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Theorem clwwlkext2edg 29289
Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkext2edg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlkext2edg (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknnn 29266 . . 3 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 clwwlkext2edg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 clwwlkext2edg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlknx 29269 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
5 ige2m2fzo 13691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
98oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
109eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
127, 11mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
13 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
14 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
1513, 14preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
1615eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1716rspcv 3608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19 wrdlenccats1lenm1 14568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
2019eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2221, 8sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))
2322ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
24233adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
25 eluzelcn 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
26 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26, 26subsub4d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
28 1p1e2 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 + 1) = 2
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = 2)
3029oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
3127, 30eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
32313ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
33 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
3532, 34sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3635ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3724, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3837imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3938fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
40 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 s1cl 14548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
42413ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
44 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
45 zre 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
46 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
47 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
49 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
50 1lt2 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 < 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
5346, 48, 49, 51, 52ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
54 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
5654, 55posdifd 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5853, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
5958ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6045, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
62613imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
6344, 62sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
6463ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
65 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6764, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
68 hashneq0 14320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7167, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
72713adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
7340, 43, 723jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
7473ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7524, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7675imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
77 ccatval1lsw 14530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7939, 78eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊))
80 2m1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 − 1) = 1
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) = 1)
8281eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (2 − 1))
8382oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
84 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
8525, 84, 26subsubd 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
8683, 85eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
87863ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
88 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
8987, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9024, 89syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9190imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))
9291fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
93 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
94933adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
96 ccatws1ls 14579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9892, 97eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
9979, 98preq12d 4744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍})
10099eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
10118, 100sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
102101ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
103102com13 88 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
1041033ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105104imp31 419 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)
10694adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
107 lswccats1 14580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
109633ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
11165adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
112110, 111mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
113 ccatfv0 14529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
11440, 43, 112, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
115108, 114preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
116115ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
11724, 116syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
118117impcom 409 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
119118eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
120119biimpcd 248 . . . . . . . 8 ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
1211203ad2ant3 1136 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
122121impl 457 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
123105, 122jca 513 . . . . 5 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
124123ex 414 . . . 4 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1254, 124syl6bi 253 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1261, 125mpcom 38 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
127126impcom 409 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  cn 12208  2c2 12263  cz 12554  cuz 12818  ..^cfzo 13623  chash 14286  Word cword 14460  lastSclsw 14508   ++ cconcat 14516  ⟨“cs1 14541  Vtxcvtx 28236  Edgcedg 28287   ClWWalksN cclwwlkn 29257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-clwwlk 29215  df-clwwlkn 29258
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  29609
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