Theorem zmulcld 12753

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12692	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   · cmul 11189  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13880  flhalf  13881  quoremz  13906  intfracq  13910  zmodcl  13942  modmul1  13975  sqoddm1div8  14292  eirrlem  16252  modmulconst  16336  dvds2ln  16337  dvdsexp2im  16375  dvdsmod  16377  3dvds  16379  even2n  16390  mod2eq1n2dvds  16395  2tp1odd  16400  ltoddhalfle  16409  m1expo  16423  m1exp1  16424  modremain  16456  flodddiv4  16461  bits0e  16475  bits0o  16476  bitsp1e  16478  bitsp1o  16479  bitsmod  16482  bitscmp  16484  bitsinv1lem  16487  bitsuz  16520  bitsshft  16521  smumullem  16538  smumul  16539  gcdmultipled  16581  bezoutlem3  16588  bezoutlem4  16589  mulgcd  16595  dvdsmulgcd  16603  bezoutr  16615  lcmgcdlem  16653  mulgcddvds  16702  rpmulgcd2  16703  coprmprod  16708  divgcdcoprm0  16712  cncongr1  16714  cncongr2  16715  exprmfct  16751  prmdvdsbc  16773  hashdvds  16822  eulerthlem1  16828  eulerthlem2  16829  prmdiv  16832  prmdiveq  16833  pcpremul  16890  pcqmul  16900  pcaddlem  16935  prmpwdvds  16951  4sqlem5  16989  4sqlem10  16994  4sqlem14  17005  mulgass  19151  mulgmodid  19153  odmod  19588  odmulgid  19596  odbezout  19600  gexdvds  19626  odadd1  19890  odadd2  19891  torsubg  19896  ablfacrp  20110  pgpfac1lem2  20119  pgpfac1lem3a  20120  pgpfac1lem3  20121  ablsimpgfindlem1  20151  pzriprnglem6  21520  pzriprnglem8  21522  pzriprnglem12  21526  znunit  21605  znrrg  21607  dyaddisjlem  25649  elqaalem3  26381  aalioulem1  26392  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem8  26405  mpodvdsmulf1o  27255  dvdsmulf1o  27257  lgsdirprm  27393  lgsdir  27394  lgsdilem2  27395  lgsdi  27396  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2dlem5a  27432  gausslemma2dlem5  27433  gausslemma2dlem6  27434  gausslemma2dlem7  27435  gausslemma2d  27436  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  lgsquadlem1  27442  lgsquad2lem1  27446  lgsquad3  27449  2lgslem1a1  27451  2lgslem1a2  27452  2lgslem1b  27454  2lgslem3b1  27463  2lgslem3c1  27464  2lgsoddprmlem2  27471  2sqlem3  27482  2sqlem4  27483  2sqblem  27493  2sqmod  27498  ex-ind-dvds  30493  zringfrac  33547  qqhghm  33934  qqhrhm  33935  breprexplemc  34609  circlemeth  34617  knoppndvlem2  36479  lcmineqlem6  41991  lcmineqlem14  41999  lcmineqlem18  42003  lcmineqlem21  42006  lcmineqlem22  42007  aks4d1p8d2  42042  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  primrootscoprmpow  42056  posbezout  42057  primrootscoprbij  42059  primrootspoweq0  42063  aks6d1c3  42080  aks6d1c4  42081  2np3bcnp1  42101  aks6d1c6lem3  42129  aks6d1c6lem4  42130  aks6d1c6lem5  42134  pellexlem5  42789  pellexlem6  42790  pell1234qrmulcl  42811  congmul  42924  jm2.18  42945  jm2.19lem1  42946  jm2.19lem2  42947  jm2.19lem3  42948  jm2.19lem4  42949  jm2.22  42952  jm2.23  42953  jm2.20nn  42954  jm2.25  42956  jm2.15nn0  42960  jm2.16nn0  42961  jm2.27c  42964  jm3.1lem3  42976  jm3.1  42977  expdiophlem1  42978  inductionexd  44117  sumnnodd  45551  wallispilem4  45989  stirlinglem3  45997  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  dirkertrigeqlem1  46019  dirkertrigeqlem3  46021  dirkertrigeq  46022  dirkercncflem2  46025  fourierswlem  46151  fouriersw  46152  etransclem3  46158  etransclem7  46162  etransclem10  46165  etransclem25  46180  etransclem26  46181  etransclem27  46182  etransclem28  46183  etransclem35  46190  etransclem37  46192  etransclem44  46199  etransclem45  46200  fmtnoprmfac2lem1  47440  fmtno4prmfac  47446  2pwp1prm  47463  mod42tp1mod8  47476  lighneallem4b  47483  lighneallem4  47484  m2even  47528  fppr2odd  47605  2zlidl  47963  dignn0fr  48335  dignn0flhalflem1  48349