2clwwlk2clwwlk - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 2clwwlk2clwwlk		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 2clwwlk2clwwlk 30701

Description: An element of the value of operation 𝐶, i.e., a word being a double loop of length 𝑁 on vertex 𝑋, is composed of two closed walks. (Contributed by AV, 28-Apr-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
2clwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})

**Assertion**
Ref	Expression
2clwwlk2clwwlk	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝑊 𝐶,𝑎,𝑏 𝐺,𝑎,𝑏 𝑁,𝑎,𝑏,𝑤 𝑉,𝑎,𝑏 𝑊,𝑎,𝑏 𝑋,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑉(𝑤) 𝑊(𝑣,𝑛)

**Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlk**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12903	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		2clwwlk.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3	2	2clwwlkel 30700	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
4	1, 3	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
6	5	anim1i 626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7		3anass 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
8	6, 7	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
9		clwwnonrepclwwnon 30696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
11	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
12		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
13		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
14		isclwwlknon 30442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
15		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
16	15	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
17	14, 16	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
18	17	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑊‘0))
19	13, 18	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
20		2clwwlk2clwwlklem 30697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
21	11, 12, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23	22	clwwlknbp 30386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
24		opeq2 4839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)
25	24	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩))
26	25	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
27	26	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
28	27	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
29		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
30		fz1ssfz0 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31		ige3m2fz 13572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
32	30, 31	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
33	32	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
34	33	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
35		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝑁))
36	35	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
37	36	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
38	34, 37	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39		pfxcctswrd 14743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
40	29, 38, 39	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
41	28, 40	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
42	23, 41	sylan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
43	42	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
44	43	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
45	14, 44	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
46	45	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
47	46	impcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
48	47	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))
49	10, 21, 48	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))))
50	49	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
51	4, 50	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
52		rspceov 7459	. . 3 ⊢ (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏))
53	51, 52	syl6 36	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
54		eluzelcn 12869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
55		2cnd 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
56	54, 55	npcand 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
57	56	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
58	57	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
59	58	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
60	59	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
61		clwwlknonccat 30447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)))
62	60, 61	impel 514	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
63		isclwwlknon 30442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋))
64		clwwlkn2 30395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65		isclwwlknon 30442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
66	22	clwwlknbp 30386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
67		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
68		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
69		2nn 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
70		lbfzo0 13724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
71	69, 70	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
72		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑏) = 2 → (0..^(♯‘𝑏)) = (0..^2))
73	71, 72	eleqtrrid 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑏) = 2 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
74	73	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
75	67, 68, 74	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
76	75	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
77	76	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
78		ccatval3 14612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
79	77, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
80		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
81	80	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
82	81	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
83	54, 55	subcld 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
84	83	addlidd 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
85	84	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
86	82, 85	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (𝑁 − 2))
87	86	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (0 + (♯‘𝑎)))
88	87	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))))
89		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑏‘0) = 𝑋)
90	89	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑋 = (𝑏‘0))
91	90	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → 𝑋 = (𝑏‘0))
92	79, 88, 91	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
93	92	exp53 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
94	93	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
95	94	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
96	66, 95	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
97	96	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
98	65, 97	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
99	98	com13 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
100	99	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
101	64, 100	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
102	101	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
103	63, 102	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
104	103	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
105	104	impcom 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
106	2	2clwwlkel 30700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
107	1, 106	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
108	107	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
109	62, 105, 108	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
110		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
111	109, 110	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
112	111	rexlimdvva 3222	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
113	53, 112	impbid 215	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ∃wrex 3089 {crab 3416 {cpr 4591 ⟨cop 4595 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ∈ cmpo 7412 0cc0 11095 1c1 11096 + caddc 11098 − cmin 11436 ℕcn 12228 2c2 12290 3c3 12291 ℤ_≥cuz 12857 ...cfz 13530 ..^cfzo 13678 ♯chash 14362 Word cword 14546 ++ cconcat 14603 substr csubstr 14674 prefix cpfx 14704 Vtxcvtx 29346 Edgcedg 29397 ClWWalksN cclwwlkn 30375 ClWWalksNOncclwwlknon 30438

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-oadd 8453 df-er 8690 df-map 8822 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-n0 12500 df-xnn0 12573 df-z 12587 df-uz 12858 df-rp 13012 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-hash 14363 df-word 14547 df-lsw 14596 df-concat 14604 df-s1 14630 df-substr 14675 df-pfx 14705 df-s2 14881 df-wwlks 30179 df-wwlksn 30180 df-clwwlk 30333 df-clwwlkn 30376 df-clwwlknon 30439

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator