Theorem mulp1mod1 13934

Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulp1mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		zcn 12598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
6	5	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7		eluz2nn 12903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9		mulmod0 13899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
12	11	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 12367	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
15	14	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
16		eluzelre 12868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 12597	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	17, 19	remulcld 11270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
21		1red 11241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
22	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
23		modaddmod 13932	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
25		eluz2gt1 12941	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
26	16, 25	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
28		1mod 13925	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
30	15, 24, 29	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274  2c2 12300  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013   mod cmo 13891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-mod 13892

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  47547