Theorem m1expe 16282

Description: Exponentiation of -1 by an even power. Variant of m1expeven 14013. (Contributed by AV, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expe	⊢ (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expe

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		even2n 16250	. 2 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
2		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑛) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑛)))
3	2	eqcoms 2739	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑛)))
4		m1expeven 14013	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
5	3, 4	sylan9eqr 2788	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
6	5	rexlimiva 3125	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
7	1, 6	sylbi 217	1 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  1c1 11004   · cmul 11008  -cneg 11342  2c2 12177  ℤcz 12465  ↑cexp 13965   ∥ cdvds 16160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-seq 13906  df-exp 13966  df-dvds 16161

This theorem is referenced by:  oddpwp1fsum  16300