Theorem faccld 14209

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14208. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14208	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  !cfa 14198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-seq 13927  df-fac 14199

This theorem is referenced by:  facmapnn  14210  facwordi  14214  faclbnd  14215  faclbnd6  14224  facavg  14226  bcrpcl  14233  bccmpl  14234  bcn1  14238  bcm1k  14240  bcp1n  14241  bcval5  14243  permnn  14251  hashf1  14382  hashfac  14383  bcfallfac  15969  efcllem  16002  eftlub  16036  eirrlem  16131  dvdsfac  16255  lcmflefac  16577  prmdvdsbc  16655  pcbc  16830  infpnlem1  16840  infpnlem2  16841  prmgaplem1  16979  prmgaplem2  16980  2expltfac  17022  gexcl3  19484  aaliou3lem1  26266  aaliou3lem2  26267  aaliou3lem3  26268  aaliou3lem8  26269  aaliou3lem5  26271  aaliou3lem6  26272  taylfvallem1  26280  tayl0  26285  taylply2  26291  taylply2OLD  26292  taylply  26293  dvtaylp  26294  taylthlem2  26298  taylthlem2OLD  26299  advlogexp  26580  birthdaylem2  26878  wilthlem3  26996  wilthimp  26998  chtublem  27138  logfacubnd  27148  logfaclbnd  27149  logfacbnd3  27150  logexprlim  27152  bposlem3  27213  gausslemma2dlem0c  27285  gausslemma2dlem6  27299  gausslemma2dlem7  27300  2np3bcnp1  42120  bcled  42154  bcle2d  42155  mccllem  45582  dvnprodlem2  45932  etransclem14  46233  etransclem15  46234  etransclem20  46239  etransclem21  46240  etransclem22  46241  etransclem23  46242  etransclem24  46243  etransclem25  46244  etransclem28  46247  etransclem31  46250  etransclem32  46251  etransclem33  46252  etransclem34  46253  etransclem35  46254  etransclem37  46256  etransclem38  46257  etransclem41  46260  etransclem44  46263  etransclem45  46264  etransclem47  46266  etransclem48  46267