Theorem zmulcld 12081

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135   · cmul 10531  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13194  flhalf  13195  quoremz  13218  intfracq  13222  zmodcl  13254  modmul1  13287  sqoddm1div8  13600  eirrlem  15549  modmulconst  15633  dvds2ln  15634  dvdsmod  15670  3dvds  15672  even2n  15683  mod2eq1n2dvds  15688  2tp1odd  15693  ltoddhalfle  15702  m1expo  15716  m1exp1  15717  modremain  15749  flodddiv4  15754  bits0e  15768  bits0o  15769  bitsp1e  15771  bitsp1o  15772  bitsmod  15775  bitscmp  15777  bitsinv1lem  15780  bitsuz  15813  bitsshft  15814  smumullem  15831  smumul  15832  gcdmultipled  15872  bezoutlem3  15879  bezoutlem4  15880  mulgcd  15886  dvdsmulgcd  15895  bezoutr  15902  lcmgcdlem  15940  mulgcddvds  15989  rpmulgcd2  15990  coprmprod  15995  divgcdcoprm0  15999  cncongr1  16001  cncongr2  16002  exprmfct  16038  hashdvds  16102  eulerthlem1  16108  eulerthlem2  16109  prmdiv  16112  prmdiveq  16113  pcpremul  16170  pcqmul  16180  pcaddlem  16214  prmpwdvds  16230  4sqlem5  16268  4sqlem10  16273  4sqlem14  16284  mulgass  18256  mulgmodid  18258  odmod  18666  odmulgid  18673  odbezout  18677  gexdvds  18701  odadd1  18961  odadd2  18962  torsubg  18967  ablfacrp  19181  pgpfac1lem2  19190  pgpfac1lem3a  19191  pgpfac1lem3  19192  ablsimpgfindlem1  19222  znunit  20255  znrrg  20257  dyaddisjlem  24199  elqaalem3  24917  aalioulem1  24928  aaliou3lem2  24939  aaliou3lem8  24941  dvdsmulf1o  25779  lgsdirprm  25915  lgsdir  25916  lgsdilem2  25917  lgsdi  25918  gausslemma2dlem1a  25949  gausslemma2dlem5a  25954  gausslemma2dlem5  25955  gausslemma2dlem6  25956  gausslemma2dlem7  25957  gausslemma2d  25958  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem2  25960  lgseisenlem3  25961  lgseisenlem4  25962  lgsquadlem1  25964  lgsquad2lem1  25968  lgsquad3  25971  2lgslem1a1  25973  2lgslem1a2  25974  2lgslem1b  25976  2lgslem3b1  25985  2lgslem3c1  25986  2lgsoddprmlem2  25993  2sqlem3  26004  2sqlem4  26005  2sqblem  26015  2sqmod  26020  ex-ind-dvds  28246  prmdvdsbc  30558  qqhghm  31339  qqhrhm  31340  breprexplemc  32013  circlemeth  32021  dvdspw  33095  knoppndvlem2  33965  lcmineqlem6  39322  lcmineqlem14  39330  lcmineqlem18  39334  lcmineqlem21  39337  lcmineqlem22  39338  2np3bcnp1  39348  pellexlem5  39774  pellexlem6  39775  pell1234qrmulcl  39796  congmul  39908  jm2.18  39929  jm2.19lem1  39930  jm2.19lem2  39931  jm2.19lem3  39932  jm2.19lem4  39933  jm2.22  39936  jm2.23  39937  jm2.20nn  39938  jm2.25  39940  jm2.15nn0  39944  jm2.16nn0  39945  jm2.27c  39948  jm3.1lem3  39960  jm3.1  39961  expdiophlem1  39962  inductionexd  40858  sumnnodd  42272  wallispilem4  42710  stirlinglem3  42718  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  dirkertrigeqlem1  42740  dirkertrigeqlem3  42742  dirkertrigeq  42743  dirkercncflem2  42746  fourierswlem  42872  fouriersw  42873  etransclem3  42879  etransclem7  42883  etransclem10  42886  etransclem25  42901  etransclem26  42902  etransclem27  42903  etransclem28  42904  etransclem35  42911  etransclem37  42913  etransclem44  42920  etransclem45  42921  fmtnoprmfac2lem1  44083  fmtno4prmfac  44089  2pwp1prm  44106  mod42tp1mod8  44120  lighneallem4b  44127  lighneallem4  44128  m2even  44172  fppr2odd  44249  2zlidl  44558  dignn0fr  45015  dignn0flhalflem1  45029