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Theorem 2clwwlk2clwwlk 29336
Description: An element of the value of operation 𝐢, i.e., a word being a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋, is composed of two closed walks. (Contributed by AV, 28-Apr-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
2clwwlk.c 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
2clwwlk2clwwlk ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))βˆƒπ‘ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)π‘Š = (π‘Ž ++ 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀   𝑀,π‘Š   𝐢,π‘Ž,𝑏   𝐺,π‘Ž,𝑏   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑀   𝑉,π‘Ž,𝑏   π‘Š,π‘Ž,𝑏   𝑋,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑀)   π‘Š(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlk
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 12821 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 2clwwlk.c . . . . . 6 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
322clwwlkel 29335 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
41, 3sylan2 594 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
5 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
65anim1i 616 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
7 3anass 1096 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
86, 7sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
9 clwwnonrepclwwnon 29331 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)))
115adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
12 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁))
13 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
14 isclwwlknon 29077 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋))
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)
1615eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ 𝑋 = (π‘Šβ€˜0))
1714, 16sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) β†’ 𝑋 = (π‘Šβ€˜0))
1817ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 = (π‘Šβ€˜0))
1913, 18eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘Šβ€˜0))
20 2clwwlk2clwwlklem 29332 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘Šβ€˜0)) β†’ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2322clwwlknbp 29021 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
24 opeq2 4836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ© = ⟨(𝑁 βˆ’ 2), (β™―β€˜π‘Š)⟩)
2524oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©) = (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), (β™―β€˜π‘Š)⟩))
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
2726eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), (β™―β€˜π‘Š)⟩)))
29 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
30 fz1ssfz0 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑁) βŠ† (0...𝑁)
31 ige3m2fz 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (1...𝑁))
3230, 31sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...𝑁))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...𝑁))
3433adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...𝑁))
35 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...𝑁))
3635eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...𝑁)))
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...𝑁)))
3834, 37mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
39 pfxcctswrd 14605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = π‘Š)
4029, 38, 39syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), (β™―β€˜π‘Š)⟩)) = π‘Š)
4128, 40eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = π‘Š)
4223, 41sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = π‘Š)
4342ex 414 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = π‘Š))
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = π‘Š))
4514, 44sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = π‘Š))
4645adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = π‘Š))
4746impcom 409 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)) = π‘Š)
4847eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)))
4910, 21, 483jca 1129 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ∧ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©))))
5049ex 414 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Š ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ∧ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)))))
514, 50sylbid 239 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ∧ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©)))))
52 rspceov 7409 . . 3 (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ∧ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ (π‘Š substr ⟨(𝑁 βˆ’ 2), π‘βŸ©))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))βˆƒπ‘ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)π‘Š = (π‘Ž ++ 𝑏))
5351, 52syl6 35 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))βˆƒπ‘ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)π‘Š = (π‘Ž ++ 𝑏)))
54 eluzelcn 12782 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
55 2cnd 12238 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 2 ∈ β„‚)
5654, 55npcand 11523 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) = 𝑁)
5756adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) = 𝑁)
5857oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)((𝑁 βˆ’ 2) + 2)) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁))
5958eleq2d 2824 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)((𝑁 βˆ’ 2) + 2)) ↔ (π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)))
6059biimpd 228 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)((𝑁 βˆ’ 2) + 2)) β†’ (π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)))
61 clwwlknonccat 29082 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) β†’ (π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)((𝑁 βˆ’ 2) + 2)))
6260, 61impel 507 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))) β†’ (π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁))
63 isclwwlknon 29077 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) ↔ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘β€˜0) = 𝑋))
64 clwwlkn2 29030 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
65 isclwwlknon 29077 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ↔ (π‘Ž ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Žβ€˜0) = 𝑋))
6622clwwlknbp 29021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2)))
67 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
68 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
69 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ β„•
70 lbfzo0 13619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ β„•)
7169, 70mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0..^2)
72 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘) = 2 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘)) = (0..^2))
7371, 72eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β™―β€˜π‘) = 2 β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘)))
7473ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘)))
7567, 68, 743jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘))))
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘))))
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ (π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘))))
78 ccatval3 14474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘))) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘Ž))) = (π‘β€˜0))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘Ž))) = (π‘β€˜0))
80 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))
8180oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (0 + (β™―β€˜π‘Ž)) = (0 + (𝑁 βˆ’ 2)))
8281adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (0 + (β™―β€˜π‘Ž)) = (0 + (𝑁 βˆ’ 2)))
8354, 55subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„‚)
8483addid2d 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (0 + (𝑁 βˆ’ 2)) = (𝑁 βˆ’ 2))
8584adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (0 + (𝑁 βˆ’ 2)) = (𝑁 βˆ’ 2))
8682, 85sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ (0 + (β™―β€˜π‘Ž)) = (𝑁 βˆ’ 2))
8786eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = (0 + (β™―β€˜π‘Ž)))
8887fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘Ž))))
89 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (π‘β€˜0) = 𝑋)
9089eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ 𝑋 = (π‘β€˜0))
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ 𝑋 = (π‘β€˜0))
9279, 88, 913eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
9392exp53 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))))
9493com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))))
9594imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Ž) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘Žβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
9865, 97sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
9998com13 88 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
100993adant3 1133 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
10164, 100sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 β†’ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))))
102101imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘β€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
10363, 102sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2) β†’ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
104103impcom 409 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
105104impcom 409 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
10622clwwlkel 29335 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
1071, 106sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
108107adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))) β†’ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ ((π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∧ ((π‘Ž ++ 𝑏)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
10962, 105, 108mpbir2and 712 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))) β†’ (π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐢𝑁))
110 eleq1 2826 . . . 4 (π‘Š = (π‘Ž ++ 𝑏) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ (π‘Ž ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐢𝑁)))
111109, 110syl5ibrcom 247 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))) β†’ (π‘Š = (π‘Ž ++ 𝑏) β†’ π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁)))
112111rexlimdvva 3206 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))βˆƒπ‘ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)π‘Š = (π‘Ž ++ 𝑏) β†’ π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁)))
11353, 112impbid 211 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (π‘Š ∈ (𝑋𝐢𝑁) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))βˆƒπ‘ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)π‘Š = (π‘Ž ++ 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465   substr csubstr 14535   prefix cpfx 14565  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040   ClWWalksN cclwwlkn 29010  ClWWalksNOncclwwlknon 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-s2 14744  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074
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