Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expnegico01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnegico01 49182
Description: An integer greater than 1 to the power of a negative integer is in the closed-below, open-above interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
expnegico01 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem expnegico01
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12872 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 485 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 eluz2nn 12911 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
43nnne0d 12285 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
54adantr 485 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
6 simpr 489 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
72, 5, 63jca 1144 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
873adant3 1148 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9 reexpclz 14117 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
108, 9syl 18 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
11 0red 11210 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
1213ad2ant1 1149 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
1343ad2ant1 1149 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
14 simp2 1153 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1512, 13, 14reexpclzd 14284 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
163nngt0d 12284 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐵)
17163ad2ant1 1149 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 𝐵)
18 expgt0 14130 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑁))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1396 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < (𝐵𝑁))
2011, 15, 19ltled 11357 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ≤ (𝐵𝑁))
21 0zd 12602 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℤ)
22 eluz2gt1 12943 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
23223ad2ant1 1149 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 < 𝐵)
24 simp3 1154 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
25 ltexp2a 14201 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐵𝑁 < 0)) → (𝐵𝑁) < (𝐵↑0))
2612, 14, 21, 23, 24, 25syl32anc 1403 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) < (𝐵↑0))
27 eluzelcn 12873 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2827exp0d 14175 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵↑0) = 1)
2928eqcomd 2775 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (𝐵↑0))
30293ad2ant1 1149 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 = (𝐵↑0))
3126, 30breqtrrd 5143 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) < 1)
32 0re 11209 . . . 4 0 ∈ ℝ
33 1xr 11267 . . . 4 1 ∈ ℝ*
3432, 33pm3.2i 475 . . 3 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
35 elico2 13436 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁) ∧ (𝐵𝑁) < 1)))
3634, 35mp1i 14 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁) ∧ (𝐵𝑁) < 1)))
3710, 20, 31, 36mpbir3and 1359 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 400  w3a 1101   = wceq 1567  wcel 2149  wne 2964   class class class wbr 5113  cfv 6537  (class class class)co 7411  cr 11098  0cc0 11099  1c1 11100  *cxr 11241   < clt 11242  cle 11243  2c2 12294  cz 12590  cuz 12861  [,)cico 13373  cexp 14096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-seq 14037  df-exp 14097
This theorem is referenced by:  digexp  49271
  Copyright terms: Public domain W3C validator