Theorem numclwwlk2 30713

Description: Statement 10 in [Huneke] p. 2: "If n > 1, then the number of closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) ... with v(n-2) =/= v is k^(n-2) - f(n-2)." According to rusgrnumwlkg 30310, we have k^(n-2) different walks of length (n-2): v(0) ... v(n-2). From this number, the number of closed walks of length (n-2), which is f(n-2) per definition, must be subtracted, because for these walks v(n-2) =/= v(0) = v would hold. Because of the friendship condition, there is exactly one vertex v(n-1) which is a neighbor of v(n-2) as well as of v(n)=v=v(0), because v(n-2) and v(n)=v are different, so the number of walks v(0) ... v(n-2) is identical with the number of walks v(0) ... v(n), that means each (not closed) walk v(0) ... v(n-2) can be extended by two edges to a closed walk v(0) ... v(n)=v=v(0) in exactly one way. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk2	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋𝐻𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		2cnd 12320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
7	6	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋𝐻𝑁) = (𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2)))
8	7	fveq2d 6887	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋𝐻𝑁)) = (♯‘(𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2))))
9		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
10		simpr2 1214	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		uz3m2nn 12919	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
12	11	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
13	12	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
14		numclwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15		numclwwlk.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
16		numclwwlk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
17	14, 15, 16	numclwwlk2lem3 30712	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = (♯‘(𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2))))
18	9, 10, 13, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = (♯‘(𝑋𝐻((𝑁 − 2) + 2))))
19		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
20		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑉 ∈ Fin)
21	19, 20	anim12i 624	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin))
22	11	anim2i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
23	22	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
24	23	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
25	14, 15	numclwwlkqhash 30707	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ)) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
26	21, 24, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋𝑄(𝑁 − 2))) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
27	8, 18, 26	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋𝐻𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Fincfn 8944  0cc0 11101   + caddc 11104   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  3c3 12297  ℤ_≥cuz 12863  ↑cexp 14099  ♯chash 14368  lastSclsw 14601  Vtxcvtx 29327   RegUSGraph crusgr 29887   WWalksN cwwlksn 30156  ClWWalksNOncclwwlknon 30419   FriendGraph cfrgr 30590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-xadd 13139  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-vtx 29329  df-iedg 29330  df-edg 29379  df-uhgr 29389  df-ushgr 29390  df-upgr 29413  df-umgr 29414  df-uspgr 29481  df-usgr 29482  df-fusgr 29648  df-nbgr 29664  df-vtxdg 29797  df-rgr 29888  df-rusgr 29889  df-wwlks 30160  df-wwlksn 30161  df-wwlksnon 30162  df-clwwlk 30314  df-clwwlkn 30357  df-clwwlknon 30420  df-frgr 30591

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  30717