Theorem faccld 14323

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14322. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14322	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  !cfa 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-fac 14313

This theorem is referenced by:  facmapnn  14324  facwordi  14328  faclbnd  14329  faclbnd6  14338  facavg  14340  bcrpcl  14347  bccmpl  14348  bcn1  14352  bcm1k  14354  bcp1n  14355  bcval5  14357  permnn  14365  hashf1  14496  hashfac  14497  bcfallfac  16080  efcllem  16113  eftlub  16145  eirrlem  16240  dvdsfac  16363  lcmflefac  16685  prmdvdsbc  16763  pcbc  16938  infpnlem1  16948  infpnlem2  16949  prmgaplem1  17087  prmgaplem2  17088  2expltfac  17130  gexcl3  19605  aaliou3lem1  26384  aaliou3lem2  26385  aaliou3lem3  26386  aaliou3lem8  26387  aaliou3lem5  26389  aaliou3lem6  26390  taylfvallem1  26398  tayl0  26403  taylply2  26409  taylply2OLD  26410  taylply  26411  dvtaylp  26412  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  advlogexp  26697  birthdaylem2  26995  wilthlem3  27113  wilthimp  27115  chtublem  27255  logfacubnd  27265  logfaclbnd  27266  logfacbnd3  27267  logexprlim  27269  bposlem3  27330  gausslemma2dlem0c  27402  gausslemma2dlem6  27416  gausslemma2dlem7  27417  2np3bcnp1  42145  bcled  42179  bcle2d  42180  mccllem  45612  dvnprodlem2  45962  etransclem14  46263  etransclem15  46264  etransclem20  46269  etransclem21  46270  etransclem22  46271  etransclem23  46272  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem28  46277  etransclem31  46280  etransclem32  46281  etransclem33  46282  etransclem34  46283  etransclem35  46284  etransclem37  46286  etransclem38  46287  etransclem41  46290  etransclem44  46293  etransclem45  46294  etransclem47  46296  etransclem48  46297