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Theorem 2clwwlk2clwwlk 28234
 Description: An element of the value of operation 𝐶, i.e., a word being a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋, is composed of two closed walks. (Contributed by AV, 28-Apr-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
2clwwlk.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
2clwwlk2clwwlk ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑊   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏,𝑤   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlk
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 12329 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 2clwwlk.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
322clwwlkel 28233 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
41, 3sylan2 595 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
65anim1i 617 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7 3anass 1092 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
86, 7sylibr 237 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
9 clwwnonrepclwwnon 28229 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
115adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
12 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
13 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
14 isclwwlknon 27975 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
15 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
1615eqcomd 2764 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1714, 16sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1817ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1913, 18eqtrd 2793 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
20 2clwwlk2clwwlklem 28230 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
22 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2322clwwlknbp 27919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
24 opeq2 4763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)
2524oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩))
2625oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2726eqcoms 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
29 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
30 fz1ssfz0 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31 ige3m2fz 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
3230, 31sseldi 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3332adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
35 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝑁))
3635eleq2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3834, 37mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39 pfxcctswrd 14119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4029, 38, 39syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4128, 40eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4223, 41sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4342ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4443adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4514, 44sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4645adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4746impcom 411 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4847eqcomd 2764 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))
4910, 21, 483jca 1125 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))))
5049ex 416 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
514, 50sylbid 243 . . 3 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
52 rspceov 7197 . . 3 (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏))
5351, 52syl6 35 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
54 eluzelcn 12294 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
55 2cnd 11752 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
5654, 55npcand 11039 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5756adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5857oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
5958eleq2d 2837 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
6059biimpd 232 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
61 clwwlknonccat 27980 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)))
6260, 61impel 509 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
63 isclwwlknon 27975 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋))
64 clwwlkn2 27928 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65 isclwwlknon 27975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
6622clwwlknbp 27919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
67 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
68 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
69 2nn 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
70 lbfzo0 13126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
7169, 70mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0..^2)
72 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑏) = 2 → (0..^(♯‘𝑏)) = (0..^2))
7371, 72eleqtrrid 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑏) = 2 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7473ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7567, 68, 743jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7675adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7776adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
78 ccatval3 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
80 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
8180oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8281adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8354, 55subcld 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
8483addid2d 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8584adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8682, 85sylan9eq 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (𝑁 − 2))
8786eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (0 + (♯‘𝑎)))
8887fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))))
89 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑏‘0) = 𝑋)
9089eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9279, 88, 913eqtr4d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
9392exp53 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9493com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9594imp 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9796adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9865, 97sylbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9998com13 88 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
100993adant3 1129 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
10164, 100sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
102101imp 410 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10363, 102sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
104103impcom 411 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
105104impcom 411 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
10622clwwlkel 28233 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
1071, 106sylan2 595 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
108107adantr 484 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10962, 105, 108mpbir2and 712 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
110 eleq1 2839 . . . 4 (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
111109, 110syl5ibrcom 250 . . 3 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
112111rexlimdvva 3218 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
11353, 112impbid 215 1 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {crab 3074  {cpr 4524  ⟨cop 4528  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   − cmin 10908  ℕcn 11674  2c2 11729  3c3 11730  ℤ≥cuz 12282  ...cfz 12939  ..^cfzo 13082  ♯chash 13740  Word cword 13913   ++ cconcat 13969   substr csubstr 14049   prefix cpfx 14079  Vtxcvtx 26888  Edgcedg 26939   ClWWalksN cclwwlkn 27908  ClWWalksNOncclwwlknon 27971 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-hash 13741  df-word 13914  df-lsw 13962  df-concat 13970  df-s1 13997  df-substr 14050  df-pfx 14080  df-s2 14257  df-wwlks 27715  df-wwlksn 27716  df-clwwlk 27866  df-clwwlkn 27909  df-clwwlknon 27972 This theorem is referenced by: (None)
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