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Theorem logbgcd1irr 26739
Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is an irrational number if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (see 2logb9irr 26740). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12893 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
21nnrpd 13041 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
323ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4 eluz2nn 12893 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
54nnrpd 13041 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
653ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
7 eluz2b3 12931 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≠ 1))
87simprbi 495 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 1)
983ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ≠ 1)
103, 6, 93jca 1125 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1))
11 relogbcl 26718 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13 eluz2gt1 12929 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑋)
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑋)
154adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
1615nnrpd 13041 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
171adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
1817nnrpd 13041 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19 eluz2gt1 12929 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
2019adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐵)
21 logbgt0b 26738 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2216, 18, 20, 21syl12anc 835 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2314, 22mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
2423anim1ci 614 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25 elpq 12984 . . . . . . 7 (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2726ex 411 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28 oveq2 7421 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
2928eqcoms 2733 . . . . . . . . 9 ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
30 eluzelcn 12859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 nnne0 12271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
3433, 8nelprd 4656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
3534adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
3631, 35eldifd 3952 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
37 eluzelcn 12859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℂ)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39 nnne0 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 0)
40 nelsn 4665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ {0})
414, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
4338, 42eldifd 3952 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 cxplogb 26731 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
4536, 43, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
4645adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
4729, 46sylan9eqr 2787 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
4847ex 411 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
49 oveq1 7420 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛))
5031adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
51 nncn 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
53 nncn 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5453adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
55 nnne0 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
5655adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
5752, 54, 563jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
58 divcl 11903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
61 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
6261adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6362adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6450, 60, 633jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
65 cxpmul2 26636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
6665eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
6857adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
69 divcan1 11906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
7170oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑐𝑚))
7233adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ≠ 0)
7372adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
74 nnz 12604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
7574adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
7675adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7750, 73, 76cxpexpzd 26658 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐𝑚) = (𝐵𝑚))
7871, 77eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑚))
7967, 78eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑚))
8079eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) ↔ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)))
81 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
82 rplpwr 16527 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
8315, 17, 81, 82syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
84 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵𝑚) gcd 𝐵))
8584eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
8685eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
8786adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
88 eluzelz 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
8988adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
90 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
91 rpexp 16688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
9289, 89, 90, 91syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
93 gcdid 16496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
9488, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
95 eluzelre 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
96 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
97 nn0ge0 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
981, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
9995, 98absidd 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
10094, 99eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
101100eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
102101adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
104 eqneqall 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
1058, 104syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
106105adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
107106adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
108103, 107sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10992, 108sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
110109adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11187, 110sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
112111ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
113112com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
11483, 113syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
115 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
116114, 115pm2.61d1 180 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11780, 116sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11849, 117syl5 34 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
11948, 118syld 47 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
120119rexlimdvva 3202 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
12127, 120syld 47 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
122121con2d 134 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
1231223impia 1114 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
12412, 123eldifd 3952 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wrex 3060  cdif 3938  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5144  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   · cmul 11138   < clt 11273  cle 11274   / cdiv 11896  cn 12237  2c2 12292  0cn0 12497  cz 12583  cuz 12847  cq 12957  +crp 13001  cexp 14053  abscabs 15208   gcd cgcd 16463  𝑐ccxp 26502   logb clogb 26709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504  df-logb 26710
This theorem is referenced by:  2logb9irr  26740  logbprmirr  26741
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