Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dig1 47507
Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
Proof of Theorem dig1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12832 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
21exp0d 14103 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡↑0) = 1)
32eqcomd 2730 . . . . 5 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = (𝐡↑0))
43ad2antrl 725 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 1 = (𝐡↑0))
54oveq2d 7418 . . 3 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)))
6 simprl 768 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
7 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
87anim2i 616 . . . . . 6 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ β„€))
98ancomd 461 . . . . 5 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
10 elnn0z 12569 . . . . 5 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
119, 10sylibr 233 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
12 0nn0 12485 . . . . 5 0 ∈ β„•0
1312a1i 11 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 0 ∈ β„•0)
14 digexp 47506 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
156, 11, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
165, 15eqtrd 2764 . 2 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17 eluz2nn 12866 . . . . 5 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
1817ad2antrl 725 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
19 simprr 770 . . . . 5 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
20 nn0ge0 12495 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝐾))
2221con3d 152 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝐾 β†’ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0))
2322impcom 407 . . . . 5 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0)
2419, 23eldifd 3952 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0))
25 1nn0 12486 . . . . 5 1 ∈ β„•0
2625a1i 11 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 1 ∈ β„•0)
27 dignn0fr 47500 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = 0)
2818, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = 0)
29 0le0 12311 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
30 breq2 5143 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 β†’ (0 ≀ 𝐾 ↔ 0 ≀ 0))
3129, 30mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 β†’ 0 ≀ 𝐾)
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾 = 0 β†’ 0 ≀ 𝐾))
3332con3d 152 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝐾 β†’ Β¬ 𝐾 = 0))
3433impcom 407 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ Β¬ 𝐾 = 0)
3534iffalsed 4532 . . 3 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
3628, 35eqtr4d 2767 . 2 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
3716, 36pm2.61ian 809 1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3938  ifcif 4521   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   ≀ cle 11247  β„•cn 12210  2c2 12265  β„•0cn0 12470  β„€cz 12556  β„€β‰₯cuz 12820  β†‘cexp 14025  digitcdig 47494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-ico 13328  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-dig 47495
This theorem is referenced by:  0dig1  47508
  Copyright terms: Public domain W3C validator