Theorem faccld 14279

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14278. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14278	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  !cfa 14268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-fac 14269

This theorem is referenced by:  facmapnn  14280  facwordi  14284  faclbnd  14285  faclbnd6  14294  facavg  14296  bcrpcl  14303  bccmpl  14304  bcn1  14308  bcm1k  14310  bcp1n  14311  bcval5  14313  permnn  14321  hashf1  14454  hashfac  14455  bcfallfac  16024  efcllem  16057  eftlub  16089  eirrlem  16184  dvdsfac  16306  lcmflefac  16622  prmdvdsbc  16701  pcbc  16872  infpnlem1  16882  infpnlem2  16883  prmgaplem1  17021  prmgaplem2  17022  2expltfac  17065  gexcl3  19554  aaliou3lem1  26322  aaliou3lem2  26323  aaliou3lem3  26324  aaliou3lem8  26325  aaliou3lem5  26327  aaliou3lem6  26328  taylfvallem1  26336  tayl0  26341  taylply2  26347  taylply2OLD  26348  taylply  26349  dvtaylp  26350  taylthlem2  26354  taylthlem2OLD  26355  advlogexp  26634  birthdaylem2  26929  wilthlem3  27047  wilthimp  27049  chtublem  27189  logfacubnd  27199  logfaclbnd  27200  logfacbnd3  27201  logexprlim  27203  bposlem3  27264  gausslemma2dlem0c  27336  gausslemma2dlem6  27350  gausslemma2dlem7  27351  2np3bcnp1  41747  bcled  41781  bcle2d  41782  mccllem  45123  dvnprodlem2  45473  etransclem14  45774  etransclem15  45775  etransclem20  45780  etransclem21  45781  etransclem22  45782  etransclem23  45783  etransclem24  45784  etransclem25  45785  etransclem28  45788  etransclem31  45791  etransclem32  45792  etransclem33  45793  etransclem34  45794  etransclem35  45795  etransclem37  45797  etransclem38  45798  etransclem41  45801  etransclem44  45804  etransclem45  45805  etransclem47  45807  etransclem48  45808