Theorem fzosplitpr 13732

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitpr	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Proof of Theorem fzosplitpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12244	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 2 = (1 + 1))
3	2	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = (𝐵 + (1 + 1)))
4		eluzelcn 12800	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		1cnd 11139	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6		add32r 11366	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
8	3, 7	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = ((𝐵 + 1) + 1))
9	8	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)))
10		peano2uz 12851	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
11		fzosplitsn 13731	. . 3 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
13		fzosplitsn 13731	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
14	13	uneq1d 4107	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}))
15		unass 4112	. . . 4 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}))
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})))
17		df-pr 4570	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, (𝐵 + 1)} = ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})
18	17	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)}
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)})
20	19	uneq2d 4108	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
21	14, 16, 20	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
22	9, 12, 21	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041  2c2 12236  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  13733  clwwlknonex2lem1  30177