MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzgtdifelfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzgtdifelfzo 13742
Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzgtdifelfzo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
21adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
3 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 eluzelz 12878 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
65ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
86, 7zsubcld 12717 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
98ancoms 457 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
104, 9zaddcld 12716 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ)
11 zre 12608 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12 zre 12608 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 posdif 11748 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴𝐵)))
1413biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1511, 12, 14syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1615adantld 489 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴𝐵)))
1716imp 405 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴𝐵))
18 resubcl 11565 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
1912, 11, 18syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
2019adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
21 eluzelre 12879 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2320, 22ltaddposd 11839 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
2417, 23mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵)))
25 zcn 12609 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2625ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 eluzelcn 12880 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
2827ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29 zcn 12609 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3029adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 addsub12 11514 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) = (𝑁 + (𝐴𝐵)))
3332breq2d 5157 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3426, 28, 31, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3524, 34mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)))
36 elfzo2 13683 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵))))
372, 10, 35, 36syl3anbrc 1340 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))))
38 fzosubel3 13741 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ∧ (𝑁𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
3937, 9, 38syl2anc 582 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
4039ex 411 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149   + caddc 11152   < clt 11289  cmin 11485  cz 12604  cuz 12868  ..^cfzo 13675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676
This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  13743
  Copyright terms: Public domain W3C validator