Theorem zmulcld 12600

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12538	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356   · cmul 11029  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13747  flhalf  13748  quoremz  13773  intfracq  13777  zmodcl  13809  modmul1  13845  sqoddm1div8  14164  eirrlem  16127  modmulconst  16213  dvds2ln  16214  dvdsexp2im  16252  dvdsmod  16254  3dvds  16256  even2n  16267  mod2eq1n2dvds  16272  2tp1odd  16277  ltoddhalfle  16286  m1expo  16300  m1exp1  16301  modremain  16333  flodddiv4  16340  bits0e  16354  bits0o  16355  bitsp1e  16357  bitsp1o  16358  bitsmod  16361  bitscmp  16363  bitsinv1lem  16366  bitsuz  16399  bitsshft  16400  smumullem  16417  smumul  16418  gcdmultipled  16459  bezoutlem3  16466  bezoutlem4  16467  mulgcd  16473  dvdsmulgcd  16481  bezoutr  16493  lcmgcdlem  16531  mulgcddvds  16580  rpmulgcd2  16581  coprmprod  16586  divgcdcoprm0  16590  cncongr1  16592  cncongr2  16593  exprmfct  16629  prmdvdsbc  16651  hashdvds  16700  eulerthlem1  16706  eulerthlem2  16707  prmdiv  16710  prmdiveq  16711  pcpremul  16769  pcqmul  16779  pcaddlem  16814  prmpwdvds  16830  4sqlem5  16868  4sqlem10  16873  4sqlem14  16884  mulgass  19039  mulgmodid  19041  odmod  19473  odmulgid  19481  odbezout  19485  gexdvds  19511  odadd1  19775  odadd2  19776  torsubg  19781  ablfacrp  19995  pgpfac1lem2  20004  pgpfac1lem3a  20005  pgpfac1lem3  20006  ablsimpgfindlem1  20036  pzriprnglem6  21439  pzriprnglem8  21441  pzriprnglem12  21445  znunit  21516  znrrg  21518  dyaddisjlem  25550  elqaalem3  26283  aalioulem1  26294  aaliou3lem2  26305  aaliou3lem8  26307  mpodvdsmulf1o  27158  dvdsmulf1o  27160  lgsdirprm  27296  lgsdir  27297  lgsdilem2  27298  lgsdi  27299  gausslemma2dlem1a  27330  gausslemma2dlem5a  27335  gausslemma2dlem5  27336  gausslemma2dlem6  27337  gausslemma2dlem7  27338  gausslemma2d  27339  lgseisenlem1  27340  lgseisenlem2  27341  lgseisenlem3  27342  lgseisenlem4  27343  lgsquadlem1  27345  lgsquad2lem1  27349  lgsquad3  27352  2lgslem1a1  27354  2lgslem1a2  27355  2lgslem1b  27357  2lgslem3b1  27366  2lgslem3c1  27367  2lgsoddprmlem2  27374  2sqlem3  27385  2sqlem4  27386  2sqblem  27396  2sqmod  27401  ex-ind-dvds  30485  elrgspnlem2  33274  zringfrac  33584  cos9thpiminplylem2  33889  qqhghm  34094  qqhrhm  34095  breprexplemc  34738  circlemeth  34746  knoppndvlem2  36656  lcmineqlem6  42227  lcmineqlem14  42235  lcmineqlem18  42239  lcmineqlem21  42242  lcmineqlem22  42243  aks4d1p8d2  42278  aks4d1p8  42280  aks4d1p9  42281  primrootscoprmpow  42292  posbezout  42293  primrootscoprbij  42295  primrootspoweq0  42299  aks6d1c3  42316  aks6d1c4  42317  2np3bcnp1  42337  aks6d1c6lem3  42365  aks6d1c6lem4  42366  aks6d1c6lem5  42370  pellexlem5  43017  pellexlem6  43018  pell1234qrmulcl  43039  congmul  43151  jm2.18  43172  jm2.19lem1  43173  jm2.19lem2  43174  jm2.19lem3  43175  jm2.19lem4  43176  jm2.22  43179  jm2.23  43180  jm2.20nn  43181  jm2.25  43183  jm2.15nn0  43187  jm2.16nn0  43188  jm2.27c  43191  jm3.1lem3  43203  jm3.1  43204  expdiophlem1  43205  inductionexd  44338  sumnnodd  45818  wallispilem4  46254  stirlinglem3  46262  stirlinglem7  46266  stirlinglem10  46269  stirlinglem11  46270  dirkertrigeqlem1  46284  dirkertrigeqlem3  46286  dirkertrigeq  46287  dirkercncflem2  46290  fourierswlem  46416  fouriersw  46417  etransclem3  46423  etransclem7  46427  etransclem10  46430  etransclem25  46445  etransclem26  46446  etransclem27  46447  etransclem28  46448  etransclem35  46455  etransclem37  46457  etransclem44  46464  etransclem45  46465  minusmodnep2tmod  47541  modmkpkne  47549  modmknepk  47550  fmtnoprmfac2lem1  47754  fmtno4prmfac  47760  2pwp1prm  47777  mod42tp1mod8  47790  lighneallem4b  47797  lighneallem4  47798  m2even  47842  fppr2odd  47919  gpg3kgrtriexlem3  48273  gpg3kgrtriexlem6  48276  2zlidl  48428  dignn0fr  48789  dignn0flhalflem1  48803