Theorem faccld 14256

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14255. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14255	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  !cfa 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-fac 14246

This theorem is referenced by:  facmapnn  14257  facwordi  14261  faclbnd  14262  faclbnd6  14271  facavg  14273  bcrpcl  14280  bccmpl  14281  bcn1  14285  bcm1k  14287  bcp1n  14288  bcval5  14290  permnn  14298  hashf1  14429  hashfac  14430  bcfallfac  16017  efcllem  16050  eftlub  16084  eirrlem  16179  dvdsfac  16303  lcmflefac  16625  prmdvdsbc  16703  pcbc  16878  infpnlem1  16888  infpnlem2  16889  prmgaplem1  17027  prmgaplem2  17028  2expltfac  17070  gexcl3  19524  aaliou3lem1  26257  aaliou3lem2  26258  aaliou3lem3  26259  aaliou3lem8  26260  aaliou3lem5  26262  aaliou3lem6  26263  taylfvallem1  26271  tayl0  26276  taylply2  26282  taylply2OLD  26283  taylply  26284  dvtaylp  26285  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  advlogexp  26571  birthdaylem2  26869  wilthlem3  26987  wilthimp  26989  chtublem  27129  logfacubnd  27139  logfaclbnd  27140  logfacbnd3  27141  logexprlim  27143  bposlem3  27204  gausslemma2dlem0c  27276  gausslemma2dlem6  27290  gausslemma2dlem7  27291  2np3bcnp1  42139  bcled  42173  bcle2d  42174  mccllem  45602  dvnprodlem2  45952  etransclem14  46253  etransclem15  46254  etransclem20  46259  etransclem21  46260  etransclem22  46261  etransclem23  46262  etransclem24  46263  etransclem25  46264  etransclem28  46267  etransclem31  46270  etransclem32  46271  etransclem33  46272  etransclem34  46273  etransclem35  46274  etransclem37  46276  etransclem38  46277  etransclem41  46280  etransclem44  46283  etransclem45  46284  etransclem47  46286  etransclem48  46287