Theorem zmulcld 12849

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451   · cmul 11244  ℤcz 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734

This theorem is used by:  2tnp1ge0ge0  14009  flhalf  14010  quoremz  14035  intfracq  14039  zmodcl  14071  modmul1  14107  sqoddm1div8  14428  eirrlem  16416  modmulconst  16502  dvds2ln  16503  dvdsexp2im  16541  dvdsmod  16543  3dvds  16545  even2n  16556  mod2eq1n2dvds  16561  2tp1odd  16566  ltoddhalfle  16575  m1expo  16589  m1exp1  16590  modremain  16622  flodddiv4  16629  bits0e  16643  bits0o  16644  bitsp1e  16646  bitsp1o  16647  bitsmod  16650  bitscmp  16652  bitsinv1lem  16655  bitsuz  16688  bitsshft  16689  smumullem  16706  smumul  16707  gcdmultipled  16751  bezoutlem3  16758  bezoutlem4  16759  mulgcd  16765  dvdsmulgcd  16774  bezoutr  16787  lcmgcdlem  16825  mulgcddvds  16874  rpmulgcd2  16875  coprmprod  16880  divgcdcoprm0  16884  cncongr1  16886  cncongr2  16887  exprmfct  16924  prmdvdsbc  16946  hashdvds  16996  eulerthlem1  17002  eulerthlem2  17003  prmdiv  17006  prmdiveq  17007  pcpremul  17065  pcqmul  17075  pcaddlem  17110  prmpwdvds  17126  4sqlem5  17164  4sqlem10  17169  4sqlem14  17180  mulgass  19371  mulgmodid  19373  odmod  19811  odmulgid  19819  odbezout  19823  gexdvds  19849  odadd1  20113  odadd2  20114  torsubg  20119  ablfacrp  20333  pgpfac1lem2  20342  pgpfac1lem3a  20343  pgpfac1lem3  20344  ablsimpgfindlem1  20374  pzriprnglem6  21847  pzriprnglem8  21849  pzriprnglem12  21853  znunit  21924  znrrg  21926  dyaddisjlem  25971  elqaalem3  26701  aalioulem1  26716  aaliou3lem2  26727  aaliou3lem8  26729  mpodvdsmulf1o  27578  dvdsmulf1o  27580  lgsdirprm  27715  lgsdir  27716  lgsdilem2  27717  lgsdi  27718  gausslemma2dlem1a  27749  gausslemma2dlem5a  27754  gausslemma2dlem5  27755  gausslemma2dlem6  27756  gausslemma2dlem7  27757  gausslemma2d  27758  lgseisenlem1  27759  lgseisenlem2  27760  lgseisenlem3  27761  lgseisenlem4  27762  lgsquadlem1  27764  lgsquad2lem1  27768  lgsquad3  27771  2lgslem1a1  27773  2lgslem1a2  27774  2lgslem1b  27776  2lgslem3b1  27785  2lgslem3c1  27786  2lgsoddprmlem2  27793  2sqlem3  27804  2sqlem4  27805  2sqblem  27815  2sqmod  27820  ex-ind-dvds  31119  elrgspnlem2  33903  zringfrac  34189  cos9thpiminplylem2  34526  qqhghm  34731  qqhrhm  34732  breprexplemc  35372  circlemeth  35380  knoppndvlem2  37594  lcmineqlem6  43350  lcmineqlem14  43358  lcmineqlem18  43362  lcmineqlem21  43365  lcmineqlem22  43366  aks4d1p8d2  43401  aks4d1p8  43403  aks4d1p9  43404  primrootscoprmpow  43415  posbezout  43416  primrootscoprbij  43418  primrootspoweq0  43422  aks6d1c3  43439  aks6d1c4  43440  2np3bcnp1  43460  aks6d1c6lem3  43488  aks6d1c6lem4  43489  aks6d1c6lem5  43493  pellexlem5  44106  pellexlem6  44107  pell1234qrmulcl  44128  congmul  44240  jm2.18  44261  jm2.19lem1  44262  jm2.19lem2  44263  jm2.19lem3  44264  jm2.19lem4  44265  jm2.22  44268  jm2.23  44269  jm2.20nn  44270  jm2.25  44272  jm2.15nn0  44276  jm2.16nn0  44277  jm2.27c  44280  jm3.1lem3  44292  jm3.1  44293  expdiophlem1  44294  inductionexd  45416  sumnnodd  46915  wallispilem4  47351  stirlinglem3  47359  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  stirlinglem11  47367  dirkertrigeqlem1  47381  dirkertrigeqlem3  47383  dirkertrigeq  47384  dirkercncflem2  47387  fourierswlem  47513  fouriersw  47514  etransclem3  47520  etransclem7  47524  etransclem10  47527  etransclem25  47542  etransclem26  47543  etransclem27  47544  etransclem28  47545  etransclem35  47552  etransclem37  47554  etransclem44  47561  etransclem45  47562  minusmodnep2tmod  48702  modmkpkne  48710  modmknepk  48711  fmtnoprmfac2lem1  48924  fmtno4prmfac  48930  2pwp1prm  48947  mod42tp1mod8  48960  lighneallem4b  48967  lighneallem4  48968  nprmdvdsfacm1lem4  48981  ppivalnnprm  48983  m2even  49025  fppr2odd  49102  gpg3kgrtriexlem3  49456  gpg3kgrtriexlem6  49459  2zlidl  49610  dignn0fr  50044  dignn0flhalflem1  50058