Theorem swrdfv2 14677

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3		eluznn0 12920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐹 ≤ 𝐿)
5	4	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ≤ 𝐿)
6	2, 3, 5	3jca 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
7	6	3ad2ant2 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
8		elfz2nn0 13625	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
9	7, 8	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
10	3	anim1i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
11	10	3adant1 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
12		lencl 14548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13	12	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
14		fznn0 13626	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
16	11, 15	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
17	1, 9, 16	3jca 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
19		nn0cn 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℂ)
20		eluzelcn 12853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐿 ∈ ℂ)
21		pncan3 11440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)) = 𝐿)
22	19, 20, 21	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)) = 𝐿)
23	22	eqcomd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))
24	23	3ad2ant2 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))
25	24	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹..^𝐿) = (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))))
26	25	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))))
27	26	biimpa 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))))
28		eluzelz 12851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐿 ∈ ℤ)
29	28	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30		nn0z 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℤ)
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℤ)
32	29, 31	zsubcld 12684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
33	32	3ad2ant2 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
34	33	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
35		fzosubel3 13734	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))) ∧ (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
36	27, 34, 35	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
37		swrdfv 14664	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)))
38	18, 36, 37	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)))
39		elfzoelz 13666	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12680	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℂ)
42	41	3ad2ant2 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43		npcan 11441	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
44	40, 42, 43	syl2anr 606	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑋 − 𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
45	44	fveq2d 6873	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))
46	38, 45	eqtrd 2799	1 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   ≤ cle 11219   − cmin 11416  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528   substr csubstr 14656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-substr 14657

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  14681