Theorem logbgcd1irr 26783

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is an irrational number if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (see 2logb9irr 26784). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irr	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12836	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 12982	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		eluz2nn 12836	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 12982	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	5	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
7		eluz2b3 12870	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	7	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ≠ 1)
10	3, 6, 9	3jca 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
11		relogbcl 26762	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13		eluz2gt1 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑋)
15	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	15	nnrpd 12982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
17	1	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19		eluz2gt1 12868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
21		logbgt0b 26782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
22	16, 18, 20, 21	syl12anc 842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
23	14, 22	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
24	23	anim1ci 622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25		elpq 12923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
27	26	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
29	28	eqcoms 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
30		eluzelcn 12798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
34	33, 8	nelprd 4596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
36	31, 35	eldifd 3901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
37		eluzelcn 12798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 0)
40		nelsn 4605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ {0})
41	4, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
43	38, 42	eldifd 3901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44		cxplogb 26775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
45	36, 43, 44	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
47	29, 46	sylan9eqr 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
48	47	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
49		oveq1 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
50	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
51		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
53		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
55		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
57	52, 54, 56	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
58		divcl 11813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
61		nnnn0 12442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
64	50, 60, 63	3jca 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
65		cxpmul2 26678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
66	65	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
68	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
69		divcan1 11816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
71	70	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑐𝑚))
72	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ≠ 0)
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
74		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
77	50, 73, 76	cxpexpzd 26700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐𝑚) = (𝐵↑𝑚))
78	71, 77	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑚))
79	67, 78	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑚))
80	79	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) ↔ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)))
81		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
82		rplpwr 16525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
83	15, 17, 81, 82	syl2an3an 1430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
84		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵))
85	84	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
86	85	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
88		eluzelz 12796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
90		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
91		rpexp 16690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
92	89, 89, 90, 91	syl2an3an 1430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
93		gcdid 16494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
94	88, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
95		eluzelre 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
96		nnnn0 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
97		nn0ge0 12460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
98	1, 96, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
99	95, 98	absidd 15383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
100	94, 99	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
101	100	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
104		eqneqall 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
105	8, 104	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
108	103, 107	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
109	92, 108	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
111	87, 110	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
112	111	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
113	112	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
114	83, 113	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
115		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
116	114, 115	pm2.61d1 181	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
117	80, 116	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
118	49, 117	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
119	48, 118	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
120	119	rexlimdvva 3197	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
121	27, 120	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
122	121	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
123	122	3impia 1123	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
124	12, 123	eldifd 3901	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887  {csn 4562  {cpr 4564   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℚcq 12896  ℝ⁺crp 12940  ↑cexp 14021  abscabs 15194   gcd cgcd 16461  ↑_𝑐ccxp 26544   log_b clogb 26753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-cxp 26546  df-logb 26754

This theorem is referenced by:  2logb9irr  26784  logbprmirr  26785