MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulp1mod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulp1mod1 13909
Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulp1mod1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12864 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 zcn 12593 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52, 4mulcomd 11265 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐‘))
65oveq1d 7431 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) = ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘))
7 eluz2nn 12898 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87nnrpd 13046 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
9 mulmod0 13874 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘) = 0)
108, 9sylan2 591 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod ๐‘) = 0)
116, 10eqtrd 2765 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) = 0)
1211oveq1d 7431 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 12364 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtrdi 2781 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) = 1)
1514oveq1d 7431 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
16 eluzelre 12863 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1716adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
18 zre 12592 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1918adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2017, 19remulcld 11274 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
21 1red 11245 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
228adantl 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
23 modaddmod 13907 . . 3 (((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((((๐‘ ยท ๐ด) mod ๐‘) + 1) mod ๐‘) = (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘))
25 eluz2gt1 12934 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
2616, 25jca 510 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘))
2726adantl 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘))
28 1mod 13900 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
2927, 28syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
3015, 24, 293eqtr3d 2773 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + 1) mod ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278  2c2 12297  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  โ„+crp 13006   mod cmo 13866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  46969
  Copyright terms: Public domain W3C validator