Theorem eluzgtdifelfzo 13831

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	zsubcld 12778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
9	8	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
10	4, 9	zaddcld 12777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		zre 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		posdif 11779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
14	13	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
15	11, 12, 14	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
16	15	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
17	16	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
18		resubcl 11594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	12, 11, 18	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
21		eluzelre 12946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	20, 22	ltaddposd 11870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
24	17, 23	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
25		zcn 12668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		eluzelcn 12947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29		zcn 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		addsub12 11542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) = (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
33	32	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
35	24, 34	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)))
36		elfzo2 13765	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
38		fzosubel3 13830	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ∧ (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
39	37, 9, 38	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
40	39	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172   + caddc 11175   < clt 11315   − cmin 11513  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ..^cfzo 13757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758

This theorem is used by:  ige2m2fzo  13832