Theorem fzosplitpr 13737

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitpr	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Proof of Theorem fzosplitpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12249	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 2 = (1 + 1))
3	2	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = (𝐵 + (1 + 1)))
4		eluzelcn 12805	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		1cnd 11169	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6		add32r 11394	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
8	3, 7	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = ((𝐵 + 1) + 1))
9	8	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)))
10		peano2uz 12860	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
11		fzosplitsn 13736	. . 3 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
13		fzosplitsn 13736	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
14	13	uneq1d 4130	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}))
15		unass 4135	. . . 4 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}))
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})))
17		df-pr 4592	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, (𝐵 + 1)} = ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})
18	17	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)}
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)})
20	19	uneq2d 4131	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
21	14, 16, 20	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
22	9, 12, 21	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912  {csn 4589  {cpr 4591  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071  2c2 12241  ℤ_≥cuz 12793  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  13738  clwwlknonex2lem1  30036