MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdfv2 14001
Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdfv2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem swrdfv2
StepHypRef Expression
1 simp1 1132 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2 simpl 485 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3 eluznn0 12294 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4 eluzle 12233 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐹𝐿)
54adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹𝐿)
62, 3, 53jca 1124 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
763ad2ant2 1130 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
8 elfz2nn0 12980 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
97, 8sylibr 236 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
103anim1i 616 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
11103adant1 1126 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
12 lencl 13863 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13123ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
14 fznn0 12981 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1611, 15mpbird 259 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
171, 9, 163jca 1124 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
1817adantr 483 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
19 nn0cn 11884 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℂ)
20 eluzelcn 12232 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℂ)
21 pncan3 10870 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2322eqcomd 2826 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
24233ad2ant2 1130 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
2524oveq2d 7147 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹..^𝐿) = (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
2625eleq2d 2896 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹)))))
2726biimpa 479 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
28 eluzelz 12230 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℤ)
2928adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 nn0z 11982 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℤ)
3130adantr 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℤ)
3229, 31zsubcld 12069 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
33323ad2ant2 1130 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
3433adantr 483 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
35 fzosubel3 13080 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))) ∧ (𝐿𝐹) ∈ ℤ) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
3627, 34, 35syl2anc 586 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
37 swrdfv 13988 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
3818, 36, 37syl2anc 586 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
39 elfzoelz 13020 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℤ)
4039zcnd 12065 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℂ)
4119adantr 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℂ)
42413ad2ant2 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 npcan 10871 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4440, 42, 43syl2anr 598 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4544fveq2d 6648 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)) = (𝑆𝑋))
4638, 45eqtrd 2855 1 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  cop 4547   class class class wbr 5040  cfv 6329  (class class class)co 7131  cc 10511  0cc0 10513   + caddc 10516  cle 10652  cmin 10846  0cn0 11874  cz 11958  cuz 12220  ...cfz 12874  ..^cfzo 13015  chash 13673  Word cword 13844   substr csubstr 13980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-hash 13674  df-word 13845  df-substr 13981
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  14005
  Copyright terms: Public domain W3C validator