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Theorem 2clwwlk2clwwlk 28046
Description: An element of the value of operation 𝐶, i.e., a word being a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋, is composed of two closed walks. (Contributed by AV, 28-Apr-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
2clwwlk.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
2clwwlk2clwwlk ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑊   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏,𝑤   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlk
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 12278 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 2clwwlk.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
322clwwlkel 28045 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
41, 3sylan2 592 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
65anim1i 614 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7 3anass 1089 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
86, 7sylibr 235 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
9 clwwnonrepclwwnon 28041 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
115adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
12 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
13 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
14 isclwwlknon 27787 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
15 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
1615eqcomd 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1714, 16sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1817ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1913, 18eqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
20 2clwwlk2clwwlklem 28042 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
22 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2322clwwlknbp 27730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
24 opeq2 4803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)
2524oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩))
2625oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2726eqcoms 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2827ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
29 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
30 fz1ssfz0 12993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31 ige3m2fz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
3230, 31sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
35 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝑁))
3635eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3736ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3834, 37mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39 pfxcctswrd 14062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4029, 38, 39syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4128, 40eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4223, 41sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4342ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4514, 44sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4746impcom 408 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4847eqcomd 2832 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))
4910, 21, 483jca 1122 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))))
5049ex 413 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
514, 50sylbid 241 . . 3 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
52 rspceov 7195 . . 3 (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏))
5351, 52syl6 35 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
54 eluzelcn 12244 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
55 2cnd 11704 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
5654, 55npcand 10990 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5756adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5857oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
5958eleq2d 2903 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
6059biimpd 230 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
61 clwwlknonccat 27792 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)))
6260, 61impel 506 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
63 isclwwlknon 27787 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋))
64 clwwlkn2 27739 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65 isclwwlknon 27787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
6622clwwlknbp 27730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
67 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
68 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
69 2nn 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
70 lbfzo0 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
7169, 70mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0..^2)
72 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑏) = 2 → (0..^(♯‘𝑏)) = (0..^2))
7371, 72eleqtrrid 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑏) = 2 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7473ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7567, 68, 743jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
78 ccatval3 13923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
80 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
8180oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8354, 55subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
8483addid2d 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8682, 85sylan9eq 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (𝑁 − 2))
8786eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (0 + (♯‘𝑎)))
8887fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))))
89 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑏‘0) = 𝑋)
9089eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9190ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9279, 88, 913eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
9392exp53 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9493com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9594imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9865, 97sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9998com13 88 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
100993adant3 1126 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
10164, 100sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
102101imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10363, 102sylbi 218 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
104103impcom 408 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
105104impcom 408 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
10622clwwlkel 28045 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
1071, 106sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
108107adantr 481 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10962, 105, 108mpbir2and 709 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
110 eleq1 2905 . . . 4 (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
111109, 110syl5ibrcom 248 . . 3 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
112111rexlimdvva 3299 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
11353, 112impbid 213 1 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  {crab 3147  {cpr 4566  cop 4570  cfv 6352  (class class class)co 7148  cmpo 7150  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  cmin 10859  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682  cuz 12232  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851   ++ cconcat 13912   substr csubstr 13992   prefix cpfx 14022  Vtxcvtx 26698  Edgcedg 26749   ClWWalksN cclwwlkn 27719  ClWWalksNOncclwwlknon 27783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-lsw 13905  df-concat 13913  df-s1 13940  df-substr 13993  df-pfx 14023  df-s2 14200  df-wwlks 27525  df-wwlksn 27526  df-clwwlk 27677  df-clwwlkn 27720  df-clwwlknon 27784
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