Theorem zmulcld 12614

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12552	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368   · cmul 11043  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13761  flhalf  13762  quoremz  13787  intfracq  13791  zmodcl  13823  modmul1  13859  sqoddm1div8  14178  eirrlem  16141  modmulconst  16227  dvds2ln  16228  dvdsexp2im  16266  dvdsmod  16268  3dvds  16270  even2n  16281  mod2eq1n2dvds  16286  2tp1odd  16291  ltoddhalfle  16300  m1expo  16314  m1exp1  16315  modremain  16347  flodddiv4  16354  bits0e  16368  bits0o  16369  bitsp1e  16371  bitsp1o  16372  bitsmod  16375  bitscmp  16377  bitsinv1lem  16380  bitsuz  16413  bitsshft  16414  smumullem  16431  smumul  16432  gcdmultipled  16473  bezoutlem3  16480  bezoutlem4  16481  mulgcd  16487  dvdsmulgcd  16495  bezoutr  16507  lcmgcdlem  16545  mulgcddvds  16594  rpmulgcd2  16595  coprmprod  16600  divgcdcoprm0  16604  cncongr1  16606  cncongr2  16607  exprmfct  16643  prmdvdsbc  16665  hashdvds  16714  eulerthlem1  16720  eulerthlem2  16721  prmdiv  16724  prmdiveq  16725  pcpremul  16783  pcqmul  16793  pcaddlem  16828  prmpwdvds  16844  4sqlem5  16882  4sqlem10  16887  4sqlem14  16898  mulgass  19056  mulgmodid  19058  odmod  19490  odmulgid  19498  odbezout  19502  gexdvds  19528  odadd1  19792  odadd2  19793  torsubg  19798  ablfacrp  20012  pgpfac1lem2  20021  pgpfac1lem3a  20022  pgpfac1lem3  20023  ablsimpgfindlem1  20053  pzriprnglem6  21456  pzriprnglem8  21458  pzriprnglem12  21462  znunit  21533  znrrg  21535  dyaddisjlem  25567  elqaalem3  26300  aalioulem1  26311  aaliou3lem2  26322  aaliou3lem8  26324  mpodvdsmulf1o  27175  dvdsmulf1o  27177  lgsdirprm  27313  lgsdir  27314  lgsdilem2  27315  lgsdi  27316  gausslemma2dlem1a  27347  gausslemma2dlem5a  27352  gausslemma2dlem5  27353  gausslemma2dlem6  27354  gausslemma2dlem7  27355  gausslemma2d  27356  lgseisenlem1  27357  lgseisenlem2  27358  lgseisenlem3  27359  lgseisenlem4  27360  lgsquadlem1  27362  lgsquad2lem1  27366  lgsquad3  27369  2lgslem1a1  27371  2lgslem1a2  27372  2lgslem1b  27374  2lgslem3b1  27383  2lgslem3c1  27384  2lgsoddprmlem2  27391  2sqlem3  27402  2sqlem4  27403  2sqblem  27413  2sqmod  27418  ex-ind-dvds  30552  elrgspnlem2  33341  zringfrac  33651  cos9thpiminplylem2  33965  qqhghm  34170  qqhrhm  34171  breprexplemc  34814  circlemeth  34822  knoppndvlem2  36739  lcmineqlem6  42408  lcmineqlem14  42416  lcmineqlem18  42420  lcmineqlem21  42423  lcmineqlem22  42424  aks4d1p8d2  42459  aks4d1p8  42461  aks4d1p9  42462  primrootscoprmpow  42473  posbezout  42474  primrootscoprbij  42476  primrootspoweq0  42480  aks6d1c3  42497  aks6d1c4  42498  2np3bcnp1  42518  aks6d1c6lem3  42546  aks6d1c6lem4  42547  aks6d1c6lem5  42551  pellexlem5  43194  pellexlem6  43195  pell1234qrmulcl  43216  congmul  43328  jm2.18  43349  jm2.19lem1  43350  jm2.19lem2  43351  jm2.19lem3  43352  jm2.19lem4  43353  jm2.22  43356  jm2.23  43357  jm2.20nn  43358  jm2.25  43360  jm2.15nn0  43364  jm2.16nn0  43365  jm2.27c  43368  jm3.1lem3  43380  jm3.1  43381  expdiophlem1  43382  inductionexd  44515  sumnnodd  45994  wallispilem4  46430  stirlinglem3  46438  stirlinglem7  46442  stirlinglem10  46445  stirlinglem11  46446  dirkertrigeqlem1  46460  dirkertrigeqlem3  46462  dirkertrigeq  46463  dirkercncflem2  46466  fourierswlem  46592  fouriersw  46593  etransclem3  46599  etransclem7  46603  etransclem10  46606  etransclem25  46621  etransclem26  46622  etransclem27  46623  etransclem28  46624  etransclem35  46631  etransclem37  46633  etransclem44  46640  etransclem45  46641  minusmodnep2tmod  47717  modmkpkne  47725  modmknepk  47726  fmtnoprmfac2lem1  47930  fmtno4prmfac  47936  2pwp1prm  47953  mod42tp1mod8  47966  lighneallem4b  47973  lighneallem4  47974  m2even  48018  fppr2odd  48095  gpg3kgrtriexlem3  48449  gpg3kgrtriexlem6  48452  2zlidl  48604  dignn0fr  48965  dignn0flhalflem1  48979