Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dig1 47675
Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
Proof of Theorem dig1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12858 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
21exp0d 14130 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡↑0) = 1)
32eqcomd 2734 . . . . 5 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = (𝐡↑0))
43ad2antrl 727 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 1 = (𝐡↑0))
54oveq2d 7430 . . 3 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)))
6 simprl 770 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
7 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
87anim2i 616 . . . . . 6 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ β„€))
98ancomd 461 . . . . 5 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
10 elnn0z 12595 . . . . 5 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
119, 10sylibr 233 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
12 0nn0 12511 . . . . 5 0 ∈ β„•0
1312a1i 11 . . . 4 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 0 ∈ β„•0)
14 digexp 47674 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
156, 11, 13, 14syl3anc 1369 . . 3 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
165, 15eqtrd 2768 . 2 ((0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17 eluz2nn 12892 . . . . 5 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
1817ad2antrl 727 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
19 simprr 772 . . . . 5 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
20 nn0ge0 12521 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝐾))
2221con3d 152 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝐾 β†’ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0))
2322impcom 407 . . . . 5 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0)
2419, 23eldifd 3956 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0))
25 1nn0 12512 . . . . 5 1 ∈ β„•0
2625a1i 11 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ 1 ∈ β„•0)
27 dignn0fr 47668 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = 0)
2818, 24, 26, 27syl3anc 1369 . . 3 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = 0)
29 0le0 12337 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
30 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 β†’ (0 ≀ 𝐾 ↔ 0 ≀ 0))
3129, 30mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 β†’ 0 ≀ 𝐾)
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾 = 0 β†’ 0 ≀ 𝐾))
3332con3d 152 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝐾 β†’ Β¬ 𝐾 = 0))
3433impcom 407 . . . 4 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ Β¬ 𝐾 = 0)
3534iffalsed 4535 . . 3 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
3628, 35eqtr4d 2771 . 2 ((Β¬ 0 ≀ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
3716, 36pm2.61ian 811 1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3942  ifcif 4524   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   ≀ cle 11273  β„•cn 12236  2c2 12291  β„•0cn0 12496  β„€cz 12582  β„€β‰₯cuz 12846  β†‘cexp 14052  digitcdig 47662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ico 13356  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-dig 47663
This theorem is referenced by:  0dig1  47676
  Copyright terms: Public domain W3C validator