Theorem faccld 14333

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14332. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14332	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  !cfa 14322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-seq 14051  df-fac 14323

This theorem is used by:  facmapnn  14334  facwordi  14338  faclbnd  14339  faclbnd6  14348  facavg  14350  bcrpcl  14357  bccmpl  14358  bcn1  14362  bcm1k  14364  bcp1n  14365  bcval5  14367  permnn  14375  hashf1  14507  hashfac  14508  bcfallfac  16115  efcllem  16148  eftlub  16182  eirrlem  16277  dvdsfac  16401  lcmflefac  16723  prmdvdsbc  16802  pcbc  16977  infpnlem1  16987  infpnlem2  16988  prmgaplem1  17126  prmgaplem2  17127  2expltfac  17169  gexcl3  19680  aaliou3lem1  26534  aaliou3lem2  26535  aaliou3lem3  26536  aaliou3lem8  26537  aaliou3lem5  26539  aaliou3lem6  26540  taylfvallem1  26549  tayl0  26554  taylply2  26560  taylply  26561  dvtaylp  26562  taylthlem2  26566  advlogexp  26849  birthdaylem2  27146  wilthlem3  27263  wilthimp  27265  chtublem  27404  logfacubnd  27414  logfaclbnd  27415  logfacbnd3  27416  logexprlim  27418  bposlem3  27479  gausslemma2dlem0c  27551  gausslemma2dlem6  27565  gausslemma2dlem7  27566  2np3bcnp1  42944  bcled  42978  bcle2d  42979  mccllem  46346  dvnprodlem2  46694  etransclem14  46995  etransclem15  46996  etransclem20  47001  etransclem21  47002  etransclem22  47003  etransclem23  47004  etransclem24  47005  etransclem25  47006  etransclem28  47009  etransclem31  47012  etransclem32  47013  etransclem33  47014  etransclem34  47015  etransclem35  47016  etransclem37  47018  etransclem38  47019  etransclem41  47022  etransclem44  47025  etransclem45  47026  etransclem47  47028  etransclem48  47029  muldvdsfacm1  48157  nprmdvdsfacm1lem4  48408  ppivalnnprm  48410  ppivalnnnprmge6  48411