MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdfv2 14611
Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdfv2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem swrdfv2
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3 eluznn0 12901 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4 eluzle 12835 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐹𝐿)
54adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹𝐿)
62, 3, 53jca 1129 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
8 elfz2nn0 13592 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
97, 8sylibr 233 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
103anim1i 616 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
11103adant1 1131 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
12 lencl 14483 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13123ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
14 fznn0 13593 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
1611, 15mpbird 257 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
171, 9, 163jca 1129 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
1817adantr 482 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
19 nn0cn 12482 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℂ)
20 eluzelcn 12834 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℂ)
21 pncan3 11468 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐹 + (𝐿𝐹)) = 𝐿)
2322eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
24233ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿𝐹)))
2524oveq2d 7425 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹..^𝐿) = (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
2625eleq2d 2820 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹)))))
2726biimpa 478 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))))
28 eluzelz 12832 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ𝐹) → 𝐿 ∈ ℤ)
2928adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 nn0z 12583 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℤ)
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℤ)
3229, 31zsubcld 12671 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
33323ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
3433adantr 482 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝐿𝐹) ∈ ℤ)
35 fzosubel3 13693 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿𝐹))) ∧ (𝐿𝐹) ∈ ℤ) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
3627, 34, 35syl2anc 585 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
37 swrdfv 14598 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ (𝑋𝐹) ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
3818, 36, 37syl2anc 585 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)))
39 elfzoelz 13632 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℤ)
4039zcnd 12667 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℂ)
4119adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) → 𝐹 ∈ ℂ)
42413ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 npcan 11469 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4440, 42, 43syl2anr 598 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑋𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
4544fveq2d 6896 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆‘((𝑋𝐹) + 𝐹)) = (𝑆𝑋))
4638, 45eqtrd 2773 1 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋𝐹)) = (𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4635   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113  cle 11249  cmin 11444  0cn0 12472  cz 12558  cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  chash 14290  Word cword 14464   substr csubstr 14590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-substr 14591
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  14615
  Copyright terms: Public domain W3C validator