Theorem dig1 48957

Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig1	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Proof of Theorem dig1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	exp0d 14075	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
3	2	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
4	3	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 = (𝐵↑0))
5	4	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)))
6		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	anim2i 618	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 461	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		elnn0z 12513	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
11	9, 10	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℕ0)
14		digexp 48956	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
15	6, 11, 13, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
16	5, 15	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17		eluz2nn 12813	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
19		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20		nn0ge0 12438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾))
22	21	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
23	22	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0)
24	19, 23	eldifd 3914	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0))
25		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℕ0)
27		dignn0fr 48950	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
28	18, 24, 26, 27	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
29		0le0 12258	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
30		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ 0))
31	29, 30	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾))
33	32	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 = 0))
34	33	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 = 0)
35	34	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
36	28, 35	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
37	16, 36	pm2.61ian 812	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ↑cexp 13996  digitcdig 48944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-dig 48945

This theorem is referenced by:  0dig1  48958