Theorem fzosplitpr 13936

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitpr	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Proof of Theorem fzosplitpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12429	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 2 = (1 + 1))
3	2	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = (𝐵 + (1 + 1)))
4		eluzelcn 13001	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		1cnd 11326	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6		add32r 11554	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
8	3, 7	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = ((𝐵 + 1) + 1))
9	8	oveq2d 7456	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)))
10		peano2uz 13052	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
11		fzosplitsn 13935	. . 3 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
13		fzosplitsn 13935	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
14	13	uneq1d 4169	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}))
15		unass 4173	. . . 4 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}))
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})))
17		df-pr 4591	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, (𝐵 + 1)} = ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})
18	17	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)}
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)})
20	19	uneq2d 4170	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
21	14, 16, 20	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
22	9, 12, 21	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  1c1 11225   + caddc 11227  2c2 12421  ℤ_≥cuz 12989  ..^cfzo 13812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813

This theorem is used by:  fzosplitprm1  13937  clwwlknonex2lem1  30725