Theorem faccld 14099

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14098. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14098	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  ℕcn 12074  ℕ₀cn0 12334  !cfa 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-seq 13823  df-fac 14089

This theorem is referenced by:  facmapnn  14100  facwordi  14104  faclbnd  14105  faclbnd6  14114  facavg  14116  bcrpcl  14123  bccmpl  14124  bcn1  14128  bcm1k  14130  bcp1n  14131  bcval5  14133  permnn  14141  hashf1  14271  hashfac  14272  bcfallfac  15853  efcllem  15886  eftlub  15917  eirrlem  16012  dvdsfac  16134  lcmflefac  16450  pcbc  16698  infpnlem1  16708  infpnlem2  16709  prmgaplem1  16847  prmgaplem2  16848  2expltfac  16891  gexcl3  19288  aaliou3lem1  25608  aaliou3lem2  25609  aaliou3lem3  25610  aaliou3lem8  25611  aaliou3lem5  25613  aaliou3lem6  25614  taylfvallem1  25622  tayl0  25627  taylply2  25633  taylply  25634  dvtaylp  25635  taylthlem2  25639  advlogexp  25916  birthdaylem2  26208  wilthlem3  26325  wilthimp  26327  chtublem  26465  logfacubnd  26475  logfaclbnd  26476  logfacbnd3  26477  logexprlim  26479  bposlem3  26540  gausslemma2dlem0c  26612  gausslemma2dlem6  26626  gausslemma2dlem7  26627  prmdvdsbc  31417  2np3bcnp1  40357  mccllem  43474  dvnprodlem2  43824  etransclem14  44125  etransclem15  44126  etransclem20  44131  etransclem21  44132  etransclem22  44133  etransclem23  44134  etransclem24  44135  etransclem25  44136  etransclem28  44139  etransclem31  44142  etransclem32  44143  etransclem33  44144  etransclem34  44145  etransclem35  44146  etransclem37  44148  etransclem38  44149  etransclem41  44152  etransclem44  44155  etransclem45  44156  etransclem47  44158  etransclem48  44159