Theorem dig1 48601

Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig1	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Proof of Theorem dig1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	exp0d 14112	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
3	2	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
4	3	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 = (𝐵↑0))
5	4	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)))
6		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 461	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		elnn0z 12549	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
11	9, 10	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		0nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℕ0)
14		digexp 48600	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
15	6, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
16	5, 15	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17		eluz2nn 12854	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
19		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20		nn0ge0 12474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾))
22	21	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
23	22	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0)
24	19, 23	eldifd 3928	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0))
25		1nn0 12465	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℕ0)
27		dignn0fr 48594	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
28	18, 24, 26, 27	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
29		0le0 12294	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
30		breq2 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ 0))
31	29, 30	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾))
33	32	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 = 0))
34	33	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 = 0)
35	34	iffalsed 4502	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
36	28, 35	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
37	16, 36	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ↑cexp 14033  digitcdig 48588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-dig 48589

This theorem is referenced by:  0dig1  48602