Theorem faccld 14247

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14246. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14246	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  !cfa 14236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-fac 14237

This theorem is referenced by:  facmapnn  14248  facwordi  14252  faclbnd  14253  faclbnd6  14262  facavg  14264  bcrpcl  14271  bccmpl  14272  bcn1  14276  bcm1k  14278  bcp1n  14279  bcval5  14281  permnn  14289  hashf1  14422  hashfac  14423  bcfallfac  15992  efcllem  16025  eftlub  16057  eirrlem  16152  dvdsfac  16274  lcmflefac  16590  prmdvdsbc  16669  pcbc  16840  infpnlem1  16850  infpnlem2  16851  prmgaplem1  16989  prmgaplem2  16990  2expltfac  17033  gexcl3  19505  aaliou3lem1  26228  aaliou3lem2  26229  aaliou3lem3  26230  aaliou3lem8  26231  aaliou3lem5  26233  aaliou3lem6  26234  taylfvallem1  26242  tayl0  26247  taylply2  26253  taylply2OLD  26254  taylply  26255  dvtaylp  26256  taylthlem2  26260  taylthlem2OLD  26261  advlogexp  26540  birthdaylem2  26835  wilthlem3  26953  wilthimp  26955  chtublem  27095  logfacubnd  27105  logfaclbnd  27106  logfacbnd3  27107  logexprlim  27109  bposlem3  27170  gausslemma2dlem0c  27242  gausslemma2dlem6  27256  gausslemma2dlem7  27257  2np3bcnp1  41502  mccllem  44866  dvnprodlem2  45216  etransclem14  45517  etransclem15  45518  etransclem20  45523  etransclem21  45524  etransclem22  45525  etransclem23  45526  etransclem24  45527  etransclem25  45528  etransclem28  45531  etransclem31  45534  etransclem32  45535  etransclem33  45536  etransclem34  45537  etransclem35  45538  etransclem37  45540  etransclem38  45541  etransclem41  45544  etransclem44  45547  etransclem45  45548  etransclem47  45550  etransclem48  45551