Theorem zmulcld 12651

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   · cmul 11080  ℤcz 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13798  flhalf  13799  quoremz  13824  intfracq  13828  zmodcl  13860  modmul1  13896  sqoddm1div8  14215  eirrlem  16179  modmulconst  16265  dvds2ln  16266  dvdsexp2im  16304  dvdsmod  16306  3dvds  16308  even2n  16319  mod2eq1n2dvds  16324  2tp1odd  16329  ltoddhalfle  16338  m1expo  16352  m1exp1  16353  modremain  16385  flodddiv4  16392  bits0e  16406  bits0o  16407  bitsp1e  16409  bitsp1o  16410  bitsmod  16413  bitscmp  16415  bitsinv1lem  16418  bitsuz  16451  bitsshft  16452  smumullem  16469  smumul  16470  gcdmultipled  16511  bezoutlem3  16518  bezoutlem4  16519  mulgcd  16525  dvdsmulgcd  16533  bezoutr  16545  lcmgcdlem  16583  mulgcddvds  16632  rpmulgcd2  16633  coprmprod  16638  divgcdcoprm0  16642  cncongr1  16644  cncongr2  16645  exprmfct  16681  prmdvdsbc  16703  hashdvds  16752  eulerthlem1  16758  eulerthlem2  16759  prmdiv  16762  prmdiveq  16763  pcpremul  16821  pcqmul  16831  pcaddlem  16866  prmpwdvds  16882  4sqlem5  16920  4sqlem10  16925  4sqlem14  16936  mulgass  19050  mulgmodid  19052  odmod  19483  odmulgid  19491  odbezout  19495  gexdvds  19521  odadd1  19785  odadd2  19786  torsubg  19791  ablfacrp  20005  pgpfac1lem2  20014  pgpfac1lem3a  20015  pgpfac1lem3  20016  ablsimpgfindlem1  20046  pzriprnglem6  21403  pzriprnglem8  21405  pzriprnglem12  21409  znunit  21480  znrrg  21482  dyaddisjlem  25503  elqaalem3  26236  aalioulem1  26247  aaliou3lem2  26258  aaliou3lem8  26260  mpodvdsmulf1o  27111  dvdsmulf1o  27113  lgsdirprm  27249  lgsdir  27250  lgsdilem2  27251  lgsdi  27252  gausslemma2dlem1a  27283  gausslemma2dlem5a  27288  gausslemma2dlem5  27289  gausslemma2dlem6  27290  gausslemma2dlem7  27291  gausslemma2d  27292  lgseisenlem1  27293  lgseisenlem2  27294  lgseisenlem3  27295  lgseisenlem4  27296  lgsquadlem1  27298  lgsquad2lem1  27302  lgsquad3  27305  2lgslem1a1  27307  2lgslem1a2  27308  2lgslem1b  27310  2lgslem3b1  27319  2lgslem3c1  27320  2lgsoddprmlem2  27327  2sqlem3  27338  2sqlem4  27339  2sqblem  27349  2sqmod  27354  ex-ind-dvds  30397  elrgspnlem2  33201  zringfrac  33532  cos9thpiminplylem2  33780  qqhghm  33985  qqhrhm  33986  breprexplemc  34630  circlemeth  34638  knoppndvlem2  36508  lcmineqlem6  42029  lcmineqlem14  42037  lcmineqlem18  42041  lcmineqlem21  42044  lcmineqlem22  42045  aks4d1p8d2  42080  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  primrootscoprmpow  42094  posbezout  42095  primrootscoprbij  42097  primrootspoweq0  42101  aks6d1c3  42118  aks6d1c4  42119  2np3bcnp1  42139  aks6d1c6lem3  42167  aks6d1c6lem4  42168  aks6d1c6lem5  42172  pellexlem5  42828  pellexlem6  42829  pell1234qrmulcl  42850  congmul  42963  jm2.18  42984  jm2.19lem1  42985  jm2.19lem2  42986  jm2.19lem3  42987  jm2.19lem4  42988  jm2.22  42991  jm2.23  42992  jm2.20nn  42993  jm2.25  42995  jm2.15nn0  42999  jm2.16nn0  43000  jm2.27c  43003  jm3.1lem3  43015  jm3.1  43016  expdiophlem1  43017  inductionexd  44151  sumnnodd  45635  wallispilem4  46073  stirlinglem3  46081  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  dirkertrigeqlem1  46103  dirkertrigeqlem3  46105  dirkertrigeq  46106  dirkercncflem2  46109  fourierswlem  46235  fouriersw  46236  etransclem3  46242  etransclem7  46246  etransclem10  46249  etransclem25  46264  etransclem26  46265  etransclem27  46266  etransclem28  46267  etransclem35  46274  etransclem37  46276  etransclem44  46283  etransclem45  46284  minusmodnep2tmod  47358  modmkpkne  47366  modmknepk  47367  fmtnoprmfac2lem1  47571  fmtno4prmfac  47577  2pwp1prm  47594  mod42tp1mod8  47607  lighneallem4b  47614  lighneallem4  47615  m2even  47659  fppr2odd  47736  gpg3kgrtriexlem3  48080  gpg3kgrtriexlem6  48083  2zlidl  48232  dignn0fr  48594  dignn0flhalflem1  48608