Theorem zmulcld 12683

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12620	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396   · cmul 11078  ℤcz 12568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13839  flhalf  13840  quoremz  13865  intfracq  13869  zmodcl  13901  modmul1  13937  sqoddm1div8  14256  eirrlem  16236  modmulconst  16322  dvds2ln  16323  dvdsexp2im  16361  dvdsmod  16363  3dvds  16365  even2n  16376  mod2eq1n2dvds  16381  2tp1odd  16386  ltoddhalfle  16395  m1expo  16409  m1exp1  16410  modremain  16442  flodddiv4  16449  bits0e  16463  bits0o  16464  bitsp1e  16466  bitsp1o  16467  bitsmod  16470  bitscmp  16472  bitsinv1lem  16475  bitsuz  16508  bitsshft  16509  smumullem  16526  smumul  16527  gcdmultipled  16568  bezoutlem3  16575  bezoutlem4  16576  mulgcd  16582  dvdsmulgcd  16590  bezoutr  16602  lcmgcdlem  16640  mulgcddvds  16689  rpmulgcd2  16690  coprmprod  16695  divgcdcoprm0  16699  cncongr1  16701  cncongr2  16702  exprmfct  16739  prmdvdsbc  16761  hashdvds  16810  eulerthlem1  16816  eulerthlem2  16817  prmdiv  16820  prmdiveq  16821  pcpremul  16879  pcqmul  16889  pcaddlem  16924  prmpwdvds  16940  4sqlem5  16978  4sqlem10  16983  4sqlem14  16994  mulgass  19153  mulgmodid  19155  odmod  19586  odmulgid  19594  odbezout  19598  gexdvds  19624  odadd1  19888  odadd2  19889  torsubg  19894  ablfacrp  20108  pgpfac1lem2  20117  pgpfac1lem3a  20118  pgpfac1lem3  20119  ablsimpgfindlem1  20149  pzriprnglem6  21538  pzriprnglem8  21540  pzriprnglem12  21544  znunit  21615  znrrg  21617  dyaddisjlem  25657  elqaalem3  26385  aalioulem1  26396  aaliou3lem2  26407  aaliou3lem8  26409  mpodvdsmulf1o  27258  dvdsmulf1o  27260  lgsdirprm  27395  lgsdir  27396  lgsdilem2  27397  lgsdi  27398  gausslemma2dlem1a  27429  gausslemma2dlem5a  27434  gausslemma2dlem5  27435  gausslemma2dlem6  27436  gausslemma2dlem7  27437  gausslemma2d  27438  lgseisenlem1  27439  lgseisenlem2  27440  lgseisenlem3  27441  lgseisenlem4  27442  lgsquadlem1  27444  lgsquad2lem1  27448  lgsquad3  27451  2lgslem1a1  27453  2lgslem1a2  27454  2lgslem1b  27456  2lgslem3b1  27465  2lgslem3c1  27466  2lgsoddprmlem2  27473  2sqlem3  27484  2sqlem4  27485  2sqblem  27495  2sqmod  27500  ex-ind-dvds  30663  elrgspnlem2  33424  zringfrac  33750  cos9thpiminplylem2  34080  qqhghm  34285  qqhrhm  34286  breprexplemc  34926  circlemeth  34934  knoppndvlem2  36951  lcmineqlem6  42651  lcmineqlem14  42659  lcmineqlem18  42663  lcmineqlem21  42666  lcmineqlem22  42667  aks4d1p8d2  42702  aks4d1p8  42704  aks4d1p9  42705  primrootscoprmpow  42716  posbezout  42717  primrootscoprbij  42719  primrootspoweq0  42723  aks6d1c3  42740  aks6d1c4  42741  2np3bcnp1  42761  aks6d1c6lem3  42789  aks6d1c6lem4  42790  aks6d1c6lem5  42794  pellexlem5  43410  pellexlem6  43411  pell1234qrmulcl  43432  congmul  43544  jm2.18  43565  jm2.19lem1  43566  jm2.19lem2  43567  jm2.19lem3  43568  jm2.19lem4  43569  jm2.22  43572  jm2.23  43573  jm2.20nn  43574  jm2.25  43576  jm2.15nn0  43580  jm2.16nn0  43581  jm2.27c  43584  jm3.1lem3  43596  jm3.1  43597  expdiophlem1  43598  inductionexd  44731  sumnnodd  46206  wallispilem4  46642  stirlinglem3  46650  stirlinglem7  46654  stirlinglem10  46657  stirlinglem11  46658  dirkertrigeqlem1  46672  dirkertrigeqlem3  46674  dirkertrigeq  46675  dirkercncflem2  46678  fourierswlem  46804  fouriersw  46805  etransclem3  46811  etransclem7  46815  etransclem10  46818  etransclem25  46833  etransclem26  46834  etransclem27  46835  etransclem28  46836  etransclem35  46843  etransclem37  46845  etransclem44  46852  etransclem45  46853  minusmodnep2tmod  47953  modmkpkne  47961  modmknepk  47962  fmtnoprmfac2lem1  48175  fmtno4prmfac  48181  2pwp1prm  48198  mod42tp1mod8  48211  lighneallem4b  48218  lighneallem4  48219  nprmdvdsfacm1lem4  48232  ppivalnnprm  48234  m2even  48276  fppr2odd  48353  gpg3kgrtriexlem3  48707  gpg3kgrtriexlem6  48710  2zlidl  48862  dignn0fr  49223  dignn0flhalflem1  49237