Theorem faccld 13850

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 13849. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13849	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  !cfa 13839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-fac 13840

This theorem is referenced by:  facmapnn  13851  facwordi  13855  faclbnd  13856  faclbnd6  13865  facavg  13867  bcrpcl  13874  bccmpl  13875  bcn1  13879  bcm1k  13881  bcp1n  13882  bcval5  13884  permnn  13892  hashf1  14023  hashfac  14024  bcfallfac  15606  efcllem  15639  eftlub  15670  eirrlem  15765  dvdsfac  15887  lcmflefac  16205  pcbc  16453  infpnlem1  16463  infpnlem2  16464  prmgaplem1  16602  prmgaplem2  16603  2expltfac  16646  gexcl3  18976  aaliou3lem1  25235  aaliou3lem2  25236  aaliou3lem3  25237  aaliou3lem8  25238  aaliou3lem5  25240  aaliou3lem6  25241  taylfvallem1  25249  tayl0  25254  taylply2  25260  taylply  25261  dvtaylp  25262  taylthlem2  25266  advlogexp  25543  birthdaylem2  25835  wilthlem3  25952  wilthimp  25954  chtublem  26092  logfacubnd  26102  logfaclbnd  26103  logfacbnd3  26104  logexprlim  26106  bposlem3  26167  gausslemma2dlem0c  26239  gausslemma2dlem6  26253  gausslemma2dlem7  26254  prmdvdsbc  30850  2np3bcnp1  39822  mccllem  42813  dvnprodlem2  43163  etransclem14  43464  etransclem15  43465  etransclem20  43470  etransclem21  43471  etransclem22  43472  etransclem23  43473  etransclem24  43474  etransclem25  43475  etransclem28  43478  etransclem31  43481  etransclem32  43482  etransclem33  43483  etransclem34  43484  etransclem35  43485  etransclem37  43487  etransclem38  43488  etransclem41  43491  etransclem44  43494  etransclem45  43495  etransclem47  43497  etransclem48  43498