Theorem expnegico01 47499

Description: An integer greater than 1 to the power of a negative integer is in the closed-below, open-above interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expnegico01	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem expnegico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12849	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		eluz2nn 12884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnne0d 12278	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	2, 5, 6	3jca 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		reexpclz 14065	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
11		0red 11233	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12	1	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	4	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
14		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	reexpclzd 14229	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
16	3	nngt0d 12277	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 𝐵)
18		expgt0 14078	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑁))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < (𝐵↑𝑁))
20	11, 15, 19	ltled 11378	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
21		0zd 12586	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℤ)
22		eluz2gt1 12920	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
23	22	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 < 𝐵)
24		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
25		ltexp2a 14148	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐵 ∧ 𝑁 < 0)) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
26	12, 14, 21, 23, 24, 25	syl32anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
27		eluzelcn 12850	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	27	exp0d 14122	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
29	28	eqcomd 2733	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
30	29	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 = (𝐵↑0))
31	26, 30	breqtrrd 5170	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < 1)
32		0re 11232	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
33		1xr 11289	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34	32, 33	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
35		elico2 13406	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
36	34, 35	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
37	10, 20, 31, 36	mpbir3and 1340	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125  ℝ^*cxr 11263   < clt 11264   ≤ cle 11265  2c2 12283  ℤcz 12574  ℤ_≥cuz 12838  [,)cico 13344  ↑cexp 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-seq 13985  df-exp 14045

This theorem is referenced by:  digexp  47593