Theorem dig1 48723

Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig1	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Proof of Theorem dig1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12754	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	exp0d 14057	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
3	2	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
4	3	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 = (𝐵↑0))
5	4	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)))
6		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 461	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		elnn0z 12491	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
11	9, 10	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		0nn0 12406	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℕ0)
14		digexp 48722	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
15	6, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
16	5, 15	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17		eluz2nn 12796	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
19		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20		nn0ge0 12416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾))
22	21	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
23	22	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0)
24	19, 23	eldifd 3910	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0))
25		1nn0 12407	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℕ0)
27		dignn0fr 48716	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
28	18, 24, 26, 27	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
29		0le0 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
30		breq2 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ 0))
31	29, 30	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾))
33	32	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 = 0))
34	33	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 = 0)
35	34	iffalsed 4487	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
36	28, 35	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
37	16, 36	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896  ifcif 4476   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11016  1c1 11017   ≤ cle 11157  ℕcn 12135  2c2 12190  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742  ↑cexp 13978  digitcdig 48710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-ico 13261  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-dig 48711

This theorem is referenced by:  0dig1  48724