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Theorem numclwwlk1lem2foalem 29337
Description: Lemma for numclwwlk1lem2foa 29340. (Contributed by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk1lem2foalem (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))

Proof of Theorem numclwwlk1lem2foalem
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 s1cl 14497 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3 s1cl 14497 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
41, 2, 33anim123i 1152 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉))
543expb 1121 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉))
6 ccatass 14483 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
87oveq1d 7377 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
91adantr 482 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10 ccat2s1cl 14513 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
1110adantl 483 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
12 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))
1312eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊))
1413adantr 482 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊))
15 pfxccatid 14636 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
169, 11, 14, 15syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
178, 16eqtrd 2777 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
18173adant3 1133 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
19 1e2m1 12287 . . . . . . 7 1 = (2 − 1)
2019oveq2i 7373 . . . . . 6 (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))
21 eluzelcn 12782 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 2cnd 12238 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
23 1cnd 11157 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
2421, 22, 23subsubd 11547 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
2520, 24eqtrid 2789 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
26253ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
2726fveq2d 6851 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
28 ccatw2s1p2 14532 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑌)
29283adant3 1133 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑌)
3027, 29eqtrd 2777 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌)
31 simpl 484 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
32 ccatw2s1p1 14531 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
331, 12, 31, 32syl2an3an 1423 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
34333adant3 1133 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
3518, 30, 343jca 1129 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  2c2 12215  3c3 12216  cuz 12770  chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  ⟨“cs1 14490   prefix cpfx 14565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566
This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2foa  29340
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