Theorem faccld 13926

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 13925. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13925	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  !cfa 13915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-fac 13916

This theorem is referenced by:  facmapnn  13927  facwordi  13931  faclbnd  13932  faclbnd6  13941  facavg  13943  bcrpcl  13950  bccmpl  13951  bcn1  13955  bcm1k  13957  bcp1n  13958  bcval5  13960  permnn  13968  hashf1  14099  hashfac  14100  bcfallfac  15682  efcllem  15715  eftlub  15746  eirrlem  15841  dvdsfac  15963  lcmflefac  16281  pcbc  16529  infpnlem1  16539  infpnlem2  16540  prmgaplem1  16678  prmgaplem2  16679  2expltfac  16722  gexcl3  19107  aaliou3lem1  25407  aaliou3lem2  25408  aaliou3lem3  25409  aaliou3lem8  25410  aaliou3lem5  25412  aaliou3lem6  25413  taylfvallem1  25421  tayl0  25426  taylply2  25432  taylply  25433  dvtaylp  25434  taylthlem2  25438  advlogexp  25715  birthdaylem2  26007  wilthlem3  26124  wilthimp  26126  chtublem  26264  logfacubnd  26274  logfaclbnd  26275  logfacbnd3  26276  logexprlim  26278  bposlem3  26339  gausslemma2dlem0c  26411  gausslemma2dlem6  26425  gausslemma2dlem7  26426  prmdvdsbc  31032  2np3bcnp1  40028  mccllem  43028  dvnprodlem2  43378  etransclem14  43679  etransclem15  43680  etransclem20  43685  etransclem21  43686  etransclem22  43687  etransclem23  43688  etransclem24  43689  etransclem25  43690  etransclem28  43693  etransclem31  43696  etransclem32  43697  etransclem33  43698  etransclem34  43699  etransclem35  43700  etransclem37  43702  etransclem38  43703  etransclem41  43706  etransclem44  43709  etransclem45  43710  etransclem47  43712  etransclem48  43713