Theorem zmulcld 12583

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   · cmul 11011  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13733  flhalf  13734  quoremz  13759  intfracq  13763  zmodcl  13795  modmul1  13831  sqoddm1div8  14150  eirrlem  16113  modmulconst  16199  dvds2ln  16200  dvdsexp2im  16238  dvdsmod  16240  3dvds  16242  even2n  16253  mod2eq1n2dvds  16258  2tp1odd  16263  ltoddhalfle  16272  m1expo  16286  m1exp1  16287  modremain  16319  flodddiv4  16326  bits0e  16340  bits0o  16341  bitsp1e  16343  bitsp1o  16344  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  bitsuz  16385  bitsshft  16386  smumullem  16403  smumul  16404  gcdmultipled  16445  bezoutlem3  16452  bezoutlem4  16453  mulgcd  16459  dvdsmulgcd  16467  bezoutr  16479  lcmgcdlem  16517  mulgcddvds  16566  rpmulgcd2  16567  coprmprod  16572  divgcdcoprm0  16576  cncongr1  16578  cncongr2  16579  exprmfct  16615  prmdvdsbc  16637  hashdvds  16686  eulerthlem1  16692  eulerthlem2  16693  prmdiv  16696  prmdiveq  16697  pcpremul  16755  pcqmul  16765  pcaddlem  16800  prmpwdvds  16816  4sqlem5  16854  4sqlem10  16859  4sqlem14  16870  mulgass  19024  mulgmodid  19026  odmod  19458  odmulgid  19466  odbezout  19470  gexdvds  19496  odadd1  19760  odadd2  19761  torsubg  19766  ablfacrp  19980  pgpfac1lem2  19989  pgpfac1lem3a  19990  pgpfac1lem3  19991  ablsimpgfindlem1  20021  pzriprnglem6  21423  pzriprnglem8  21425  pzriprnglem12  21429  znunit  21500  znrrg  21502  dyaddisjlem  25523  elqaalem3  26256  aalioulem1  26267  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem8  26280  mpodvdsmulf1o  27131  dvdsmulf1o  27133  lgsdirprm  27269  lgsdir  27270  lgsdilem2  27271  lgsdi  27272  gausslemma2dlem1a  27303  gausslemma2dlem5a  27308  gausslemma2dlem5  27309  gausslemma2dlem6  27310  gausslemma2dlem7  27311  gausslemma2d  27312  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgseisenlem3  27315  lgseisenlem4  27316  lgsquadlem1  27318  lgsquad2lem1  27322  lgsquad3  27325  2lgslem1a1  27327  2lgslem1a2  27328  2lgslem1b  27330  2lgslem3b1  27339  2lgslem3c1  27340  2lgsoddprmlem2  27347  2sqlem3  27358  2sqlem4  27359  2sqblem  27369  2sqmod  27374  ex-ind-dvds  30441  elrgspnlem2  33210  zringfrac  33519  cos9thpiminplylem2  33796  qqhghm  34001  qqhrhm  34002  breprexplemc  34645  circlemeth  34653  knoppndvlem2  36557  lcmineqlem6  42137  lcmineqlem14  42145  lcmineqlem18  42149  lcmineqlem21  42152  lcmineqlem22  42153  aks4d1p8d2  42188  aks4d1p8  42190  aks4d1p9  42191  primrootscoprmpow  42202  posbezout  42203  primrootscoprbij  42205  primrootspoweq0  42209  aks6d1c3  42226  aks6d1c4  42227  2np3bcnp1  42247  aks6d1c6lem3  42275  aks6d1c6lem4  42276  aks6d1c6lem5  42280  pellexlem5  42936  pellexlem6  42937  pell1234qrmulcl  42958  congmul  43070  jm2.18  43091  jm2.19lem1  43092  jm2.19lem2  43093  jm2.19lem3  43094  jm2.19lem4  43095  jm2.22  43098  jm2.23  43099  jm2.20nn  43100  jm2.25  43102  jm2.15nn0  43106  jm2.16nn0  43107  jm2.27c  43110  jm3.1lem3  43122  jm3.1  43123  expdiophlem1  43124  inductionexd  44258  sumnnodd  45740  wallispilem4  46176  stirlinglem3  46184  stirlinglem7  46188  stirlinglem10  46191  stirlinglem11  46192  dirkertrigeqlem1  46206  dirkertrigeqlem3  46208  dirkertrigeq  46209  dirkercncflem2  46212  fourierswlem  46338  fouriersw  46339  etransclem3  46345  etransclem7  46349  etransclem10  46352  etransclem25  46367  etransclem26  46368  etransclem27  46369  etransclem28  46370  etransclem35  46377  etransclem37  46379  etransclem44  46386  etransclem45  46387  minusmodnep2tmod  47463  modmkpkne  47471  modmknepk  47472  fmtnoprmfac2lem1  47676  fmtno4prmfac  47682  2pwp1prm  47699  mod42tp1mod8  47712  lighneallem4b  47719  lighneallem4  47720  m2even  47764  fppr2odd  47841  gpg3kgrtriexlem3  48195  gpg3kgrtriexlem6  48198  2zlidl  48350  dignn0fr  48712  dignn0flhalflem1  48726