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Theorem clwwlkext2edg 27306
Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkext2edg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlkext2edg (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknnn 27274 . . 3 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 clwwlkext2edg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 clwwlkext2edg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlknx 27277 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
5 ige2m2fzo 12739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
653ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
76adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
98oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
109eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
1110adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
127, 11mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
13 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
14 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
1513, 14preq12d 4431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
1615eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1716rspcv 3457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19 wrdlenccats1lenm1 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
2019eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
2221, 8sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))
2322ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
24233adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
25 eluzelcn 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
26 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26, 26subsub4d 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
28 1p1e2 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 + 1) = 2
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = 2)
3029oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
3127, 30eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
32313ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
33 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
3433eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
3532, 34sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3635ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3724, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
3837imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
3938fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
40 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 s1cl 13573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
42413ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
44 eluz2 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
45 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
46 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
47 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
49 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
50 1lt2 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 < 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
52 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
5346, 48, 49, 51, 52ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
54 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
5654, 55posdifd 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
5853, 57mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
5958ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6045, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
62613imp 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
6344, 62sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
6463ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
65 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6764, 66mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
68 hashneq0 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7167, 70mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
72713adantl2 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
7340, 43, 723jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
7473ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7524, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
7675imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
77 ccatval1lsw 13555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7939, 78eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊))
80 2m1e1 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 − 1) = 1
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) = 1)
8281eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (2 − 1))
8382oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
84 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
8525, 84, 26subsubd 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
8683, 85eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
87863ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
88 eqeq2 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
8987, 88syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9024, 89syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
9190imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))
9291fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
93 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
94933adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
96 ccatws1ls 13609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
9892, 97eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
9979, 98preq12d 4431 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍})
10099eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
10118, 100sylibd 230 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
102101ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
103102com13 88 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
1041033ad2ant2 1164 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105104imp31 408 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)
10694adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
107 lswccats1 13610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
109633ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
11165adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
112110, 111mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
113 ccatfv0 13554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
11440, 43, 112, 113syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
115108, 114preq12d 4431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
116115ex 401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
11724, 116syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
118117impcom 396 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
119118eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
120119biimpcd 240 . . . . . . . 8 ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
1211203ad2ant3 1165 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
122121impl 447 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
123105, 122jca 507 . . . . 5 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
124123ex 401 . . . 4 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1254, 124syl6bi 244 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1261, 125mpcom 38 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
127126impcom 396 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  c0 4079  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cuz 11886  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13486  lastSclsw 13533   ++ cconcat 13541  ⟨“cs1 13566  Vtxcvtx 26165  Edgcedg 26216   ClWWalksN cclwwlkn 27260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-lsw 13534  df-concat 13542  df-s1 13567  df-clwwlk 27209  df-clwwlkn 27262
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  27680  numclwwlk2lem1OLD  27691
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