Theorem zmulcld 12706

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12643	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   · cmul 11105  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13862  flhalf  13863  quoremz  13888  intfracq  13892  zmodcl  13924  modmul1  13960  sqoddm1div8  14279  eirrlem  16260  modmulconst  16346  dvds2ln  16347  dvdsexp2im  16385  dvdsmod  16387  3dvds  16389  even2n  16400  mod2eq1n2dvds  16405  2tp1odd  16410  ltoddhalfle  16419  m1expo  16433  m1exp1  16434  modremain  16466  flodddiv4  16473  bits0e  16487  bits0o  16488  bitsp1e  16490  bitsp1o  16491  bitsmod  16494  bitscmp  16496  bitsinv1lem  16499  bitsuz  16532  bitsshft  16533  smumullem  16550  smumul  16551  gcdmultipled  16592  bezoutlem3  16599  bezoutlem4  16600  mulgcd  16606  dvdsmulgcd  16614  bezoutr  16626  lcmgcdlem  16664  mulgcddvds  16713  rpmulgcd2  16714  coprmprod  16719  divgcdcoprm0  16723  cncongr1  16725  cncongr2  16726  exprmfct  16763  prmdvdsbc  16785  hashdvds  16834  eulerthlem1  16840  eulerthlem2  16841  prmdiv  16844  prmdiveq  16845  pcpremul  16903  pcqmul  16913  pcaddlem  16948  prmpwdvds  16964  4sqlem5  17002  4sqlem10  17007  4sqlem14  17018  mulgass  19177  mulgmodid  19179  odmod  19616  odmulgid  19624  odbezout  19628  gexdvds  19654  odadd1  19918  odadd2  19919  torsubg  19924  ablfacrp  20138  pgpfac1lem2  20147  pgpfac1lem3a  20148  pgpfac1lem3  20149  ablsimpgfindlem1  20179  pzriprnglem6  21605  pzriprnglem8  21607  pzriprnglem12  21611  znunit  21682  znrrg  21684  dyaddisjlem  25723  elqaalem3  26451  aalioulem1  26462  aaliou3lem2  26473  aaliou3lem8  26475  mpodvdsmulf1o  27324  dvdsmulf1o  27326  lgsdirprm  27461  lgsdir  27462  lgsdilem2  27463  lgsdi  27464  gausslemma2dlem1a  27495  gausslemma2dlem5a  27500  gausslemma2dlem5  27501  gausslemma2dlem6  27502  gausslemma2dlem7  27503  gausslemma2d  27504  lgseisenlem1  27505  lgseisenlem2  27506  lgseisenlem3  27507  lgseisenlem4  27508  lgsquadlem1  27510  lgsquad2lem1  27514  lgsquad3  27517  2lgslem1a1  27519  2lgslem1a2  27520  2lgslem1b  27522  2lgslem3b1  27531  2lgslem3c1  27532  2lgsoddprmlem2  27539  2sqlem3  27550  2sqlem4  27551  2sqblem  27561  2sqmod  27566  ex-ind-dvds  30753  elrgspnlem2  33504  zringfrac  33789  cos9thpiminplylem2  34118  qqhghm  34323  qqhrhm  34324  breprexplemc  34964  circlemeth  34972  knoppndvlem2  36991  lcmineqlem6  42691  lcmineqlem14  42699  lcmineqlem18  42703  lcmineqlem21  42706  lcmineqlem22  42707  aks4d1p8d2  42742  aks4d1p8  42744  aks4d1p9  42745  primrootscoprmpow  42756  posbezout  42757  primrootscoprbij  42759  primrootspoweq0  42763  aks6d1c3  42780  aks6d1c4  42781  2np3bcnp1  42801  aks6d1c6lem3  42829  aks6d1c6lem4  42830  aks6d1c6lem5  42834  pellexlem5  43452  pellexlem6  43453  pell1234qrmulcl  43474  congmul  43586  jm2.18  43607  jm2.19lem1  43608  jm2.19lem2  43609  jm2.19lem3  43610  jm2.19lem4  43611  jm2.22  43614  jm2.23  43615  jm2.20nn  43616  jm2.25  43618  jm2.15nn0  43622  jm2.16nn0  43623  jm2.27c  43626  jm3.1lem3  43638  jm3.1  43639  expdiophlem1  43640  inductionexd  44773  sumnnodd  46238  wallispilem4  46674  stirlinglem3  46682  stirlinglem7  46686  stirlinglem10  46689  stirlinglem11  46690  dirkertrigeqlem1  46704  dirkertrigeqlem3  46706  dirkertrigeq  46707  dirkercncflem2  46710  fourierswlem  46836  fouriersw  46837  etransclem3  46843  etransclem7  46847  etransclem10  46850  etransclem25  46865  etransclem26  46866  etransclem27  46867  etransclem28  46868  etransclem35  46875  etransclem37  46877  etransclem44  46884  etransclem45  46885  minusmodnep2tmod  47985  modmkpkne  47993  modmknepk  47994  fmtnoprmfac2lem1  48207  fmtno4prmfac  48213  2pwp1prm  48230  mod42tp1mod8  48243  lighneallem4b  48250  lighneallem4  48251  nprmdvdsfacm1lem4  48264  ppivalnnprm  48266  m2even  48308  fppr2odd  48385  gpg3kgrtriexlem3  48739  gpg3kgrtriexlem6  48742  2zlidl  48894  dignn0fr  49266  dignn0flhalflem1  49280