Theorem mulp1mod1 13485

Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulp1mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		zcn 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 10854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
6	5	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7		eluz2nn 12480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 12626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9		mulmod0 13450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
10	8, 9	sylan2 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
12	11	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 11952	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
15	14	oveq1d 7228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
16		eluzelre 12449	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 12180	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	17, 19	remulcld 10863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
21		1red 10834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
22	8	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
23		modaddmod 13483	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
25		eluz2gt1 12516	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
26	16, 25	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
27	26	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
28		1mod 13476	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
30	15, 24, 29	3eqtr3d 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  2c2 11885  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ℝ⁺crp 12586   mod cmo 13442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fl 13367  df-mod 13443

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  44691