Theorem zmulcld 12809

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12745	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420   · cmul 11205  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694

This theorem is used by:  2tnp1ge0ge0  13969  flhalf  13970  quoremz  13995  intfracq  13999  zmodcl  14031  modmul1  14067  sqoddm1div8  14387  eirrlem  16372  modmulconst  16458  dvds2ln  16459  dvdsexp2im  16497  dvdsmod  16499  3dvds  16501  even2n  16512  mod2eq1n2dvds  16517  2tp1odd  16522  ltoddhalfle  16531  m1expo  16545  m1exp1  16546  modremain  16578  flodddiv4  16585  bits0e  16599  bits0o  16600  bitsp1e  16602  bitsp1o  16603  bitsmod  16606  bitscmp  16608  bitsinv1lem  16611  bitsuz  16644  bitsshft  16645  smumullem  16662  smumul  16663  gcdmultipled  16707  bezoutlem3  16714  bezoutlem4  16715  mulgcd  16721  dvdsmulgcd  16730  bezoutr  16743  lcmgcdlem  16781  mulgcddvds  16830  rpmulgcd2  16831  coprmprod  16836  divgcdcoprm0  16840  cncongr1  16842  cncongr2  16843  exprmfct  16880  prmdvdsbc  16902  hashdvds  16952  eulerthlem1  16958  eulerthlem2  16959  prmdiv  16962  prmdiveq  16963  pcpremul  17021  pcqmul  17031  pcaddlem  17066  prmpwdvds  17082  4sqlem5  17120  4sqlem10  17125  4sqlem14  17136  mulgass  19321  mulgmodid  19323  odmod  19760  odmulgid  19768  odbezout  19772  gexdvds  19798  odadd1  20062  odadd2  20063  torsubg  20068  ablfacrp  20282  pgpfac1lem2  20291  pgpfac1lem3a  20292  pgpfac1lem3  20293  ablsimpgfindlem1  20323  pzriprnglem6  21792  pzriprnglem8  21794  pzriprnglem12  21798  znunit  21869  znrrg  21871  dyaddisjlem  25916  elqaalem3  26644  aalioulem1  26659  aaliou3lem2  26670  aaliou3lem8  26672  mpodvdsmulf1o  27521  dvdsmulf1o  27523  lgsdirprm  27658  lgsdir  27659  lgsdilem2  27660  lgsdi  27661  gausslemma2dlem1a  27692  gausslemma2dlem5a  27697  gausslemma2dlem5  27698  gausslemma2dlem6  27699  gausslemma2dlem7  27700  gausslemma2d  27701  lgseisenlem1  27702  lgseisenlem2  27703  lgseisenlem3  27704  lgseisenlem4  27705  lgsquadlem1  27707  lgsquad2lem1  27711  lgsquad3  27714  2lgslem1a1  27716  2lgslem1a2  27717  2lgslem1b  27719  2lgslem3b1  27728  2lgslem3c1  27729  2lgsoddprmlem2  27736  2sqlem3  27747  2sqlem4  27748  2sqblem  27758  2sqmod  27763  ex-ind-dvds  31062  elrgspnlem2  33804  zringfrac  34086  cos9thpiminplylem2  34415  qqhghm  34620  qqhrhm  34621  breprexplemc  35261  circlemeth  35269  knoppndvlem2  37379  lcmineqlem6  43084  lcmineqlem14  43092  lcmineqlem18  43096  lcmineqlem21  43099  lcmineqlem22  43100  aks4d1p8d2  43135  aks4d1p8  43137  aks4d1p9  43138  primrootscoprmpow  43149  posbezout  43150  primrootscoprbij  43152  primrootspoweq0  43156  aks6d1c3  43173  aks6d1c4  43174  2np3bcnp1  43194  aks6d1c6lem3  43222  aks6d1c6lem4  43223  aks6d1c6lem5  43227  pellexlem5  43839  pellexlem6  43840  pell1234qrmulcl  43861  congmul  43973  jm2.18  43994  jm2.19lem1  43995  jm2.19lem2  43996  jm2.19lem3  43997  jm2.19lem4  43998  jm2.22  44001  jm2.23  44002  jm2.20nn  44003  jm2.25  44005  jm2.15nn0  44009  jm2.16nn0  44010  jm2.27c  44013  jm3.1lem3  44025  jm3.1  44026  expdiophlem1  44027  inductionexd  45154  sumnnodd  46641  wallispilem4  47077  stirlinglem3  47085  stirlinglem7  47089  stirlinglem10  47092  stirlinglem11  47093  dirkertrigeqlem1  47107  dirkertrigeqlem3  47109  dirkertrigeq  47110  dirkercncflem2  47113  fourierswlem  47239  fouriersw  47240  etransclem3  47246  etransclem7  47250  etransclem10  47253  etransclem25  47268  etransclem26  47269  etransclem27  47270  etransclem28  47271  etransclem35  47278  etransclem37  47280  etransclem44  47287  etransclem45  47288  minusmodnep2tmod  48428  modmkpkne  48436  modmknepk  48437  fmtnoprmfac2lem1  48650  fmtno4prmfac  48656  2pwp1prm  48673  mod42tp1mod8  48686  lighneallem4b  48693  lighneallem4  48694  nprmdvdsfacm1lem4  48707  ppivalnnprm  48709  m2even  48751  fppr2odd  48828  gpg3kgrtriexlem3  49182  gpg3kgrtriexlem6  49185  2zlidl  49336  dignn0fr  49712  dignn0flhalflem1  49726