MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulp1mod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulp1mod1 13823
Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulp1mod1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12780 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 zcn 12509 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52, 4mulcomd 11181 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐‘))
65oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) = ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘))
7 eluz2nn 12814 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87nnrpd 12960 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
9 mulmod0 13788 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘) = 0)
108, 9sylan2 594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘) = 0)
116, 10eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) = 0)
1211oveq1d 7373 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 12280 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtrdi 2789 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) = 1)
1514oveq1d 7373 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
16 eluzelre 12779 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1716adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
18 zre 12508 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1918adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2017, 19remulcld 11190 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
21 1red 11161 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
228adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
23 modaddmod 13821 . . 3 (((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1372 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘))
25 eluz2gt1 12850 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
2616, 25jca 513 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘))
2726adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘))
28 1mod 13814 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
2927, 28syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
3015, 24, 293eqtr3d 2781 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920   mod cmo 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  45844
  Copyright terms: Public domain W3C validator