Theorem zmulcld 12602

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358   · cmul 11031  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13749  flhalf  13750  quoremz  13775  intfracq  13779  zmodcl  13811  modmul1  13847  sqoddm1div8  14166  eirrlem  16129  modmulconst  16215  dvds2ln  16216  dvdsexp2im  16254  dvdsmod  16256  3dvds  16258  even2n  16269  mod2eq1n2dvds  16274  2tp1odd  16279  ltoddhalfle  16288  m1expo  16302  m1exp1  16303  modremain  16335  flodddiv4  16342  bits0e  16356  bits0o  16357  bitsp1e  16359  bitsp1o  16360  bitsmod  16363  bitscmp  16365  bitsinv1lem  16368  bitsuz  16401  bitsshft  16402  smumullem  16419  smumul  16420  gcdmultipled  16461  bezoutlem3  16468  bezoutlem4  16469  mulgcd  16475  dvdsmulgcd  16483  bezoutr  16495  lcmgcdlem  16533  mulgcddvds  16582  rpmulgcd2  16583  coprmprod  16588  divgcdcoprm0  16592  cncongr1  16594  cncongr2  16595  exprmfct  16631  prmdvdsbc  16653  hashdvds  16702  eulerthlem1  16708  eulerthlem2  16709  prmdiv  16712  prmdiveq  16713  pcpremul  16771  pcqmul  16781  pcaddlem  16816  prmpwdvds  16832  4sqlem5  16870  4sqlem10  16875  4sqlem14  16886  mulgass  19041  mulgmodid  19043  odmod  19475  odmulgid  19483  odbezout  19487  gexdvds  19513  odadd1  19777  odadd2  19778  torsubg  19783  ablfacrp  19997  pgpfac1lem2  20006  pgpfac1lem3a  20007  pgpfac1lem3  20008  ablsimpgfindlem1  20038  pzriprnglem6  21441  pzriprnglem8  21443  pzriprnglem12  21447  znunit  21518  znrrg  21520  dyaddisjlem  25552  elqaalem3  26285  aalioulem1  26296  aaliou3lem2  26307  aaliou3lem8  26309  mpodvdsmulf1o  27160  dvdsmulf1o  27162  lgsdirprm  27298  lgsdir  27299  lgsdilem2  27300  lgsdi  27301  gausslemma2dlem1a  27332  gausslemma2dlem5a  27337  gausslemma2dlem5  27338  gausslemma2dlem6  27339  gausslemma2dlem7  27340  gausslemma2d  27341  lgseisenlem1  27342  lgseisenlem2  27343  lgseisenlem3  27344  lgseisenlem4  27345  lgsquadlem1  27347  lgsquad2lem1  27351  lgsquad3  27354  2lgslem1a1  27356  2lgslem1a2  27357  2lgslem1b  27359  2lgslem3b1  27368  2lgslem3c1  27369  2lgsoddprmlem2  27376  2sqlem3  27387  2sqlem4  27388  2sqblem  27398  2sqmod  27403  ex-ind-dvds  30536  elrgspnlem2  33325  zringfrac  33635  cos9thpiminplylem2  33940  qqhghm  34145  qqhrhm  34146  breprexplemc  34789  circlemeth  34797  knoppndvlem2  36713  lcmineqlem6  42298  lcmineqlem14  42306  lcmineqlem18  42310  lcmineqlem21  42313  lcmineqlem22  42314  aks4d1p8d2  42349  aks4d1p8  42351  aks4d1p9  42352  primrootscoprmpow  42363  posbezout  42364  primrootscoprbij  42366  primrootspoweq0  42370  aks6d1c3  42387  aks6d1c4  42388  2np3bcnp1  42408  aks6d1c6lem3  42436  aks6d1c6lem4  42437  aks6d1c6lem5  42441  pellexlem5  43085  pellexlem6  43086  pell1234qrmulcl  43107  congmul  43219  jm2.18  43240  jm2.19lem1  43241  jm2.19lem2  43242  jm2.19lem3  43243  jm2.19lem4  43244  jm2.22  43247  jm2.23  43248  jm2.20nn  43249  jm2.25  43251  jm2.15nn0  43255  jm2.16nn0  43256  jm2.27c  43259  jm3.1lem3  43271  jm3.1  43272  expdiophlem1  43273  inductionexd  44406  sumnnodd  45886  wallispilem4  46322  stirlinglem3  46330  stirlinglem7  46334  stirlinglem10  46337  stirlinglem11  46338  dirkertrigeqlem1  46352  dirkertrigeqlem3  46354  dirkertrigeq  46355  dirkercncflem2  46358  fourierswlem  46484  fouriersw  46485  etransclem3  46491  etransclem7  46495  etransclem10  46498  etransclem25  46513  etransclem26  46514  etransclem27  46515  etransclem28  46516  etransclem35  46523  etransclem37  46525  etransclem44  46532  etransclem45  46533  minusmodnep2tmod  47609  modmkpkne  47617  modmknepk  47618  fmtnoprmfac2lem1  47822  fmtno4prmfac  47828  2pwp1prm  47845  mod42tp1mod8  47858  lighneallem4b  47865  lighneallem4  47866  m2even  47910  fppr2odd  47987  gpg3kgrtriexlem3  48341  gpg3kgrtriexlem6  48344  2zlidl  48496  dignn0fr  48857  dignn0flhalflem1  48871