Theorem mulp1mod1 13975

Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulp1mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		zcn 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
6	5	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7		eluz2nn 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9		mulmod0 13938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
10	8, 9	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
12	11	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 12385	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
15	14	oveq1d 7428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
16		eluzelre 12898	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 12619	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	17, 19	remulcld 11263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
21		1red 11233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
22	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
23		modaddmod 13973	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
25		eluz2gt1 12969	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
26	16, 25	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
27	26	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
28		1mod 13964	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
29	27, 28	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
30	15, 24, 29	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267  2c2 12319  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ℝ⁺crp 13042   mod cmo 13930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fl 13853  df-mod 13931

This theorem is used by:  fmtnoprmfac2lem1  48469