Theorem faccld 14432

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14431. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14431	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  !cfa 14421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-fac 14422

This theorem is used by:  facmapnn  14433  facwordi  14437  faclbnd  14438  faclbnd6  14447  facavg  14449  bcrpcl  14456  bccmpl  14457  bcn1  14461  bcm1k  14463  bcp1n  14464  bcval5  14466  permnn  14474  hashf1  14606  hashfac  14607  bcfallfac  16216  efcllem  16249  eftlub  16283  eirrlem  16378  dvdsfac  16502  lcmflefac  16829  prmdvdsbc  16908  pcbc  17084  infpnlem1  17094  infpnlem2  17095  prmgaplem1  17233  prmgaplem2  17234  2expltfac  17276  gexcl3  19807  aaliou3lem1  26675  aaliou3lem2  26676  aaliou3lem3  26677  aaliou3lem8  26678  aaliou3lem5  26680  aaliou3lem6  26681  taylfvallem1  26690  tayl0  26695  taylply2  26701  taylply  26702  dvtaylp  26703  taylthlem2  26707  advlogexp  26989  birthdaylem2  27286  wilthlem3  27403  wilthimp  27405  chtublem  27544  logfacubnd  27554  logfaclbnd  27555  logfacbnd3  27556  logexprlim  27558  bposlem3  27619  gausslemma2dlem0c  27691  gausslemma2dlem6  27705  gausslemma2dlem7  27706  2np3bcnp1  43288  bcled  43322  bcle2d  43323  mccllem  46703  dvnprodlem2  47051  etransclem14  47352  etransclem15  47353  etransclem20  47358  etransclem21  47359  etransclem22  47360  etransclem23  47361  etransclem24  47362  etransclem25  47363  etransclem28  47366  etransclem31  47369  etransclem32  47370  etransclem33  47371  etransclem34  47372  etransclem35  47373  etransclem37  47375  etransclem38  47376  etransclem41  47379  etransclem44  47382  etransclem45  47383  etransclem47  47385  etransclem48  47386  muldvdsfacm1  48551  nprmdvdsfacm1lem4  48802  ppivalnnprm  48804  ppivalnnnprmge6  48805