Theorem numclwwlk1lem2foalem 30313

Description: Lemma for numclwwlk1lem2foa 30316. (Contributed by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2foalem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))

Proof of Theorem numclwwlk1lem2foalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		s1cl 14527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s1cl 14527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4	1, 2, 3	3anim123i 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉))
5	4	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉))
6		ccatass 14513	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
8	7	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
9	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10		ccat2s1cl 14543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))
13	12	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊))
15		pfxccatid 14665	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
16	9, 11, 14, 15	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
17	8, 16	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
18	17	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊)
19		1e2m1 12268	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (2 − 1)
20	19	oveq2i 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))
21		eluzelcn 12765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		2cnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
23		1cnd 11129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	subsubd 11521	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
25	20, 24	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
26	25	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
27	26	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
28		ccatw2s1p2 14562	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑌)
29	28	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑌)
30	27, 29	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌)
31		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32		ccatw2s1p1 14561	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
33	1, 12, 31, 32	syl2an3an 1424	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
34	33	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
35	18, 30, 34	3jca 1128	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  2c2 12201  3c3 12202  ℤ_≥cuz 12753  ♯chash 14255  Word cword 14438   ++ cconcat 14495  ⟨“cs1 14520   prefix cpfx 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2foa  30316