Theorem numclwwlk1lem2fo 30403

Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2fo	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋   𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2fo

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑝 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2f 30400	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6		elxp 5716	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
7	1, 2, 3	numclwwlk1lem2foa 30399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
10	9	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12		fveq2 6914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
13	12	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
14	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 30401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
16	15	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
17	13, 16	sylan9bbr 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18		simprll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	1	nbgrisvtx 29384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑉)
20	3	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ 𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
21		uz3m2nn 12940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
23	22	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	1, 24	clwwlknonel 30140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
27	20, 26	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
28		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
29	27, 28	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
30		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
31		s1cl 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
35		s1cl 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
37		ccatass 14632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
38	37	oveq1d 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
39	30, 34, 36, 38	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
40		ccatcl 14618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
41	33, 35, 40	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
42		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
43	42	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
46		pfxccatid 14785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
47	30, 41, 45, 46	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
48	39, 47	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)))
49		1e2m1 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 1 = (2 − 1)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 = (2 − 1))
51	50	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
52		eluzelcn 12897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		2cnd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
54		1cnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 54	subsubd 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
56	51, 55	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
60	59	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
61		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
62		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
63	62	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
64		ccatw2s1p2 14681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
65	61, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
66	60, 65	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
67	48, 66	opeq12d 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
68	67	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
69	68	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
71	70	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
72	71	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
73	29, 72	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
74	73	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
75	19, 74	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎 ∈ 𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
76	75	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐹 → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
77	76	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
79	78	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
81	18, 80	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
82	11, 17, 81	rspcedvd 3627	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
83	10, 82	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
84	83	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
85	84	exlimivv 1932	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
86	6, 85	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
87	86	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
88	87	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
89		dffo3 7129	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
90	5, 88, 89	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  {cpr 4636  ⟨cop 4640   ↦ cmpt 5234   × cxp 5691  ⟶wf 6565  –onto→wfo 6567  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ∈ cmpo 7440  0cc0 11162  1c1 11163   + caddc 11165   − cmin 11499  2c2 12328  3c3 12329  ℤ_≥cuz 12885  ..^cfzo 13700  ♯chash 14375  Word cword 14558  lastSclsw 14606   ++ cconcat 14614  ⟨“cs1 14639   prefix cpfx 14714  Vtxcvtx 29039  Edgcedg 29090  USGraphcusgr 29192   NeighbVtx cnbgr 29375  ClWWalksNOncclwwlknon 30132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-dju 9948  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-uz 12886  df-rp 13042  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-hash 14376  df-word 14559  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14640  df-substr 14685  df-pfx 14715  df-edg 29091  df-upgr 29125  df-umgr 29126  df-usgr 29194  df-nbgr 29376  df-wwlks 29876  df-wwlksn 29877  df-clwwlk 30027  df-clwwlkn 30070  df-clwwlknon 30133

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1o  30404