Theorem dig1 49642

Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig1	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Proof of Theorem dig1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	exp0d 14252	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
3	2	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
4	3	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 = (𝐵↑0))
5	4	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)))
6		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 467	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		elnn0z 12676	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
11	9, 10	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		0nn0 12591	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℕ0)
14		digexp 49641	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
15	6, 11, 13, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
16	5, 15	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17		eluz2nn 12985	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
19		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20		nn0ge0 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾))
22	21	con3d 153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
23	22	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0)
24	19, 23	eldifd 3909	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0))
25		1nn0 12592	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℕ0)
27		dignn0fr 49635	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
28	18, 24, 26, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
29		0le0 12414	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
30		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ 0))
31	29, 30	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾))
33	32	con3d 153	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 = 0))
34	33	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 = 0)
35	34	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
36	28, 35	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
37	16, 36	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172  1c1 11173   ≤ cle 11316  ℕcn 12305  2c2 12367  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ↑cexp 14173  digitcdig 49629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-ico 13452  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-dig 49630

This theorem is used by:  0dig1  49643