Theorem numclwwlk1lem2fo 28722

Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2fo	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋   𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2fo

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑝 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2f 28719	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6		elxp 5612	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
7	1, 2, 3	numclwwlk1lem2foa 28718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
10	9	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
13	12	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
14	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 28720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
16	15	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
17	13, 16	sylan9bbr 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18		simprll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	1	nbgrisvtx 27708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑉)
20	3	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ 𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
21		uz3m2nn 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
23	22	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	1, 24	clwwlknonel 28459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
27	20, 26	syl5bb 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
28		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
29	27, 28	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
30		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
31		s1cl 14307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
35		s1cl 14307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
37		ccatass 14293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
38	37	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
39	30, 34, 36, 38	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
40		ccatcl 14277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
41	33, 35, 40	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
42		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
43	42	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
46		pfxccatid 14454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
47	30, 41, 45, 46	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
48	39, 47	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)))
49		1e2m1 12100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 1 = (2 − 1)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 = (2 − 1))
51	50	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
52		eluzelcn 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
54		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 54	subsubd 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
56	51, 55	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
60	59	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
61		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
62		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
63	62	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
64		ccatw2s1p2 14348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
65	61, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
66	60, 65	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
67	48, 66	opeq12d 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
68	67	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
69	68	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
71	70	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
72	71	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
73	29, 72	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
74	73	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
75	19, 74	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎 ∈ 𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
76	75	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐹 → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
77	76	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
79	78	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
81	18, 80	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
82	11, 17, 81	rspcedvd 3563	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
83	10, 82	mpancom 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
84	83	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
85	84	exlimivv 1935	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
86	6, 85	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
87	86	impcom 408	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
88	87	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
89		dffo3 6978	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
90	5, 88, 89	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  {cpr 4563  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  2c2 12028  3c3 12029  ℤ_≥cuz 12582  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300   prefix cpfx 14383  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  USGraphcusgr 27519   NeighbVtx cnbgr 27699  ClWWalksNOncclwwlknon 28451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-edg 27418  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-usgr 27521  df-nbgr 27700  df-wwlks 28195  df-wwlksn 28196  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389  df-clwwlknon 28452

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1o  28723