Theorem faccld 14469

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14468. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14468	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  !cfa 14458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-fac 14459

This theorem is used by:  facmapnn  14470  facwordi  14474  faclbnd  14475  faclbnd6  14484  facavg  14486  bcrpcl  14493  bccmpl  14494  bcn1  14498  bcm1k  14500  bcp1n  14501  bcval5  14503  permnn  14511  hashf1  14643  hashfac  14644  bcfallfac  16254  efcllem  16287  eftlub  16321  eirrlem  16416  dvdsfac  16540  lcmflefac  16867  prmdvdsbc  16946  pcbc  17122  infpnlem1  17132  infpnlem2  17133  prmgaplem1  17271  prmgaplem2  17272  2expltfac  17314  gexcl3  19852  aaliou3lem1  26726  aaliou3lem2  26727  aaliou3lem3  26728  aaliou3lem8  26729  aaliou3lem5  26731  aaliou3lem6  26732  taylfvallem1  26741  tayl0  26746  taylply2  26752  taylply  26753  dvtaylp  26754  taylthlem2  26758  advlogexp  27040  birthdaylem2  27337  wilthlem3  27454  wilthimp  27456  chtublem  27595  logfacubnd  27605  logfaclbnd  27606  logfacbnd3  27607  logexprlim  27609  bposlem3  27670  gausslemma2dlem0c  27742  gausslemma2dlem6  27756  gausslemma2dlem7  27757  2np3bcnp1  43460  bcled  43494  bcle2d  43495  mccllem  46882  dvnprodlem2  47230  etransclem14  47531  etransclem15  47532  etransclem20  47537  etransclem21  47538  etransclem22  47539  etransclem23  47540  etransclem24  47541  etransclem25  47542  etransclem28  47545  etransclem31  47548  etransclem32  47549  etransclem33  47550  etransclem34  47551  etransclem35  47552  etransclem37  47554  etransclem38  47555  etransclem41  47558  etransclem44  47561  etransclem45  47562  etransclem47  47564  etransclem48  47565  muldvdsfacm1  48730  nprmdvdsfacm1lem4  48981  ppivalnnprm  48983  ppivalnnnprmge6  48984