Theorem faccld 14210

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14209. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14209	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  !cfa 14199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-seq 13928  df-fac 14200

This theorem is referenced by:  facmapnn  14211  facwordi  14215  faclbnd  14216  faclbnd6  14225  facavg  14227  bcrpcl  14234  bccmpl  14235  bcn1  14239  bcm1k  14241  bcp1n  14242  bcval5  14244  permnn  14252  hashf1  14383  hashfac  14384  bcfallfac  15970  efcllem  16003  eftlub  16037  eirrlem  16132  dvdsfac  16256  lcmflefac  16578  prmdvdsbc  16656  pcbc  16831  infpnlem1  16841  infpnlem2  16842  prmgaplem1  16980  prmgaplem2  16981  2expltfac  17023  gexcl3  19485  aaliou3lem1  26267  aaliou3lem2  26268  aaliou3lem3  26269  aaliou3lem8  26270  aaliou3lem5  26272  aaliou3lem6  26273  taylfvallem1  26281  tayl0  26286  taylply2  26292  taylply2OLD  26293  taylply  26294  dvtaylp  26295  taylthlem2  26299  taylthlem2OLD  26300  advlogexp  26581  birthdaylem2  26879  wilthlem3  26997  wilthimp  26999  chtublem  27139  logfacubnd  27149  logfaclbnd  27150  logfacbnd3  27151  logexprlim  27153  bposlem3  27214  gausslemma2dlem0c  27286  gausslemma2dlem6  27300  gausslemma2dlem7  27301  2np3bcnp1  42137  bcled  42171  bcle2d  42172  mccllem  45598  dvnprodlem2  45948  etransclem14  46249  etransclem15  46250  etransclem20  46255  etransclem21  46256  etransclem22  46257  etransclem23  46258  etransclem24  46259  etransclem25  46260  etransclem28  46263  etransclem31  46266  etransclem32  46267  etransclem33  46268  etransclem34  46269  etransclem35  46270  etransclem37  46272  etransclem38  46273  etransclem41  46276  etransclem44  46279  etransclem45  46280  etransclem47  46282  etransclem48  46283