Theorem swrdfv2 14014

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3		eluznn0 12305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐹 ≤ 𝐿)
5	4	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ≤ 𝐿)
6	2, 3, 5	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
7	6	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
8		elfz2nn0 12993	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
10	3	anim1i 617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
11	10	3adant1 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
12		lencl 13876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13	12	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
14		fznn0 12994	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
16	11, 15	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
17	1, 9, 16	3jca 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
19		nn0cn 11895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℂ)
20		eluzelcn 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐿 ∈ ℂ)
21		pncan3 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)) = 𝐿)
22	19, 20, 21	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)) = 𝐿)
23	22	eqcomd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))
24	23	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))
25	24	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹..^𝐿) = (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))))
26	25	eleq2d 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))))
27	26	biimpa 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))))
28		eluzelz 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐿 ∈ ℤ)
29	28	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30		nn0z 11993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℤ)
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℤ)
32	29, 31	zsubcld 12080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
33	32	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
34	33	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
35		fzosubel3 13093	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))) ∧ (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
36	27, 34, 35	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
37		swrdfv 14001	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)))
38	18, 36, 37	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)))
39		elfzoelz 13033	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12076	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℂ)
42	41	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43		npcan 10884	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
44	40, 42, 43	syl2anr 599	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑋 − 𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
45	44	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))
46	38, 45	eqtrd 2833	1 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857   substr csubstr 13993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-substr 13994

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  14018