Theorem faccld 14244

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14243. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  !cfa 14233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-fac 14234

This theorem is referenced by:  facmapnn  14245  facwordi  14249  faclbnd  14250  faclbnd6  14259  facavg  14261  bcrpcl  14268  bccmpl  14269  bcn1  14273  bcm1k  14275  bcp1n  14276  bcval5  14278  permnn  14286  hashf1  14417  hashfac  14418  bcfallfac  16007  efcllem  16040  eftlub  16074  eirrlem  16169  dvdsfac  16293  lcmflefac  16615  prmdvdsbc  16694  pcbc  16869  infpnlem1  16879  infpnlem2  16880  prmgaplem1  17018  prmgaplem2  17019  2expltfac  17061  gexcl3  19560  aaliou3lem1  26333  aaliou3lem2  26334  aaliou3lem3  26335  aaliou3lem8  26336  aaliou3lem5  26338  aaliou3lem6  26339  taylfvallem1  26347  tayl0  26352  taylply2  26358  taylply  26359  dvtaylp  26360  taylthlem2  26364  advlogexp  26644  birthdaylem2  26941  wilthlem3  27058  wilthimp  27060  chtublem  27199  logfacubnd  27209  logfaclbnd  27210  logfacbnd3  27211  logexprlim  27213  bposlem3  27274  gausslemma2dlem0c  27346  gausslemma2dlem6  27360  gausslemma2dlem7  27361  2np3bcnp1  42636  bcled  42670  bcle2d  42671  mccllem  46049  dvnprodlem2  46397  etransclem14  46698  etransclem15  46699  etransclem20  46704  etransclem21  46705  etransclem22  46706  etransclem23  46707  etransclem24  46708  etransclem25  46709  etransclem28  46712  etransclem31  46715  etransclem32  46716  etransclem33  46717  etransclem34  46718  etransclem35  46719  etransclem37  46721  etransclem38  46722  etransclem41  46725  etransclem44  46728  etransclem45  46729  etransclem47  46731  etransclem48  46732  nthrucw  47338  muldvdsfacm1  47857  nprmdvdsfacm1lem4  48108  ppivalnnprm  48110  ppivalnnnprmge6  48111