Theorem dig1 45954

Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig1	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Proof of Theorem dig1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	exp0d 13858	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
3	2	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
4	3	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 = (𝐵↑0))
5	4	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)))
6		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
7		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 462	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		elnn0z 12332	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
11	9, 10	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℕ0)
14		digexp 45953	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
15	6, 11, 13, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
16	5, 15	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17		eluz2nn 12624	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
19		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20		nn0ge0 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾))
22	21	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
23	22	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0)
24	19, 23	eldifd 3898	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0))
25		1nn0 12249	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℕ0)
27		dignn0fr 45947	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
28	18, 24, 26, 27	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
29		0le0 12074	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
30		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ 0))
31	29, 30	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾))
33	32	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 = 0))
34	33	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 = 0)
35	34	iffalsed 4470	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
36	28, 35	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
37	16, 36	pm2.61ian 809	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782  digitcdig 45941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-dig 45942

This theorem is referenced by:  0dig1  45955