2clwwlk2clwwlk - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2clwwlk2clwwlk 30279

Description: An element of the value of operation 𝐶, i.e., a word being a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋, is composed of two closed walks. (Contributed by AV, 28-Apr-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
2clwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})

**Assertion**
Ref	Expression
2clwwlk2clwwlk	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝑊 𝐶,𝑎,𝑏 𝐺,𝑎,𝑏 𝑁,𝑎,𝑏,𝑤 𝑉,𝑎,𝑏 𝑊,𝑎,𝑏 𝑋,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑉(𝑤) 𝑊(𝑣,𝑛)

**Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlk**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12843	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		2clwwlk.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3	2	2clwwlkel 30278	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
4	1, 3	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
6	5	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
9		clwwnonrepclwwnon 30274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
11	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
12		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
13		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
14		isclwwlknon 30020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
16	15	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
17	14, 16	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
18	17	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑊‘0))
19	13, 18	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
20		2clwwlk2clwwlklem 30275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
21	11, 12, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23	22	clwwlknbp 29964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
24		opeq2 4838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)
25	24	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩))
26	25	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
27	26	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
28	27	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
29		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
30		fz1ssfz0 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31		ige3m2fz 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
32	30, 31	sselid 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
35		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝑁))
36	35	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
37	36	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
38	34, 37	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39		pfxcctswrd 14675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
40	29, 38, 39	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
41	28, 40	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
42	23, 41	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
43	42	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
45	14, 44	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
46	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
47	46	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
48	47	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))
49	10, 21, 48	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))))
50	49	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
51	4, 50	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
52		rspceov 7436	. . 3 ⊢ (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏))
53	51, 52	syl6 35	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
54		eluzelcn 12805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
55		2cnd 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
56	54, 55	npcand 11537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
58	57	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
59	58	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
60	59	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
61		clwwlknonccat 30025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)))
62	60, 61	impel 505	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
63		isclwwlknon 30020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋))
64		clwwlkn2 29973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65		isclwwlknon 30020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
66	22	clwwlknbp 29964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
67		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
68		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
69		2nn 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
70		lbfzo0 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
71	69, 70	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
72		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑏) = 2 → (0..^(♯‘𝑏)) = (0..^2))
73	71, 72	eleqtrrid 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑏) = 2 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
74	73	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
75	67, 68, 74	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
78		ccatval3 14544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
81	80	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
83	54, 55	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
84	83	addlidd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
86	82, 85	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (𝑁 − 2))
87	86	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (0 + (♯‘𝑎)))
88	87	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))))
89		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑏‘0) = 𝑋)
90	89	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑋 = (𝑏‘0))
91	90	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → 𝑋 = (𝑏‘0))
92	79, 88, 91	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
93	92	exp53 447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
94	93	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
95	94	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
98	65, 97	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
99	98	com13 88	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
100	99	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
101	64, 100	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
102	101	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
103	63, 102	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
104	103	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
105	104	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
106	2	2clwwlkel 30278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
107	1, 106	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
108	107	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
109	62, 105, 108	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
110		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
111	109, 110	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
112	111	rexlimdvva 3194	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
113	53, 112	impbid 212	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3053 {crab 3405 {cpr 4591 ⟨cop 4595 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ∈ cmpo 7389 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 − cmin 11405 ℕcn 12186 2c2 12241 3c3 12242 ℤ_≥cuz 12793 ...cfz 13468 ..^cfzo 13615 ♯chash 14295 Word cword 14478 ++ cconcat 14535 substr csubstr 14605 prefix cpfx 14635 Vtxcvtx 28923 Edgcedg 28974 ClWWalksN cclwwlkn 29953 ClWWalksNOncclwwlknon 30016

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-oadd 8438 df-er 8671 df-map 8801 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-n0 12443 df-xnn0 12516 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-hash 14296 df-word 14479 df-lsw 14528 df-concat 14536 df-s1 14561 df-substr 14606 df-pfx 14636 df-s2 14814 df-wwlks 29760 df-wwlksn 29761 df-clwwlk 29911 df-clwwlkn 29954 df-clwwlknon 30017

This theorem is referenced by: (None)

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