Theorem faccld 14348

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14347. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14347	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  !cfa 14337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-fac 14338

This theorem is used by:  facmapnn  14349  facwordi  14353  faclbnd  14354  faclbnd6  14363  facavg  14365  bcrpcl  14372  bccmpl  14373  bcn1  14377  bcm1k  14379  bcp1n  14380  bcval5  14382  permnn  14390  hashf1  14522  hashfac  14523  bcfallfac  16130  efcllem  16163  eftlub  16197  eirrlem  16292  dvdsfac  16416  lcmflefac  16738  prmdvdsbc  16817  pcbc  16992  infpnlem1  17002  infpnlem2  17003  prmgaplem1  17141  prmgaplem2  17142  2expltfac  17184  gexcl3  19714  aaliou3lem1  26578  aaliou3lem2  26579  aaliou3lem3  26580  aaliou3lem8  26581  aaliou3lem5  26583  aaliou3lem6  26584  taylfvallem1  26593  tayl0  26598  taylply2  26604  taylply  26605  dvtaylp  26606  taylthlem2  26610  advlogexp  26892  birthdaylem2  27189  wilthlem3  27306  wilthimp  27308  chtublem  27447  logfacubnd  27457  logfaclbnd  27458  logfacbnd3  27459  logexprlim  27461  bposlem3  27522  gausslemma2dlem0c  27594  gausslemma2dlem6  27608  gausslemma2dlem7  27609  2np3bcnp1  43010  bcled  43044  bcle2d  43045  mccllem  46427  dvnprodlem2  46775  etransclem14  47076  etransclem15  47077  etransclem20  47082  etransclem21  47083  etransclem22  47084  etransclem23  47085  etransclem24  47086  etransclem25  47087  etransclem28  47090  etransclem31  47093  etransclem32  47094  etransclem33  47095  etransclem34  47096  etransclem35  47097  etransclem37  47099  etransclem38  47100  etransclem41  47103  etransclem44  47106  etransclem45  47107  etransclem47  47109  etransclem48  47110  muldvdsfacm1  48275  nprmdvdsfacm1lem4  48526  ppivalnnprm  48528  ppivalnnnprmge6  48529