Theorem zmulcld 12701

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12638	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   · cmul 11100  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13858  flhalf  13859  quoremz  13884  intfracq  13888  zmodcl  13920  modmul1  13956  sqoddm1div8  14275  eirrlem  16255  modmulconst  16341  dvds2ln  16342  dvdsexp2im  16380  dvdsmod  16382  3dvds  16384  even2n  16395  mod2eq1n2dvds  16400  2tp1odd  16405  ltoddhalfle  16414  m1expo  16428  m1exp1  16429  modremain  16461  flodddiv4  16468  bits0e  16482  bits0o  16483  bitsp1e  16485  bitsp1o  16486  bitsmod  16489  bitscmp  16491  bitsinv1lem  16494  bitsuz  16527  bitsshft  16528  smumullem  16545  smumul  16546  gcdmultipled  16587  bezoutlem3  16594  bezoutlem4  16595  mulgcd  16601  dvdsmulgcd  16609  bezoutr  16621  lcmgcdlem  16659  mulgcddvds  16708  rpmulgcd2  16709  coprmprod  16714  divgcdcoprm0  16718  cncongr1  16720  cncongr2  16721  exprmfct  16758  prmdvdsbc  16780  hashdvds  16829  eulerthlem1  16835  eulerthlem2  16836  prmdiv  16839  prmdiveq  16840  pcpremul  16898  pcqmul  16908  pcaddlem  16943  prmpwdvds  16959  4sqlem5  16997  4sqlem10  17002  4sqlem14  17013  mulgass  19172  mulgmodid  19174  odmod  19611  odmulgid  19619  odbezout  19623  gexdvds  19649  odadd1  19913  odadd2  19914  torsubg  19919  ablfacrp  20133  pgpfac1lem2  20142  pgpfac1lem3a  20143  pgpfac1lem3  20144  ablsimpgfindlem1  20174  pzriprnglem6  21636  pzriprnglem8  21638  pzriprnglem12  21642  znunit  21713  znrrg  21715  dyaddisjlem  25754  elqaalem3  26482  aalioulem1  26495  aaliou3lem2  26506  aaliou3lem8  26508  mpodvdsmulf1o  27358  dvdsmulf1o  27360  lgsdirprm  27495  lgsdir  27496  lgsdilem2  27497  lgsdi  27498  gausslemma2dlem1a  27529  gausslemma2dlem5a  27534  gausslemma2dlem5  27535  gausslemma2dlem6  27536  gausslemma2dlem7  27537  gausslemma2d  27538  lgseisenlem1  27539  lgseisenlem2  27540  lgseisenlem3  27541  lgseisenlem4  27542  lgsquadlem1  27544  lgsquad2lem1  27548  lgsquad3  27551  2lgslem1a1  27553  2lgslem1a2  27554  2lgslem1b  27556  2lgslem3b1  27565  2lgslem3c1  27566  2lgsoddprmlem2  27573  2sqlem3  27584  2sqlem4  27585  2sqblem  27595  2sqmod  27600  ex-ind-dvds  30812  elrgspnlem2  33563  zringfrac  33844  cos9thpiminplylem2  34173  qqhghm  34378  qqhrhm  34379  breprexplemc  35019  circlemeth  35027  knoppndvlem2  37122  lcmineqlem6  42821  lcmineqlem14  42829  lcmineqlem18  42833  lcmineqlem21  42836  lcmineqlem22  42837  aks4d1p8d2  42872  aks4d1p8  42874  aks4d1p9  42875  primrootscoprmpow  42886  posbezout  42887  primrootscoprbij  42889  primrootspoweq0  42893  aks6d1c3  42910  aks6d1c4  42911  2np3bcnp1  42931  aks6d1c6lem3  42959  aks6d1c6lem4  42960  aks6d1c6lem5  42964  pellexlem5  43580  pellexlem6  43581  pell1234qrmulcl  43602  congmul  43714  jm2.18  43735  jm2.19lem1  43736  jm2.19lem2  43737  jm2.19lem3  43738  jm2.19lem4  43739  jm2.22  43742  jm2.23  43743  jm2.20nn  43744  jm2.25  43746  jm2.15nn0  43750  jm2.16nn0  43751  jm2.27c  43754  jm3.1lem3  43766  jm3.1  43767  expdiophlem1  43768  inductionexd  44901  sumnnodd  46366  wallispilem4  46802  stirlinglem3  46810  stirlinglem7  46814  stirlinglem10  46817  stirlinglem11  46818  dirkertrigeqlem1  46832  dirkertrigeqlem3  46834  dirkertrigeq  46835  dirkercncflem2  46838  fourierswlem  46964  fouriersw  46965  etransclem3  46971  etransclem7  46975  etransclem10  46978  etransclem25  46993  etransclem26  46994  etransclem27  46995  etransclem28  46996  etransclem35  47003  etransclem37  47005  etransclem44  47012  etransclem45  47013  minusmodnep2tmod  48116  modmkpkne  48124  modmknepk  48125  fmtnoprmfac2lem1  48338  fmtno4prmfac  48344  2pwp1prm  48361  mod42tp1mod8  48374  lighneallem4b  48381  lighneallem4  48382  nprmdvdsfacm1lem4  48395  ppivalnnprm  48397  m2even  48439  fppr2odd  48516  gpg3kgrtriexlem3  48870  gpg3kgrtriexlem6  48873  2zlidl  49025  dignn0fr  49401  dignn0flhalflem1  49415