MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdfv2 14374
Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdfv2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem swrdfv2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3 eluznn0 12657 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4 eluzle 12595 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐹𝐿)
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹𝐿)
62, 3, 53jca 1127 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
763ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
8 elfz2nn0 13347 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
97, 8sylibr 233 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
103anim1i 615 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
11103adant1 1129 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
12 lencl 14236 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13123ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
14 fznn0 13348 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1611, 15mpbird 256 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
171, 9, 163jca 1127 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
1817adantr 481 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
19 nn0cn 12243 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℂ)
20 eluzelcn 12594 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℂ)
21 pncan3 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2322eqcomd 2744 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
24233ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
2524oveq2d 7291 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹..^𝐿) = (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
2625eleq2d 2824 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹)))))
2726biimpa 477 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
28 eluzelz 12592 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℤ)
2928adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 nn0z 12343 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℤ)
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℤ)
3229, 31zsubcld 12431 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
33323ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
3433adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
35 fzosubel3 13448 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))) ∧ (𝐿𝐹) ∈ ℤ) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
3627, 34, 35syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
37 swrdfv 14361 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
3818, 36, 37syl2anc 584 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
39 elfzoelz 13387 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℤ)
4039zcnd 12427 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℂ)
4119adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℂ)
42413ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 npcan 11230 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4440, 42, 43syl2anr 597 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4544fveq2d 6778 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)) = (𝑆𝑋))
4638, 45eqtrd 2778 1 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cop 4567   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874  cle 11010  cmin 11205  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217   substr csubstr 14353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-substr 14354
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  14378
  Copyright terms: Public domain W3C validator