Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expnegico01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnegico01 43156
Description: An integer greater than 1 to the power of a negative integer is in the closed-below, open-above interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
expnegico01 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem expnegico01
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11980 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 474 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 eluz2nn 12009 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
43nnne0d 11402 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
54adantr 474 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
6 simpr 479 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
72, 5, 63jca 1164 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
873adant3 1168 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9 reexpclz 13175 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
11 0red 10361 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
1213ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
1343ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
14 simp2 1173 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1512, 13, 14reexpclzd 13331 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
163nngt0d 11401 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐵)
17163ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 𝐵)
18 expgt0 13188 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑁))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1496 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < (𝐵𝑁))
2011, 15, 19ltled 10505 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ≤ (𝐵𝑁))
21 0zd 11717 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℤ)
22 eluz2gt1 12044 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
23223ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 < 𝐵)
24 simp3 1174 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
25 ltexp2a 13207 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐵𝑁 < 0)) → (𝐵𝑁) < (𝐵↑0))
2612, 14, 21, 23, 24, 25syl32anc 1503 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) < (𝐵↑0))
27 eluzelcn 11981 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2827exp0d 13297 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵↑0) = 1)
2928eqcomd 2832 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (𝐵↑0))
30293ad2ant1 1169 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 = (𝐵↑0))
3126, 30breqtrrd 4902 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) < 1)
32 0re 10359 . . . 4 0 ∈ ℝ
33 1xr 10417 . . . 4 1 ∈ ℝ*
3432, 33pm3.2i 464 . . 3 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
35 elico2 12526 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁) ∧ (𝐵𝑁) < 1)))
3634, 35mp1i 13 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁) ∧ (𝐵𝑁) < 1)))
3710, 20, 31, 36mpbir3and 1448 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252  0cc0 10253  1c1 10254  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  2c2 11407  cz 11705  cuz 11969  [,)cico 12466  cexp 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ico 12470  df-seq 13097  df-exp 13156
This theorem is referenced by:  digexp  43249
  Copyright terms: Public domain W3C validator