MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcld 12090
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zmulcl 12028 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  (class class class)co 7149   · cmul 10540  cz 11978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979
This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13203  flhalf  13204  quoremz  13227  intfracq  13231  zmodcl  13263  modmul1  13296  sqoddm1div8  13609  eirrlem  15557  modmulconst  15641  dvds2ln  15642  dvdsmod  15678  3dvds  15680  even2n  15691  mod2eq1n2dvds  15696  2tp1odd  15701  ltoddhalfle  15710  m1expo  15724  m1exp1  15725  modremain  15757  flodddiv4  15762  bits0e  15776  bits0o  15777  bitsp1e  15779  bitsp1o  15780  bitsmod  15783  bitscmp  15785  bitsinv1lem  15788  bitsuz  15821  bitsshft  15822  smumullem  15839  smumul  15840  gcdmultipled  15880  bezoutlem3  15887  bezoutlem4  15888  mulgcd  15894  dvdsmulgcd  15903  bezoutr  15910  lcmgcdlem  15948  mulgcddvds  15997  rpmulgcd2  15998  coprmprod  16003  divgcdcoprm0  16007  cncongr1  16009  cncongr2  16010  exprmfct  16046  hashdvds  16110  eulerthlem1  16116  eulerthlem2  16117  prmdiv  16120  prmdiveq  16121  pcpremul  16178  pcqmul  16188  pcaddlem  16222  prmpwdvds  16238  4sqlem5  16276  4sqlem10  16281  4sqlem14  16292  mulgass  18264  mulgmodid  18266  odmod  18674  odmulgid  18681  odbezout  18685  gexdvds  18709  odadd1  18968  odadd2  18969  torsubg  18974  ablfacrp  19188  pgpfac1lem2  19197  pgpfac1lem3a  19198  pgpfac1lem3  19199  ablsimpgfindlem1  19229  znunit  20710  znrrg  20712  dyaddisjlem  24202  elqaalem3  24920  aalioulem1  24931  aaliou3lem2  24942  aaliou3lem8  24944  dvdsmulf1o  25782  lgsdirprm  25918  lgsdir  25919  lgsdilem2  25920  lgsdi  25921  gausslemma2dlem1a  25952  gausslemma2dlem5a  25957  gausslemma2dlem5  25958  gausslemma2dlem6  25959  gausslemma2dlem7  25960  gausslemma2d  25961  lgseisenlem1  25962  lgseisenlem2  25963  lgseisenlem3  25964  lgseisenlem4  25965  lgsquadlem1  25967  lgsquad2lem1  25971  lgsquad3  25974  2lgslem1a1  25976  2lgslem1a2  25977  2lgslem1b  25979  2lgslem3b1  25988  2lgslem3c1  25989  2lgsoddprmlem2  25996  2sqlem3  26007  2sqlem4  26008  2sqblem  26018  2sqmod  26023  ex-ind-dvds  28249  prmdvdsbc  30543  qqhghm  31286  qqhrhm  31287  breprexplemc  31960  circlemeth  31968  dvdspw  33039  knoppndvlem2  33909  lcmineqlem6  39270  lcmineqlem14  39278  lcmineqlem18  39282  lcmineqlem21  39285  lcmineqlem22  39286  2np3bcnp1  39294  pellexlem5  39690  pellexlem6  39691  pell1234qrmulcl  39712  congmul  39824  jm2.18  39845  jm2.19lem1  39846  jm2.19lem2  39847  jm2.19lem3  39848  jm2.19lem4  39849  jm2.22  39852  jm2.23  39853  jm2.20nn  39854  jm2.25  39856  jm2.15nn0  39860  jm2.16nn0  39861  jm2.27c  39864  jm3.1lem3  39876  jm3.1  39877  expdiophlem1  39878  inductionexd  40777  sumnnodd  42198  wallispilem4  42636  stirlinglem3  42644  stirlinglem7  42648  stirlinglem10  42651  stirlinglem11  42652  dirkertrigeqlem1  42666  dirkertrigeqlem3  42668  dirkertrigeq  42669  dirkercncflem2  42672  fourierswlem  42798  fouriersw  42799  etransclem3  42805  etransclem7  42809  etransclem10  42812  etransclem25  42827  etransclem26  42828  etransclem27  42829  etransclem28  42830  etransclem35  42837  etransclem37  42839  etransclem44  42846  etransclem45  42847  fmtnoprmfac2lem1  44009  fmtno4prmfac  44015  2pwp1prm  44032  mod42tp1mod8  44046  lighneallem4b  44053  lighneallem4  44054  m2even  44098  fppr2odd  44175  2zlidl  44484  dignn0fr  44941  dignn0flhalflem1  44955
  Copyright terms: Public domain W3C validator