MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitpr 13740
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitpr (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Proof of Theorem fzosplitpr
StepHypRef Expression
1 df-2 12274 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
21a1i 11 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 2 = (1 + 1))
32oveq2d 7424 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + 2) = (𝐵 + (1 + 1)))
4 eluzelcn 12833 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 1cnd 11208 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6 add32r 11432 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
74, 5, 5, 6syl3anc 1371 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
83, 7eqtrd 2772 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + 2) = ((𝐵 + 1) + 1))
98oveq2d 7424 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)))
10 peano2uz 12884 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
11 fzosplitsn 13739 . . 3 ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
13 fzosplitsn 13739 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
1413uneq1d 4162 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}))
15 unass 4166 . . . 4 (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}))
1615a1i 11 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})))
17 df-pr 4631 . . . . . 6 {𝐵, (𝐵 + 1)} = ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})
1817eqcomi 2741 . . . . 5 ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)}
1918a1i 11 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)})
2019uneq2d 4163 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
2114, 16, 203eqtrd 2776 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
229, 12, 213eqtrd 2776 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3946  {csn 4628  {cpr 4630  cfv 6543  (class class class)co 7408  cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112  2c2 12266  cuz 12821  ..^cfzo 13626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627
This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  13741  clwwlknonex2lem1  29357
  Copyright terms: Public domain W3C validator