MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdfv2 13696
Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdfv2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem swrdfv2
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2 simpl 475 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3 eluznn0 11998 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4 eluzle 11939 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐹𝐿)
54adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹𝐿)
62, 3, 53jca 1159 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
763ad2ant2 1165 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
8 elfz2nn0 12681 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
97, 8sylibr 226 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
103anim1i 609 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
11103adant1 1161 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
12 lencl 13549 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13123ad2ant1 1164 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
14 fznn0 12682 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1611, 15mpbird 249 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
171, 9, 163jca 1159 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
1817adantr 473 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
19 nn0cn 11587 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℂ)
20 eluzelcn 11938 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℂ)
21 pncan3 10578 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2219, 20, 21syl2an 590 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2322eqcomd 2803 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
24233ad2ant2 1165 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
2524oveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹..^𝐿) = (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
2625eleq2d 2862 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹)))))
2726biimpa 469 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
28 eluzelz 11936 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℤ)
2928adantl 474 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 nn0z 11686 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℤ)
3130adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℤ)
3229, 31zsubcld 11773 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
33323ad2ant2 1165 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
3433adantr 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
35 fzosubel3 12780 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))) ∧ (𝐿𝐹) ∈ ℤ) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
3627, 34, 35syl2anc 580 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
37 swrdfv 13671 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
3818, 36, 37syl2anc 580 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
39 elfzoelz 12721 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℤ)
4039zcnd 11769 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℂ)
4119adantr 473 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℂ)
42413ad2ant2 1165 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 npcan 10580 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4440, 42, 43syl2anr 591 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4544fveq2d 6413 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)) = (𝑆𝑋))
4638, 45eqtrd 2831 1 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cop 4372   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  cc 10220  0cc0 10222   + caddc 10225  cle 10362  cmin 10554  0cn0 11576  cz 11662  cuz 11926  ...cfz 12576  ..^cfzo 12716  chash 13366  Word cword 13530   substr csubstr 13661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-hash 13367  df-word 13531  df-substr 13662
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  13700
  Copyright terms: Public domain W3C validator