Theorem expnegico01 49006

Description: An integer greater than 1 to the power of a negative integer is in the closed-below, open-above interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expnegico01	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem expnegico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12790	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		eluz2nn 12829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnne0d 12218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	2, 5, 6	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		reexpclz 14035	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
11		0red 11138	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	4	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
14		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	reexpclzd 14202	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
16	3	nngt0d 12217	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 𝐵)
18		expgt0 14048	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑁))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < (𝐵↑𝑁))
20	11, 15, 19	ltled 11285	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
21		0zd 12527	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℤ)
22		eluz2gt1 12861	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
23	22	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 < 𝐵)
24		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
25		ltexp2a 14119	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐵 ∧ 𝑁 < 0)) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
26	12, 14, 21, 23, 24, 25	syl32anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
27		eluzelcn 12791	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	27	exp0d 14093	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
29	28	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
30	29	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 = (𝐵↑0))
31	26, 30	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < 1)
32		0re 11137	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
33		1xr 11195	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34	32, 33	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
35		elico2 13354	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
36	34, 35	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
37	10, 20, 31, 36	mpbir3and 1344	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  [,)cico 13291  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  digexp  49095