Theorem zmulcld 12361

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12299	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   · cmul 10807  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13477  flhalf  13478  quoremz  13503  intfracq  13507  zmodcl  13539  modmul1  13572  sqoddm1div8  13886  eirrlem  15841  modmulconst  15925  dvds2ln  15926  dvdsexp2im  15964  dvdsmod  15966  3dvds  15968  even2n  15979  mod2eq1n2dvds  15984  2tp1odd  15989  ltoddhalfle  15998  m1expo  16012  m1exp1  16013  modremain  16045  flodddiv4  16050  bits0e  16064  bits0o  16065  bitsp1e  16067  bitsp1o  16068  bitsmod  16071  bitscmp  16073  bitsinv1lem  16076  bitsuz  16109  bitsshft  16110  smumullem  16127  smumul  16128  gcdmultipled  16170  bezoutlem3  16177  bezoutlem4  16178  mulgcd  16184  dvdsmulgcd  16193  bezoutr  16201  lcmgcdlem  16239  mulgcddvds  16288  rpmulgcd2  16289  coprmprod  16294  divgcdcoprm0  16298  cncongr1  16300  cncongr2  16301  exprmfct  16337  hashdvds  16404  eulerthlem1  16410  eulerthlem2  16411  prmdiv  16414  prmdiveq  16415  pcpremul  16472  pcqmul  16482  pcaddlem  16517  prmpwdvds  16533  4sqlem5  16571  4sqlem10  16576  4sqlem14  16587  mulgass  18655  mulgmodid  18657  odmod  19069  odmulgid  19076  odbezout  19080  gexdvds  19104  odadd1  19364  odadd2  19365  torsubg  19370  ablfacrp  19584  pgpfac1lem2  19593  pgpfac1lem3a  19594  pgpfac1lem3  19595  ablsimpgfindlem1  19625  znunit  20683  znrrg  20685  dyaddisjlem  24664  elqaalem3  25386  aalioulem1  25397  aaliou3lem2  25408  aaliou3lem8  25410  dvdsmulf1o  26248  lgsdirprm  26384  lgsdir  26385  lgsdilem2  26386  lgsdi  26387  gausslemma2dlem1a  26418  gausslemma2dlem5a  26423  gausslemma2dlem5  26424  gausslemma2dlem6  26425  gausslemma2dlem7  26426  gausslemma2d  26427  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem3  26430  lgseisenlem4  26431  lgsquadlem1  26433  lgsquad2lem1  26437  lgsquad3  26440  2lgslem1a1  26442  2lgslem1a2  26443  2lgslem1b  26445  2lgslem3b1  26454  2lgslem3c1  26455  2lgsoddprmlem2  26462  2sqlem3  26473  2sqlem4  26474  2sqblem  26484  2sqmod  26489  ex-ind-dvds  28726  prmdvdsbc  31032  qqhghm  31838  qqhrhm  31839  breprexplemc  32512  circlemeth  32520  knoppndvlem2  34620  lcmineqlem6  39970  lcmineqlem14  39978  lcmineqlem18  39982  lcmineqlem21  39985  lcmineqlem22  39986  aks4d1p8d2  40021  aks4d1p8  40023  aks4d1p9  40024  2np3bcnp1  40028  pellexlem5  40571  pellexlem6  40572  pell1234qrmulcl  40593  congmul  40705  jm2.18  40726  jm2.19lem1  40727  jm2.19lem2  40728  jm2.19lem3  40729  jm2.19lem4  40730  jm2.22  40733  jm2.23  40734  jm2.20nn  40735  jm2.25  40737  jm2.15nn0  40741  jm2.16nn0  40742  jm2.27c  40745  jm3.1lem3  40757  jm3.1  40758  expdiophlem1  40759  inductionexd  41654  sumnnodd  43061  wallispilem4  43499  stirlinglem3  43507  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  dirkertrigeqlem1  43529  dirkertrigeqlem3  43531  dirkertrigeq  43532  dirkercncflem2  43535  fourierswlem  43661  fouriersw  43662  etransclem3  43668  etransclem7  43672  etransclem10  43675  etransclem25  43690  etransclem26  43691  etransclem27  43692  etransclem28  43693  etransclem35  43700  etransclem37  43702  etransclem44  43709  etransclem45  43710  fmtnoprmfac2lem1  44906  fmtno4prmfac  44912  2pwp1prm  44929  mod42tp1mod8  44942  lighneallem4b  44949  lighneallem4  44950  m2even  44994  fppr2odd  45071  2zlidl  45380  dignn0fr  45835  dignn0flhalflem1  45849