73, 76	cxpexpzd 26854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐𝑚) = (𝐵↑𝑚))
78	71, 77	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑚))
79	67, 78	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑚))
80	79	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) ↔ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)))
81		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
82		rplpwr 16617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
83	15, 17, 81, 82	syl2an3an 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
84		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵))
85	84	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
86	85	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
87	86	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
88		eluzelz 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
89	88	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
90		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
91		rpexp 16782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
92	89, 89, 90, 91	syl2an3an 1449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
93		gcdid 16586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
94	88, 93	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
95		eluzelre 12874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
96		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
97		nn0ge0 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
98	1, 96, 97	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
99	95, 98	absidd 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
100	94, 99	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
101	100	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
102	101	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
103	102	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
104		eqneqall 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
105	8, 104	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
106	105	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
107	106	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
108	103, 107	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
109	92, 108	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
110	109	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
111	87, 110	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
112	111	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
113	112	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
114	83, 113	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
115		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
116	114, 115	pm2.61d1 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
117	80, 116	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
118	49, 117	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
119	48, 118	syld 48	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
120	119	rexlimdvva 3222	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
121	27, 120	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
122	121	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
123	122	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
124	12, 123	eldifd 3917	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ℚcq 12973  ℝ⁺crp 13017  ↑cexp 14099  abscabs 15287   gcd cgcd 16553  ↑_𝑐ccxp 26698   log_b clogb 26907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26699  df-cxp 26700  df-logb 26908

This theorem is referenced by:  2logb9irr  26938  logbprmirr  26939