MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkext2edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkext2edg 28420
Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkext2edg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlkext2edg (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknnn 28397 . . 3 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 clwwlkext2edg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 clwwlkext2edg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlknx 28400 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
5 ige2m2fzo 13450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
653ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
98oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
109eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
127, 11mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
13 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
14 fvoveq1 7298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
1513, 14preq12d 4677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
1615eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1716rspcv 3557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19 wrdlenccats1lenm1 14327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
2019eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2221, 8sylan9eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))
2322ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
24233adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
25 eluzelcn 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
26 1cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26, 26subsub4d 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
28 1p1e2 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 + 1) = 2
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = 2)
3029oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
3127, 30eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
32313ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
33 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
3433eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
3532, 34sylan9eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3635ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3724, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3837imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3938fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
40 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 s1cl 14307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
42413ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
44 eluz2 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
45 zre 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
46 1red 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
47 2re 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
49 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
50 1lt2 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 < 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
5346, 48, 49, 51, 52ltletrd 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
54 1red 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
5654, 55posdifd 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5853, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
5958ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6045, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
62613imp 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
6344, 62sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
6463ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
65 breq2 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6764, 66mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
68 hashneq0 14079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7167, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
72713adantl2 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
7340, 43, 723jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
7473ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7524, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7675imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
77 ccatval1lsw 14289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7939, 78eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊))
80 2m1e1 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 − 1) = 1
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) = 1)
8281eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (2 − 1))
8382oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
84 2cnd 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
8525, 84, 26subsubd 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
8683, 85eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
87863ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
88 eqeq2 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
8987, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9024, 89syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9190imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))
9291fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
93 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
94933adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
96 ccatws1ls 14343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9892, 97eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
9979, 98preq12d 4677 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍})
10099eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
10118, 100sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
102101ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
103102com13 88 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
1041033ad2ant2 1133 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105104imp31 418 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)
10694adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
107 lswccats1 14344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
109633ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
11165adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
112110, 111mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
113 ccatfv0 14288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
11440, 43, 112, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
115108, 114preq12d 4677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
116115ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
11724, 116syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
118117impcom 408 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
119118eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
120119biimpcd 248 . . . . . . . 8 ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
1211203ad2ant3 1134 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
122121impl 456 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
123105, 122jca 512 . . . . 5 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
124123ex 413 . . . 4 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1254, 124syl6bi 252 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1261, 125mpcom 38 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
127126impcom 408 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  c0 4256  {cpr 4563   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  cz 12319  cuz 12582  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417   ClWWalksN cclwwlkn 28388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  28740
  Copyright terms: Public domain W3C validator