Theorem faccld 14207

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14206. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14206	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  !cfa 14196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-fac 14197

This theorem is referenced by:  facmapnn  14208  facwordi  14212  faclbnd  14213  faclbnd6  14222  facavg  14224  bcrpcl  14231  bccmpl  14232  bcn1  14236  bcm1k  14238  bcp1n  14239  bcval5  14241  permnn  14249  hashf1  14380  hashfac  14381  bcfallfac  15967  efcllem  16000  eftlub  16034  eirrlem  16129  dvdsfac  16253  lcmflefac  16575  prmdvdsbc  16653  pcbc  16828  infpnlem1  16838  infpnlem2  16839  prmgaplem1  16977  prmgaplem2  16978  2expltfac  17020  gexcl3  19516  aaliou3lem1  26306  aaliou3lem2  26307  aaliou3lem3  26308  aaliou3lem8  26309  aaliou3lem5  26311  aaliou3lem6  26312  taylfvallem1  26320  tayl0  26325  taylply2  26331  taylply2OLD  26332  taylply  26333  dvtaylp  26334  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  advlogexp  26620  birthdaylem2  26918  wilthlem3  27036  wilthimp  27038  chtublem  27178  logfacubnd  27188  logfaclbnd  27189  logfacbnd3  27190  logexprlim  27192  bposlem3  27253  gausslemma2dlem0c  27325  gausslemma2dlem6  27339  gausslemma2dlem7  27340  2np3bcnp1  42398  bcled  42432  bcle2d  42433  mccllem  45843  dvnprodlem2  46191  etransclem14  46492  etransclem15  46493  etransclem20  46498  etransclem21  46499  etransclem22  46500  etransclem23  46501  etransclem24  46502  etransclem25  46503  etransclem28  46506  etransclem31  46509  etransclem32  46510  etransclem33  46511  etransclem34  46512  etransclem35  46513  etransclem37  46515  etransclem38  46516  etransclem41  46519  etransclem44  46522  etransclem45  46523  etransclem47  46525  etransclem48  46526  nthrucw  47130