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Theorem numclwwlk1lem2fo 28243
 Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk1lem2fo ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋   𝑢,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2fo
Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑝 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3 extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4 numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4numclwwlk1lem2f 28240 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6 elxp 5548 . . . . 5 (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
71, 2, 3numclwwlk1lem2foa 28239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
98adantl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
109imp 411 . . . . . . . 8 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11 simpl 487 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12 fveq2 6659 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
1312eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
141, 2, 3, 4numclwwlk1lem2fv 28241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1514adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1615eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
1713, 16sylan9bbr 515 . . . . . . . . 9 (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18 simprll 779 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
191nbgrisvtx 27231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏𝑉)
203eleq2i 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝐹𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
21 uz3m2nn 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2221nnne0d 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
23223ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
24 eqid 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
251, 24clwwlknonel 27980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
2720, 26syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎𝐹 ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
28 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
2927, 28bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎𝐹 ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
30 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
31 s1cl 14004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3231adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3332adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3433adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
35 s1cl 14004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
3635adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
37 ccatass 13990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3837oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
3930, 34, 36, 38syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
40 ccatcl 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
4133, 35, 40syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
42 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
4342eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
4443adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
4544adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
46 pfxccatid 14151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
4730, 41, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
4839, 47eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)))
49 1e2m1 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 = (2 − 1)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 = (2 − 1))
5150oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
52 eluzelcn 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
53 2cnd 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
54 1cnd 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
5552, 53, 54subsubd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
5651, 55eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
5756adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
5857adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
5958adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
6059fveq2d 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
61 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
62 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
6362anim1i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑋𝑉𝑏𝑉))
64 ccatw2s1p2 14045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑏𝑉)) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
6561, 63, 64syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
6660, 65eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
6748, 66opeq12d 4772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
6867exp31 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
69683ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7069adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7170com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
72713adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7329, 72sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎𝐹 → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7473com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → (𝑎𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7519, 74syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7675com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝐹 → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7776imp 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
7877adantl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
7978imp 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
8079adantl 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
8118, 80eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
8211, 17, 81rspcedvd 3545 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
8310, 82mpancom 688 . . . . . . 7 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
8483ex 417 . . . . . 6 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
8584exlimivv 1934 . . . . 5 (∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
866, 85sylbi 220 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
8786impcom 412 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
8887ralrimiva 3114 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
89 dffo3 6860 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
905, 88, 89sylanbrc 587 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  {crab 3075  {cpr 4525  ⟨cop 4529   ↦ cmpt 5113   × cxp 5523  ⟶wf 6332  –onto→wfo 6334  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∈ cmpo 7153  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579   − cmin 10909  2c2 11730  3c3 11731  ℤ≥cuz 12283  ..^cfzo 13083  ♯chash 13741  Word cword 13914  lastSclsw 13962   ++ cconcat 13970  ⟨“cs1 13997   prefix cpfx 14080  Vtxcvtx 26889  Edgcedg 26940  USGraphcusgr 27042   NeighbVtx cnbgr 27222  ClWWalksNOncclwwlknon 27972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-dju 9364  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-xnn0 12008  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-hash 13742  df-word 13915  df-lsw 13963  df-concat 13971  df-s1 13998  df-substr 14051  df-pfx 14081  df-edg 26941  df-upgr 26975  df-umgr 26976  df-usgr 27044  df-nbgr 27223  df-wwlks 27716  df-wwlksn 27717  df-clwwlk 27867  df-clwwlkn 27910  df-clwwlknon 27973 This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1o  28244
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