Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | clwwlknnn 27970 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ) |
2 | | clwwlkext2edg.v |
. . . . 5
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) |
3 | | clwwlkext2edg.e |
. . . . 5
⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺) |
4 | 2, 3 | isclwwlknx 27973 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁))) |
5 | | ige2m2fzo 13191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))) |
6 | 5 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 − 2) ∈
(0..^(𝑁 −
1))) |
7 | 6 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))) |
8 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1) = (𝑁 − 1)) |
9 | 8 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)) =
(0..^(𝑁 −
1))) |
10 | 9 | eleq2d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))) |
11 | 10 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))) |
12 | 7, 11 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) −
1))) |
13 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2))) |
14 | | fvoveq1 7193 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))) |
15 | 13, 14 | preq12d 4632 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))}) |
16 | 15 | eleq1d 2817 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸)) |
17 | 16 | rspcv 3521 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 − 2) ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)) →
(∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸)) |
18 | 12, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸)) |
19 | | wrdlenccats1lenm1 14065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1) =
(♯‘𝑊)) |
20 | 19 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)) |
21 | 20 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)) |
22 | 21, 8 | sylan9eq 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) |
23 | 22 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))) |
24 | 23 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))) |
25 | | eluzelcn 12336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ) |
26 | | 1cnd 10714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ) |
27 | 25, 26, 26 | subsub4d 11106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1))) |
28 | | 1p1e2 11841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (1 + 1) =
2 |
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (1 + 1) = 2) |
30 | 29 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)) |
31 | 27, 30 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1)) |
32 | 31 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 − 2) =
((𝑁 − 1) −
1)) |
33 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
((♯‘𝑊) −
1) = ((𝑁 − 1) −
1)) |
34 | 33 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
((𝑁 − 1) − 1) =
((♯‘𝑊) −
1)) |
35 | 32, 34 | sylan9eq 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) →
(𝑁 − 2) =
((♯‘𝑊) −
1)) |
36 | 35 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) =
((♯‘𝑊) −
1))) |
37 | 24, 36 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))) |
38 | 37 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)) |
39 | 38 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((♯‘𝑊) − 1))) |
40 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) |
41 | | s1cl 14045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉) |
42 | 41 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉) |
43 | 42 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) →
〈“𝑍”〉
∈ Word 𝑉) |
44 | | eluz2 12330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤
𝑁)) |
45 | | zre 12066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
46 | | 1red 10720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 1 ∈
ℝ) |
47 | | 2re 11790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ 2 ∈
ℝ |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 2 ∈
ℝ) |
49 | | simpl 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ) |
50 | | 1lt2 11887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ 1 <
2 |
51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 1 <
2) |
52 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 2 ≤ 𝑁) |
53 | 46, 48, 49, 51, 52 | ltletrd 10878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 1 < 𝑁) |
54 | | 1red 10720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈
ℝ) |
55 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈
ℝ) |
56 | 54, 55 | posdifd 11305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 <
𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1))) |
57 | 56 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1))) |
58 | 53, 57 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 0 < (𝑁 − 1)) |
59 | 58 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤
𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))) |
60 | 45, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤
𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))) |
61 | 60 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (2 ∈
ℤ → (𝑁 ∈
ℤ → (2 ≤ 𝑁
→ 0 < (𝑁 −
1)))) |
62 | 61 | 3imp 1112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑁
∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1)) |
63 | 44, 62 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 − 1)) |
64 | 63 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → 0
< (𝑁 −
1)) |
65 | | breq2 5034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) → (0
< (♯‘𝑊)
↔ 0 < (𝑁 −
1))) |
66 | 65 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → (0
< (♯‘𝑊)
↔ 0 < (𝑁 −
1))) |
67 | 64, 66 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → 0
< (♯‘𝑊)) |
68 | | hashneq0 13817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅)) |
69 | 68 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅)) |
70 | 69 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → (0
< (♯‘𝑊)
↔ 𝑊 ≠
∅)) |
71 | 67, 70 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅) |
72 | 71 | 3adantl2 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅) |
73 | 40, 43, 72 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) →
(𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)) |
74 | 73 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))) |
75 | 24, 74 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))) |
76 | 75 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)) |
77 | | ccatval1lsw 14027 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((♯‘𝑊) − 1)) =
(lastS‘𝑊)) |
78 | 76, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((♯‘𝑊) − 1)) =
(lastS‘𝑊)) |
79 | 39, 78 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊)) |
80 | | 2m1e1 11842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (2
− 1) = 1 |
81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1) |
82 | 81 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 = (2 − 1)) |
83 | 82 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))) |
84 | | 2cnd 11794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ) |
85 | 25, 84, 26 | subsubd 11103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) +
1)) |
86 | 83, 85 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)) |
87 | 86 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((𝑁 − 2) + 1)
= (𝑁 −
1)) |
88 | | eqeq2 2750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
(((𝑁 − 2) + 1) =
(♯‘𝑊) ↔
((𝑁 − 2) + 1) =
(𝑁 −
1))) |
89 | 87, 88 | syl5ibrcom 250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
((𝑁 − 2) + 1) =
(♯‘𝑊))) |
90 | 24, 89 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))) |
91 | 90 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)) |
92 | 91 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(♯‘𝑊))) |
93 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
94 | 93 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
95 | 94 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
96 | | ccatws1ls 14081 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍) |
97 | 95, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍) |
98 | 92, 97 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍) |
99 | 79, 98 | preq12d 4632 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍}) |
100 | 99 | eleq1d 2817 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) |
101 | 18, 100 | sylibd 242 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) |
102 | 101 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))) |
103 | 102 | com13 88 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ {(lastS‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸))) |
104 | 103 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ {(lastS‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸))) |
105 | 104 | imp31 421 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {(lastS‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸) |
106 | 94 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) →
(𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
107 | | lswccats1 14082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑍) |
108 | 106, 107 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) →
(lastS‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑍) |
109 | 63 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 0 < (𝑁 −
1)) |
110 | 109 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → 0
< (𝑁 −
1)) |
111 | 65 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → (0
< (♯‘𝑊)
↔ 0 < (𝑁 −
1))) |
112 | 110, 111 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) → 0
< (♯‘𝑊)) |
113 | | ccatfv0 14026 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
114 | 40, 43, 112, 113 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) →
((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
115 | 108, 114 | preq12d 4632 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1)) →
{(lastS‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}) |
116 | 115 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
{(lastS‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})) |
117 | 24, 116 | syld 47 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})) |
118 | 117 | impcom 411 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {(lastS‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}) |
119 | 118 | eleq1d 2817 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((♯‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ ({(lastS‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
120 | 119 | biimpcd 252 |
. . . . . . . 8
⊢
({(lastS‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
121 | 120 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
122 | 121 | impl 459 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) |
123 | 105, 122 | jca 515 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ ({(lastS‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
124 | 123 | ex 416 |
. . . 4
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ({(lastS‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) |
125 | 4, 124 | syl6bi 256 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ({(lastS‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))) |
126 | 1, 125 | mpcom 38 |
. 2
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ({(lastS‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) |
127 | 126 | impcom 411 |
1
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |