Theorem faccld 14186

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14185. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14185	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  !cfa 14175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-fac 14176

This theorem is referenced by:  facmapnn  14187  facwordi  14191  faclbnd  14192  faclbnd6  14201  facavg  14203  bcrpcl  14210  bccmpl  14211  bcn1  14215  bcm1k  14217  bcp1n  14218  bcval5  14220  permnn  14228  hashf1  14359  hashfac  14360  bcfallfac  15946  efcllem  15979  eftlub  16013  eirrlem  16108  dvdsfac  16232  lcmflefac  16554  prmdvdsbc  16632  pcbc  16807  infpnlem1  16817  infpnlem2  16818  prmgaplem1  16956  prmgaplem2  16957  2expltfac  16999  gexcl3  19494  aaliou3lem1  26272  aaliou3lem2  26273  aaliou3lem3  26274  aaliou3lem8  26275  aaliou3lem5  26277  aaliou3lem6  26278  taylfvallem1  26286  tayl0  26291  taylply2  26297  taylply2OLD  26298  taylply  26299  dvtaylp  26300  taylthlem2  26304  taylthlem2OLD  26305  advlogexp  26586  birthdaylem2  26884  wilthlem3  27002  wilthimp  27004  chtublem  27144  logfacubnd  27154  logfaclbnd  27155  logfacbnd3  27156  logexprlim  27158  bposlem3  27219  gausslemma2dlem0c  27291  gausslemma2dlem6  27305  gausslemma2dlem7  27306  2np3bcnp1  42177  bcled  42211  bcle2d  42212  mccllem  45637  dvnprodlem2  45985  etransclem14  46286  etransclem15  46287  etransclem20  46292  etransclem21  46293  etransclem22  46294  etransclem23  46295  etransclem24  46296  etransclem25  46297  etransclem28  46300  etransclem31  46303  etransclem32  46304  etransclem33  46305  etransclem34  46306  etransclem35  46307  etransclem37  46309  etransclem38  46310  etransclem41  46313  etransclem44  46316  etransclem45  46317  etransclem47  46319  etransclem48  46320