Theorem faccld 13645

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 13644. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13644	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  !cfa 13634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-fac 13635

This theorem is referenced by:  facmapnn  13646  facwordi  13650  faclbnd  13651  faclbnd6  13660  facavg  13662  bcrpcl  13669  bccmpl  13670  bcn1  13674  bcm1k  13676  bcp1n  13677  bcval5  13679  permnn  13687  hashf1  13816  hashfac  13817  bcfallfac  15398  efcllem  15431  eftlub  15462  eirrlem  15557  dvdsfac  15676  lcmflefac  15992  pcbc  16236  infpnlem1  16246  infpnlem2  16247  prmgaplem1  16385  prmgaplem2  16386  2expltfac  16426  gexcl3  18712  aaliou3lem1  24931  aaliou3lem2  24932  aaliou3lem3  24933  aaliou3lem8  24934  aaliou3lem5  24936  aaliou3lem6  24937  taylfvallem1  24945  tayl0  24950  taylply2  24956  taylply  24957  dvtaylp  24958  taylthlem2  24962  advlogexp  25238  birthdaylem2  25530  wilthlem3  25647  wilthimp  25649  chtublem  25787  logfacubnd  25797  logfaclbnd  25798  logfacbnd3  25799  logexprlim  25801  bposlem3  25862  gausslemma2dlem0c  25934  gausslemma2dlem6  25948  gausslemma2dlem7  25949  prmdvdsbc  30532  mccllem  41898  dvnprodlem2  42252  etransclem14  42553  etransclem15  42554  etransclem20  42559  etransclem21  42560  etransclem22  42561  etransclem23  42562  etransclem24  42563  etransclem25  42564  etransclem28  42567  etransclem31  42570  etransclem32  42571  etransclem33  42572  etransclem34  42573  etransclem35  42574  etransclem37  42576  etransclem38  42577  etransclem41  42580  etransclem44  42583  etransclem45  42584  etransclem47  42586  etransclem48  42587