MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzgtdifelfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzgtdifelfzo 12826
Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzgtdifelfzo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
21adantl 475 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
3 simpl 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 474 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 eluzelz 11979 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
65ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 simprr 791 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
86, 7zsubcld 11816 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
98ancoms 452 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
104, 9zaddcld 11815 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ)
11 zre 11709 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12 zre 11709 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 posdif 10846 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴𝐵)))
1413biimpd 221 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1511, 12, 14syl2anr 592 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1615adantld 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴𝐵)))
1716imp 397 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴𝐵))
18 resubcl 10667 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
1912, 11, 18syl2an 591 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
2019adantr 474 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
21 eluzelre 11980 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antrl 721 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2320, 22ltaddposd 10937 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
2417, 23mpbid 224 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵)))
25 zcn 11710 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2625ad2antrr 719 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 eluzelcn 11981 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
2827ad2antrl 721 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29 zcn 11710 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3029adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130adantr 474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 addsub12 10616 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) = (𝑁 + (𝐴𝐵)))
3332breq2d 4886 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3426, 28, 31, 33syl3anc 1496 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3524, 34mpbird 249 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)))
36 elfzo2 12769 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵))))
372, 10, 35, 36syl3anbrc 1449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))))
38 fzosubel3 12825 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ∧ (𝑁𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
3937, 9, 38syl2anc 581 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
4039ex 403 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113  wcel 2166   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253   + caddc 10256   < clt 10392  cmin 10586  cz 11705  cuz 11969  ..^cfzo 12761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762
This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  12827
  Copyright terms: Public domain W3C validator