Theorem mulp1mod1 13864

Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulp1mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		zcn 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 11157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
6	5	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7		eluz2nn 12829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 12975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9		mulmod0 13827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
10	8, 9	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
12	11	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 12289	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
15	14	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
16		eluzelre 12790	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 12519	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	17, 19	remulcld 11166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
21		1red 11136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
22	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
23		modaddmod 13862	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
25		eluz2gt1 12861	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
26	16, 25	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
28		1mod 13853	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
30	15, 24, 29	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  48041