Theorem eluzgtdifelfzo 13863

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	zsubcld 12809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
9	8	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
10	4, 9	zaddcld 12808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		zre 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		posdif 11810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
14	13	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
15	11, 12, 14	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
16	15	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
17	16	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
18		resubcl 11623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	12, 11, 18	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
21		eluzelre 12977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	20, 22	ltaddposd 11901	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
24	17, 23	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
25		zcn 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		eluzelcn 12978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29		zcn 12699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		addsub12 11571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) = (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
33	32	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
35	24, 34	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)))
36		elfzo2 13797	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
38		fzosubel3 13862	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ∧ (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
39	37, 9, 38	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
40	39	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201   + caddc 11204   < clt 11344   − cmin 11542  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ..^cfzo 13789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790

This theorem is used by:  ige2m2fzo  13864