Theorem zmulcld 12620

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12558	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   · cmul 11049  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13767  flhalf  13768  quoremz  13793  intfracq  13797  zmodcl  13829  modmul1  13865  sqoddm1div8  14184  eirrlem  16148  modmulconst  16234  dvds2ln  16235  dvdsexp2im  16273  dvdsmod  16275  3dvds  16277  even2n  16288  mod2eq1n2dvds  16293  2tp1odd  16298  ltoddhalfle  16307  m1expo  16321  m1exp1  16322  modremain  16354  flodddiv4  16361  bits0e  16375  bits0o  16376  bitsp1e  16378  bitsp1o  16379  bitsmod  16382  bitscmp  16384  bitsinv1lem  16387  bitsuz  16420  bitsshft  16421  smumullem  16438  smumul  16439  gcdmultipled  16480  bezoutlem3  16487  bezoutlem4  16488  mulgcd  16494  dvdsmulgcd  16502  bezoutr  16514  lcmgcdlem  16552  mulgcddvds  16601  rpmulgcd2  16602  coprmprod  16607  divgcdcoprm0  16611  cncongr1  16613  cncongr2  16614  exprmfct  16650  prmdvdsbc  16672  hashdvds  16721  eulerthlem1  16727  eulerthlem2  16728  prmdiv  16731  prmdiveq  16732  pcpremul  16790  pcqmul  16800  pcaddlem  16835  prmpwdvds  16851  4sqlem5  16889  4sqlem10  16894  4sqlem14  16905  mulgass  19025  mulgmodid  19027  odmod  19460  odmulgid  19468  odbezout  19472  gexdvds  19498  odadd1  19762  odadd2  19763  torsubg  19768  ablfacrp  19982  pgpfac1lem2  19991  pgpfac1lem3a  19992  pgpfac1lem3  19993  ablsimpgfindlem1  20023  pzriprnglem6  21428  pzriprnglem8  21430  pzriprnglem12  21434  znunit  21505  znrrg  21507  dyaddisjlem  25529  elqaalem3  26262  aalioulem1  26273  aaliou3lem2  26284  aaliou3lem8  26286  mpodvdsmulf1o  27137  dvdsmulf1o  27139  lgsdirprm  27275  lgsdir  27276  lgsdilem2  27277  lgsdi  27278  gausslemma2dlem1a  27309  gausslemma2dlem5a  27314  gausslemma2dlem5  27315  gausslemma2dlem6  27316  gausslemma2dlem7  27317  gausslemma2d  27318  lgseisenlem1  27319  lgseisenlem2  27320  lgseisenlem3  27321  lgseisenlem4  27322  lgsquadlem1  27324  lgsquad2lem1  27328  lgsquad3  27331  2lgslem1a1  27333  2lgslem1a2  27334  2lgslem1b  27336  2lgslem3b1  27345  2lgslem3c1  27346  2lgsoddprmlem2  27353  2sqlem3  27364  2sqlem4  27365  2sqblem  27375  2sqmod  27380  ex-ind-dvds  30440  elrgspnlem2  33210  zringfrac  33518  cos9thpiminplylem2  33766  qqhghm  33971  qqhrhm  33972  breprexplemc  34616  circlemeth  34624  knoppndvlem2  36494  lcmineqlem6  42015  lcmineqlem14  42023  lcmineqlem18  42027  lcmineqlem21  42030  lcmineqlem22  42031  aks4d1p8d2  42066  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  primrootscoprmpow  42080  posbezout  42081  primrootscoprbij  42083  primrootspoweq0  42087  aks6d1c3  42104  aks6d1c4  42105  2np3bcnp1  42125  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c6lem4  42154  aks6d1c6lem5  42158  pellexlem5  42814  pellexlem6  42815  pell1234qrmulcl  42836  congmul  42949  jm2.18  42970  jm2.19lem1  42971  jm2.19lem2  42972  jm2.19lem3  42973  jm2.19lem4  42974  jm2.22  42977  jm2.23  42978  jm2.20nn  42979  jm2.25  42981  jm2.15nn0  42985  jm2.16nn0  42986  jm2.27c  42989  jm3.1lem3  43001  jm3.1  43002  expdiophlem1  43003  inductionexd  44137  sumnnodd  45621  wallispilem4  46059  stirlinglem3  46067  stirlinglem7  46071  stirlinglem10  46074  stirlinglem11  46075  dirkertrigeqlem1  46089  dirkertrigeqlem3  46091  dirkertrigeq  46092  dirkercncflem2  46095  fourierswlem  46221  fouriersw  46222  etransclem3  46228  etransclem7  46232  etransclem10  46235  etransclem25  46250  etransclem26  46251  etransclem27  46252  etransclem28  46253  etransclem35  46260  etransclem37  46262  etransclem44  46269  etransclem45  46270  minusmodnep2tmod  47347  modmkpkne  47355  modmknepk  47356  fmtnoprmfac2lem1  47560  fmtno4prmfac  47566  2pwp1prm  47583  mod42tp1mod8  47596  lighneallem4b  47603  lighneallem4  47604  m2even  47648  fppr2odd  47725  gpg3kgrtriexlem3  48069  gpg3kgrtriexlem6  48072  2zlidl  48221  dignn0fr  48583  dignn0flhalflem1  48597