Theorem facmapnn 14286

Description: The factorial function restricted to positive integers is a mapping from the positive integers to the positive integers. (Contributed by AV, 8-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
facmapnn	⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑛)) ∈ (ℕ ↑m ℕ)

Proof of Theorem facmapnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑛))
2		nnnn0 12519	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14285	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
4	1, 3	fmpti 7127	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑛)):ℕ⟶ℕ
5		nnex 12258	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
6	5, 5	elmap 8898	. 2 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑛)) ∈ (ℕ ↑m ℕ) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑛)):ℕ⟶ℕ)
7	4, 6	mpbir 230	1 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑛)) ∈ (ℕ ↑m ℕ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑_m cmap 8853  ℕcn 12252  !cfa 14274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-seq 14009  df-fac 14275

This theorem is referenced by:  prmgap  17037