Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dig1 47247
Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
Proof of Theorem dig1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12830 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
21exp0d 14101 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡↑0) = 1)
32eqcomd 2738 . . . . 5 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = (𝐡↑0))
43ad2antrl 726 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 1 = (𝐡↑0))
54oveq2d 7421 . . 3 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)))
6 simprl 769 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
7 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
87anim2i 617 . . . . . 6 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ β„€))
98ancomd 462 . . . . 5 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
10 elnn0z 12567 . . . . 5 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
119, 10sylibr 233 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
12 0nn0 12483 . . . . 5 0 ∈ β„•0
1312a1i 11 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 0 ∈ β„•0)
14 digexp 47246 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
156, 11, 13, 14syl3anc 1371 . . 3 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
165, 15eqtrd 2772 . 2 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17 eluz2nn 12864 . . . . 5 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
1817ad2antrl 726 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
19 simprr 771 . . . . 5 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
20 nn0ge0 12493 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝐾))
2221con3d 152 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝐾 β†’ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0))
2322impcom 408 . . . . 5 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0)
2419, 23eldifd 3958 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0))
25 1nn0 12484 . . . . 5 1 ∈ β„•0
2625a1i 11 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 1 ∈ β„•0)
27 dignn0fr 47240 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = 0)
2818, 24, 26, 27syl3anc 1371 . . 3 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = 0)
29 0le0 12309 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
30 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 β†’ (0 ≀ 𝐾 ↔ 0 ≀ 0))
3129, 30mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 β†’ 0 ≀ 𝐾)
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾 = 0 β†’ 0 ≀ 𝐾))
3332con3d 152 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝐾 β†’ Β¬ 𝐾 = 0))
3433impcom 408 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ Β¬ 𝐾 = 0)
3534iffalsed 4538 . . 3 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
3628, 35eqtr4d 2775 . 2 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
3716, 36pm2.61ian 810 1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3944  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β†‘cexp 14023  digitcdig 47234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dig 47235
This theorem is referenced by:  0dig1  47248
  Copyright terms: Public domain W3C validator