Theorem zmulcld 12628

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12565	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358   · cmul 11032  ℤcz 12513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  13777  flhalf  13778  quoremz  13803  intfracq  13807  zmodcl  13839  modmul1  13875  sqoddm1div8  14194  eirrlem  16160  modmulconst  16246  dvds2ln  16247  dvdsexp2im  16285  dvdsmod  16287  3dvds  16289  even2n  16300  mod2eq1n2dvds  16305  2tp1odd  16310  ltoddhalfle  16319  m1expo  16333  m1exp1  16334  modremain  16366  flodddiv4  16373  bits0e  16387  bits0o  16388  bitsp1e  16390  bitsp1o  16391  bitsmod  16394  bitscmp  16396  bitsinv1lem  16399  bitsuz  16432  bitsshft  16433  smumullem  16450  smumul  16451  gcdmultipled  16492  bezoutlem3  16499  bezoutlem4  16500  mulgcd  16506  dvdsmulgcd  16514  bezoutr  16526  lcmgcdlem  16564  mulgcddvds  16613  rpmulgcd2  16614  coprmprod  16619  divgcdcoprm0  16623  cncongr1  16625  cncongr2  16626  exprmfct  16663  prmdvdsbc  16685  hashdvds  16734  eulerthlem1  16740  eulerthlem2  16741  prmdiv  16744  prmdiveq  16745  pcpremul  16803  pcqmul  16813  pcaddlem  16848  prmpwdvds  16864  4sqlem5  16902  4sqlem10  16907  4sqlem14  16918  mulgass  19076  mulgmodid  19078  odmod  19510  odmulgid  19518  odbezout  19522  gexdvds  19548  odadd1  19812  odadd2  19813  torsubg  19818  ablfacrp  20032  pgpfac1lem2  20041  pgpfac1lem3a  20042  pgpfac1lem3  20043  ablsimpgfindlem1  20073  pzriprnglem6  21474  pzriprnglem8  21476  pzriprnglem12  21480  znunit  21551  znrrg  21553  dyaddisjlem  25570  elqaalem3  26296  aalioulem1  26307  aaliou3lem2  26318  aaliou3lem8  26320  mpodvdsmulf1o  27169  dvdsmulf1o  27171  lgsdirprm  27306  lgsdir  27307  lgsdilem2  27308  lgsdi  27309  gausslemma2dlem1a  27340  gausslemma2dlem5a  27345  gausslemma2dlem5  27346  gausslemma2dlem6  27347  gausslemma2dlem7  27348  gausslemma2d  27349  lgseisenlem1  27350  lgseisenlem2  27351  lgseisenlem3  27352  lgseisenlem4  27353  lgsquadlem1  27355  lgsquad2lem1  27359  lgsquad3  27362  2lgslem1a1  27364  2lgslem1a2  27365  2lgslem1b  27367  2lgslem3b1  27376  2lgslem3c1  27377  2lgsoddprmlem2  27384  2sqlem3  27395  2sqlem4  27396  2sqblem  27406  2sqmod  27411  ex-ind-dvds  30544  elrgspnlem2  33317  zringfrac  33627  cos9thpiminplylem2  33941  qqhghm  34146  qqhrhm  34147  breprexplemc  34790  circlemeth  34798  knoppndvlem2  36779  lcmineqlem6  42477  lcmineqlem14  42485  lcmineqlem18  42489  lcmineqlem21  42492  lcmineqlem22  42493  aks4d1p8d2  42528  aks4d1p8  42530  aks4d1p9  42531  primrootscoprmpow  42542  posbezout  42543  primrootscoprbij  42545  primrootspoweq0  42549  aks6d1c3  42566  aks6d1c4  42567  2np3bcnp1  42587  aks6d1c6lem3  42615  aks6d1c6lem4  42616  aks6d1c6lem5  42620  pellexlem5  43269  pellexlem6  43270  pell1234qrmulcl  43291  congmul  43403  jm2.18  43424  jm2.19lem1  43425  jm2.19lem2  43426  jm2.19lem3  43427  jm2.19lem4  43428  jm2.22  43431  jm2.23  43432  jm2.20nn  43433  jm2.25  43435  jm2.15nn0  43439  jm2.16nn0  43440  jm2.27c  43443  jm3.1lem3  43455  jm3.1  43456  expdiophlem1  43457  inductionexd  44590  sumnnodd  46068  wallispilem4  46504  stirlinglem3  46512  stirlinglem7  46516  stirlinglem10  46519  stirlinglem11  46520  dirkertrigeqlem1  46534  dirkertrigeqlem3  46536  dirkertrigeq  46537  dirkercncflem2  46540  fourierswlem  46666  fouriersw  46667  etransclem3  46673  etransclem7  46677  etransclem10  46680  etransclem25  46695  etransclem26  46696  etransclem27  46697  etransclem28  46698  etransclem35  46705  etransclem37  46707  etransclem44  46714  etransclem45  46715  minusmodnep2tmod  47809  modmkpkne  47817  modmknepk  47818  fmtnoprmfac2lem1  48031  fmtno4prmfac  48037  2pwp1prm  48054  mod42tp1mod8  48067  lighneallem4b  48074  lighneallem4  48075  nprmdvdsfacm1lem4  48088  ppivalnnprm  48090  m2even  48132  fppr2odd  48209  gpg3kgrtriexlem3  48563  gpg3kgrtriexlem6  48566  2zlidl  48718  dignn0fr  49079  dignn0flhalflem1  49093