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Theorem clwwlkext2edg 30075
Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkext2edg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlkext2edg (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknnn 30052 . . 3 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 clwwlkext2edg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 clwwlkext2edg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlknx 30055 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
5 ige2m2fzo 13767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
98oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
109eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
127, 11mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
13 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
14 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
1513, 14preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
1615eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1716rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19 wrdlenccats1lenm1 14660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
2019eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2221, 8sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))
2322ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
24233adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
25 eluzelcn 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
26 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26, 26subsub4d 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
28 1p1e2 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 + 1) = 2
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = 2)
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
3127, 30eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
32313ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
33 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
3433eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
3532, 34sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3635ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3724, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3837imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3938fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
40 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 s1cl 14640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
42413ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
44 eluz2 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
45 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
46 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
47 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
49 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
50 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 < 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
5346, 48, 49, 51, 52ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
54 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
5654, 55posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5853, 57mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
5958ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6045, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
62613imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
6344, 62sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
6463ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
65 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6764, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
68 hashneq0 14403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7167, 70mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
72713adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
7340, 43, 723jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
7473ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7524, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7675imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
77 ccatval1lsw 14622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7939, 78eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊))
80 2m1e1 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 − 1) = 1
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) = 1)
8281eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (2 − 1))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
84 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
8525, 84, 26subsubd 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
8683, 85eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
87863ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
88 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
8987, 88syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9024, 89syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9190imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))
9291fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
93 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
94933adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
96 ccatws1ls 14671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9892, 97eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
9979, 98preq12d 4741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍})
10099eleq1d 2826 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
10118, 100sylibd 239 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
102101ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
103102com13 88 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
1041033ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105104imp31 417 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)
10694adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
107 lswccats1 14672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
109633ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
11165adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
112110, 111mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
113 ccatfv0 14621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
11440, 43, 112, 113syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
115108, 114preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
116115ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
11724, 116syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
118117impcom 407 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
119118eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
120119biimpcd 249 . . . . . . . 8 ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
1211203ad2ant3 1136 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
122121impl 455 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
123105, 122jca 511 . . . . 5 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
124123ex 412 . . . 4 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1254, 124biimtrdi 253 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1261, 125mpcom 38 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
127126impcom 407 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   ClWWalksN cclwwlkn 30043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  30395
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