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Theorem 2clwwlk2clwwlk 30283
Description: An element of the value of operation 𝐶, i.e., a word being a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋, is composed of two closed walks. (Contributed by AV, 28-Apr-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
2clwwlk.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
2clwwlk2clwwlk ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑊   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏,𝑤   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlk
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 12925 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 2clwwlk.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
322clwwlkel 30282 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
41, 3sylan2 591 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
65anim1i 613 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7 3anass 1092 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
86, 7sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
9 clwwnonrepclwwnon 30278 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
115adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
12 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
13 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
14 isclwwlknon 30024 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
15 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
1615eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1714, 16sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1817ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1913, 18eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
20 2clwwlk2clwwlklem 30279 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2322clwwlknbp 29968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
24 opeq2 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)
2524oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩))
2625oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2726eqcoms 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2827ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
29 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
30 fz1ssfz0 13651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31 ige3m2fz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
3230, 31sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
35 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝑁))
3635eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3736ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3834, 37mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39 pfxcctswrd 14718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4029, 38, 39syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4128, 40eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4223, 41sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4342ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4443adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4514, 44sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4645adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4746impcom 406 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4847eqcomd 2732 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))
4910, 21, 483jca 1125 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))))
5049ex 411 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
514, 50sylbid 239 . . 3 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
52 rspceov 7472 . . 3 (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏))
5351, 52syl6 35 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
54 eluzelcn 12886 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
55 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
5654, 55npcand 11625 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5756adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5857oveq2d 7440 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
5958eleq2d 2812 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
6059biimpd 228 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
61 clwwlknonccat 30029 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)))
6260, 61impel 504 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
63 isclwwlknon 30024 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋))
64 clwwlkn2 29977 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65 isclwwlknon 30024 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
6622clwwlknbp 29968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
67 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
68 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
69 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
70 lbfzo0 13726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
7169, 70mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0..^2)
72 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑏) = 2 → (0..^(♯‘𝑏)) = (0..^2))
7371, 72eleqtrrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑏) = 2 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7473ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7567, 68, 743jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7776adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
78 ccatval3 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
80 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
8180oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8281adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8354, 55subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
8483addlidd 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8682, 85sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (𝑁 − 2))
8786eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (0 + (♯‘𝑎)))
8887fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))))
89 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑏‘0) = 𝑋)
9089eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9190ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9279, 88, 913eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
9392exp53 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9493com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9594imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9796adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9865, 97sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9998com13 88 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
100993adant3 1129 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
10164, 100sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
102101imp 405 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10363, 102sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
104103impcom 406 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
105104impcom 406 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
10622clwwlkel 30282 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
1071, 106sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
108107adantr 479 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10962, 105, 108mpbir2and 711 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
110 eleq1 2814 . . . 4 (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
111109, 110syl5ibrcom 246 . . 3 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
112111rexlimdvva 3202 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
11353, 112impbid 211 1 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  {crab 3419  {cpr 4635  cop 4639  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  cmin 11494  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  cuz 12874  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522   ++ cconcat 14578   substr csubstr 14648   prefix cpfx 14678  Vtxcvtx 28932  Edgcedg 28983   ClWWalksN cclwwlkn 29957  ClWWalksNOncclwwlknon 30020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-lsw 14571  df-concat 14579  df-s1 14604  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-s2 14857  df-wwlks 29764  df-wwlksn 29765  df-clwwlk 29915  df-clwwlkn 29958  df-clwwlknon 30021
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