Theorem clwwlkext2edg 28420

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkext2edg	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 28397	. . 3 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		clwwlkext2edg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		clwwlkext2edg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 28400	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
5		ige2m2fzo 13450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6	5	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9	8	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
10	9	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
12	7, 11	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
13		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
14		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
15	13, 14	preq12d 4677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
16	15	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
17	16	rspcv 3557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19		wrdlenccats1lenm1 14327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
20	19	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
22	21, 8	sylan9eq 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))
23	22	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
24	23	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
25		eluzelcn 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
26		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26, 26	subsub4d 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
28		1p1e2 12098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 + 1) = 2
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) = 2)
30	29	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
31	27, 30	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
32	31	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
33		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
34	33	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	32, 34	sylan9eq 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
36	35	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
37	24, 36	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
38	37	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
39	38	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
40		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		s1cl 14307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
42	41	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
44		eluz2 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
45		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
46		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
47		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 2 ∈ ℝ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
49		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
50		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 < 2
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
52		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
53	46, 48, 49, 51, 52	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
54		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
55		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
56	54, 55	posdifd 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
58	53, 57	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
59	58	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
60	45, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
62	61	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
63	44, 62	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
64	63	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
65		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
67	64, 66	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
68		hashneq0 14079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
71	67, 70	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
72	71	3adantl2 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
73	40, 43, 72	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
74	73	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
75	24, 74	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
76	75	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
77		ccatval1lsw 14289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
79	39, 78	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊))
80		2m1e1 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 − 1) = 1
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
82	81	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (2 − 1))
83	82	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
84		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
85	25, 84, 26	subsubd 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
86	83, 85	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
87	86	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
88		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
89	87, 88	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
90	24, 89	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
91	90	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))
92	91	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
93		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
94	93	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
96		ccatws1ls 14343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
98	92, 97	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
99	79, 98	preq12d 4677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍})
100	99	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
101	18, 100	sylibd 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
102	101	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
103	102	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
104	103	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105	104	imp31 418	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)
106	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
107		lswccats1 14344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
109	63	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
111	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
112	110, 111	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
113		ccatfv0 14288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
114	40, 43, 112, 113	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
115	108, 114	preq12d 4677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
116	115	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
117	24, 116	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
118	117	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
119	118	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
120	119	biimpcd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
121	120	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
122	121	impl 456	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
123	105, 122	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
124	123	ex 413	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
125	4, 124	syl6bi 252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
126	1, 125	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
127	126	impcom 408	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∅c0 4256  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417   ClWWalksN cclwwlkn 28388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  28740