MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk2 30410
Description: Statement 10 in [Huneke] p. 2: "If n > 1, then the number of closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) ... with v(n-2) =/= v is k^(n-2) - f(n-2)." According to rusgrnumwlkg 30007, we have k^(n-2) different walks of length (n-2): v(0) ... v(n-2). From this number, the number of closed walks of length (n-2), which is f(n-2) per definition, must be subtracted, because for these walks v(n-2) =/= v(0) = v would hold. Because of the friendship condition, there is exactly one vertex v(n-1) which is a neighbor of v(n-2) as well as of v(n)=v=v(0), because v(n-2) and v(n)=v are different, so the number of walks v(0) ... v(n-2) is identical with the number of walks v(0) ... v(n), that means each (not closed) walk v(0) ... v(n-2) can be extended by two edges to a closed walk v(0) ... v(n)=v=v(0) in exactly one way. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋𝐻𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk2
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12888 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2 2cnd 12342 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
31, 2npcand 11622 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
43eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
543ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
65adantl 481 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
76oveq2d 7447 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝐻𝑁) = (𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2)))
87fveq2d 6911 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋𝐻𝑁)) = (♯‘(𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2))))
9 simplr 769 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
10 simpr2 1194 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
11 uz3m2nn 12931 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
12113ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
1312adantl 481 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
14 numclwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15 numclwwlk.q . . . 4 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
16 numclwwlk.h . . . 4 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
1714, 15, 16numclwwlk2lem3 30409 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = (♯‘(𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2))))
189, 10, 13, 17syl3anc 1370 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = (♯‘(𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2))))
19 simpl 482 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
20 simp1 1135 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ∈ Fin)
2119, 20anim12i 613 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin))
2211anim2i 617 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
23223adant1 1129 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
2423adantl 481 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
2514, 15numclwwlkqhash 30404 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ)) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
2621, 24, 25syl2anc 584 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
278, 18, 263eqtr2d 2781 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋𝐻𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8984  0cc0 11153   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  cuz 12876  cexp 14099  chash 14366  lastSclsw 14597  Vtxcvtx 29028   RegUSGraph crusgr 29589   WWalksN cwwlksn 29856  ClWWalksNOncclwwlknon 30116   FriendGraph cfrgr 30287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-fusgr 29349  df-nbgr 29365  df-vtxdg 29499  df-rgr 29590  df-rusgr 29591  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-wwlksnon 29862  df-clwwlk 30011  df-clwwlkn 30054  df-clwwlknon 30117  df-frgr 30288
This theorem is referenced by:  numclwwlk3  30414
  Copyright terms: Public domain W3C validator