Theorem faccld 13494

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 13493. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13493	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6225  ℕcn 11486  ℕ₀cn0 11745  !cfa 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-seq 13220  df-fac 13484

This theorem is referenced by:  facmapnn  13495  facwordi  13499  faclbnd  13500  faclbnd6  13509  facavg  13511  bcrpcl  13518  bccmpl  13519  bcn1  13523  bcm1k  13525  bcp1n  13526  bcval5  13528  permnn  13536  hashf1  13663  hashfac  13664  bcfallfac  15231  efcllem  15264  eftlub  15295  eirrlem  15390  dvdsfac  15509  lcmflefac  15821  pcbc  16065  infpnlem1  16075  infpnlem2  16076  prmgaplem1  16214  prmgaplem2  16215  2expltfac  16255  gexcl3  18442  aaliou3lem1  24614  aaliou3lem2  24615  aaliou3lem3  24616  aaliou3lem8  24617  aaliou3lem5  24619  aaliou3lem6  24620  taylfvallem1  24628  tayl0  24633  taylply2  24639  taylply  24640  dvtaylp  24641  taylthlem2  24645  advlogexp  24919  birthdaylem2  25212  wilthlem3  25329  wilthimp  25331  chtublem  25469  logfacubnd  25479  logfaclbnd  25480  logfacbnd3  25481  logexprlim  25483  bposlem3  25544  gausslemma2dlem0c  25616  gausslemma2dlem6  25630  gausslemma2dlem7  25631  prmdvdsbc  30216  mccllem  41439  dvnprodlem2  41793  etransclem14  42095  etransclem15  42096  etransclem20  42101  etransclem21  42102  etransclem22  42103  etransclem23  42104  etransclem24  42105  etransclem25  42106  etransclem28  42109  etransclem31  42112  etransclem32  42113  etransclem33  42114  etransclem34  42115  etransclem35  42116  etransclem37  42118  etransclem38  42119  etransclem41  42122  etransclem44  42125  etransclem45  42126  etransclem47  42128  etransclem48  42129