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Theorem clwwlkext2edg 29309
Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkext2edg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlkext2edg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlkext2edg (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknnn 29286 . . 3 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 clwwlkext2edg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 clwwlkext2edg.e . . . . 5 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
42, 3isclwwlknx 29289 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁)))
5 ige2m2fzo 13695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
8 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
98oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
109eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))))
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))))
127, 11mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)))
13 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
14 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)))
1513, 14preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))})
1615eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1716rspcv 3609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19 wrdlenccats1lenm1 14572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘Š))
2019eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) = ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1))
2221, 8sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1))
2322ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)))
24233adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)))
25 eluzelcn 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
26 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ β„‚)
2725, 26, 26subsub4d 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (1 + 1)))
28 1p1e2 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 + 1) = 2
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 + 1) = 2)
3029oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ (1 + 1)) = (𝑁 βˆ’ 2))
3127, 30eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
32313ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
33 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
3532, 34sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
3635ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3724, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3837imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
3938fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
40 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
41 s1cl 14552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
42413ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
44 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁))
45 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
46 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 ∈ ℝ)
47 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ ℝ)
49 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
50 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 < 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 2)
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ≀ 𝑁)
5346, 48, 49, 51, 52ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁)
54 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ β†’ 1 ∈ ℝ)
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5654, 55posdifd 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ 1)))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ 1)))
5853, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1))
5958ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1)))
6045, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1))))
62613imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1))
6344, 62sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1))
6463ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1))
65 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ 1)))
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ 1)))
6764, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
68 hashneq0 14324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
7167, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
72713adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
7340, 43, 723jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…))
7473ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…)))
7524, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…)))
7675imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…))
77 ccatval1lsw 14534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘Š))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘Š))
7939, 78eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (lastSβ€˜π‘Š))
80 2m1e1 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 βˆ’ 1) = 1
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 βˆ’ 1) = 1)
8281eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = (2 βˆ’ 1))
8382oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (2 βˆ’ 1)))
84 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„‚)
8525, 84, 26subsubd 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = ((𝑁 βˆ’ 2) + 1))
8683, 85eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
87863ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
88 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (β™―β€˜π‘Š) ↔ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1)))
8987, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (β™―β€˜π‘Š)))
9024, 89syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (β™―β€˜π‘Š)))
9190imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
9291fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)))
93 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
94933adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
96 ccatws1ls 14583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = 𝑍)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = 𝑍)
9892, 97eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) = 𝑍)
9979, 98preq12d 4746 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))} = {(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍})
10099eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸))
10118, 100sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸))
102101ex 414 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸)))
103102com13 88 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸)))
1041033ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105104imp31 419 . . . . . 6 (((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸)
10694adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
107 lswccats1 14584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑍)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑍)
109633ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1))
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 0 < (𝑁 βˆ’ 1))
11165adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ 1)))
112110, 111mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
113 ccatfv0 14533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
11440, 43, 112, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
115108, 114preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} = {𝑍, (π‘Šβ€˜0)})
116115ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} = {𝑍, (π‘Šβ€˜0)}))
11724, 116syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} = {𝑍, (π‘Šβ€˜0)}))
118117impcom 409 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} = {𝑍, (π‘Šβ€˜0)})
119118eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ ({(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
120119biimpcd 248 . . . . . . . 8 ({(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸 β†’ (((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
1211203ad2ant3 1136 . . . . . . 7 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ (((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁 ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
122121impl 457 . . . . . 6 (((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)
123105, 122jca 513 . . . . 5 (((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) ∧ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
124123ex 414 . . . 4 ((((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)β€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
1254, 124syl6bi 253 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
1261, 125mpcom 38 . 2 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
127126impcom 409 1 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆ…c0 4323  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  lastSclsw 14512   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307   ClWWalksN cclwwlkn 29277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  29629
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