Theorem faccld 13998

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 13997. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13997	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  !cfa 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-fac 13988

This theorem is referenced by:  facmapnn  13999  facwordi  14003  faclbnd  14004  faclbnd6  14013  facavg  14015  bcrpcl  14022  bccmpl  14023  bcn1  14027  bcm1k  14029  bcp1n  14030  bcval5  14032  permnn  14040  hashf1  14171  hashfac  14172  bcfallfac  15754  efcllem  15787  eftlub  15818  eirrlem  15913  dvdsfac  16035  lcmflefac  16353  pcbc  16601  infpnlem1  16611  infpnlem2  16612  prmgaplem1  16750  prmgaplem2  16751  2expltfac  16794  gexcl3  19192  aaliou3lem1  25502  aaliou3lem2  25503  aaliou3lem3  25504  aaliou3lem8  25505  aaliou3lem5  25507  aaliou3lem6  25508  taylfvallem1  25516  tayl0  25521  taylply2  25527  taylply  25528  dvtaylp  25529  taylthlem2  25533  advlogexp  25810  birthdaylem2  26102  wilthlem3  26219  wilthimp  26221  chtublem  26359  logfacubnd  26369  logfaclbnd  26370  logfacbnd3  26371  logexprlim  26373  bposlem3  26434  gausslemma2dlem0c  26506  gausslemma2dlem6  26520  gausslemma2dlem7  26521  prmdvdsbc  31130  2np3bcnp1  40100  mccllem  43138  dvnprodlem2  43488  etransclem14  43789  etransclem15  43790  etransclem20  43795  etransclem21  43796  etransclem22  43797  etransclem23  43798  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem28  43803  etransclem31  43806  etransclem32  43807  etransclem33  43808  etransclem34  43809  etransclem35  43810  etransclem37  43812  etransclem38  43813  etransclem41  43816  etransclem44  43819  etransclem45  43820  etransclem47  43822  etransclem48  43823