MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulp1mod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulp1mod1 13560
Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulp1mod1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12523 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 zcn 12254 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 4mulcomd 10927 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
65oveq1d 7270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7 eluz2nn 12553 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
87nnrpd 12699 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9 mulmod0 13525 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
108, 9sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
116, 10eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
1211oveq1d 7270 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 12025 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtrdi 2795 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
1514oveq1d 7270 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
16 eluzelre 12522 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 zre 12253 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2017, 19remulcld 10936 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
21 1red 10907 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
228adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
23 modaddmod 13558 . . 3 (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1369 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
25 eluz2gt1 12589 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
2616, 25jca 511 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
2726adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
28 1mod 13551 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
2927, 28syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
3015, 24, 293eqtr3d 2786 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108   class class class wbr 5070  cfv 6418  (class class class)co 7255  cc 10800  cr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940  2c2 11958  cz 12249  cuz 12511  +crp 12659   mod cmo 13517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  44906
  Copyright terms: Public domain W3C validator