Theorem zmulcld 12725

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12663	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430   · cmul 11157  ℤcz 12610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13865  flhalf  13866  quoremz  13891  intfracq  13895  zmodcl  13927  modmul1  13961  sqoddm1div8  14278  eirrlem  16236  modmulconst  16321  dvds2ln  16322  dvdsexp2im  16360  dvdsmod  16362  3dvds  16364  even2n  16375  mod2eq1n2dvds  16380  2tp1odd  16385  ltoddhalfle  16394  m1expo  16408  m1exp1  16409  modremain  16441  flodddiv4  16448  bits0e  16462  bits0o  16463  bitsp1e  16465  bitsp1o  16466  bitsmod  16469  bitscmp  16471  bitsinv1lem  16474  bitsuz  16507  bitsshft  16508  smumullem  16525  smumul  16526  gcdmultipled  16567  bezoutlem3  16574  bezoutlem4  16575  mulgcd  16581  dvdsmulgcd  16589  bezoutr  16601  lcmgcdlem  16639  mulgcddvds  16688  rpmulgcd2  16689  coprmprod  16694  divgcdcoprm0  16698  cncongr1  16700  cncongr2  16701  exprmfct  16737  prmdvdsbc  16759  hashdvds  16808  eulerthlem1  16814  eulerthlem2  16815  prmdiv  16818  prmdiveq  16819  pcpremul  16876  pcqmul  16886  pcaddlem  16921  prmpwdvds  16937  4sqlem5  16975  4sqlem10  16980  4sqlem14  16991  mulgass  19141  mulgmodid  19143  odmod  19578  odmulgid  19586  odbezout  19590  gexdvds  19616  odadd1  19880  odadd2  19881  torsubg  19886  ablfacrp  20100  pgpfac1lem2  20109  pgpfac1lem3a  20110  pgpfac1lem3  20111  ablsimpgfindlem1  20141  pzriprnglem6  21514  pzriprnglem8  21516  pzriprnglem12  21520  znunit  21599  znrrg  21601  dyaddisjlem  25643  elqaalem3  26377  aalioulem1  26388  aaliou3lem2  26399  aaliou3lem8  26401  mpodvdsmulf1o  27251  dvdsmulf1o  27253  lgsdirprm  27389  lgsdir  27390  lgsdilem2  27391  lgsdi  27392  gausslemma2dlem1a  27423  gausslemma2dlem5a  27428  gausslemma2dlem5  27429  gausslemma2dlem6  27430  gausslemma2dlem7  27431  gausslemma2d  27432  lgseisenlem1  27433  lgseisenlem2  27434  lgseisenlem3  27435  lgseisenlem4  27436  lgsquadlem1  27438  lgsquad2lem1  27442  lgsquad3  27445  2lgslem1a1  27447  2lgslem1a2  27448  2lgslem1b  27450  2lgslem3b1  27459  2lgslem3c1  27460  2lgsoddprmlem2  27467  2sqlem3  27478  2sqlem4  27479  2sqblem  27489  2sqmod  27494  ex-ind-dvds  30489  elrgspnlem2  33232  zringfrac  33561  qqhghm  33950  qqhrhm  33951  breprexplemc  34625  circlemeth  34633  knoppndvlem2  36495  lcmineqlem6  42015  lcmineqlem14  42023  lcmineqlem18  42027  lcmineqlem21  42030  lcmineqlem22  42031  aks4d1p8d2  42066  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  primrootscoprmpow  42080  posbezout  42081  primrootscoprbij  42083  primrootspoweq0  42087  aks6d1c3  42104  aks6d1c4  42105  2np3bcnp1  42125  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c6lem4  42154  aks6d1c6lem5  42158  pellexlem5  42820  pellexlem6  42821  pell1234qrmulcl  42842  congmul  42955  jm2.18  42976  jm2.19lem1  42977  jm2.19lem2  42978  jm2.19lem3  42979  jm2.19lem4  42980  jm2.22  42983  jm2.23  42984  jm2.20nn  42985  jm2.25  42987  jm2.15nn0  42991  jm2.16nn0  42992  jm2.27c  42995  jm3.1lem3  43007  jm3.1  43008  expdiophlem1  43009  inductionexd  44144  sumnnodd  45585  wallispilem4  46023  stirlinglem3  46031  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  stirlinglem11  46039  dirkertrigeqlem1  46053  dirkertrigeqlem3  46055  dirkertrigeq  46056  dirkercncflem2  46059  fourierswlem  46185  fouriersw  46186  etransclem3  46192  etransclem7  46196  etransclem10  46199  etransclem25  46214  etransclem26  46215  etransclem27  46216  etransclem28  46217  etransclem35  46224  etransclem37  46226  etransclem44  46233  etransclem45  46234  minusmodnep2tmod  47292  fmtnoprmfac2lem1  47490  fmtno4prmfac  47496  2pwp1prm  47513  mod42tp1mod8  47526  lighneallem4b  47533  lighneallem4  47534  m2even  47578  fppr2odd  47655  gpg3nbgrvtxlem  47957  2zlidl  48083  dignn0fr  48450  dignn0flhalflem1  48464