Theorem faccld 14319

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14318. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14318	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  !cfa 14308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-fac 14309

This theorem is referenced by:  facmapnn  14320  facwordi  14324  faclbnd  14325  faclbnd6  14334  facavg  14336  bcrpcl  14343  bccmpl  14344  bcn1  14348  bcm1k  14350  bcp1n  14351  bcval5  14353  permnn  14361  hashf1  14492  hashfac  14493  bcfallfac  16076  efcllem  16109  eftlub  16141  eirrlem  16236  dvdsfac  16359  lcmflefac  16681  prmdvdsbc  16759  pcbc  16933  infpnlem1  16943  infpnlem2  16944  prmgaplem1  17082  prmgaplem2  17083  2expltfac  17126  gexcl3  19619  aaliou3lem1  26398  aaliou3lem2  26399  aaliou3lem3  26400  aaliou3lem8  26401  aaliou3lem5  26403  aaliou3lem6  26404  taylfvallem1  26412  tayl0  26417  taylply2  26423  taylply2OLD  26424  taylply  26425  dvtaylp  26426  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  advlogexp  26711  birthdaylem2  27009  wilthlem3  27127  wilthimp  27129  chtublem  27269  logfacubnd  27279  logfaclbnd  27280  logfacbnd3  27281  logexprlim  27283  bposlem3  27344  gausslemma2dlem0c  27416  gausslemma2dlem6  27430  gausslemma2dlem7  27431  2np3bcnp1  42125  bcled  42159  bcle2d  42160  mccllem  45552  dvnprodlem2  45902  etransclem14  46203  etransclem15  46204  etransclem20  46209  etransclem21  46210  etransclem22  46211  etransclem23  46212  etransclem24  46213  etransclem25  46214  etransclem28  46217  etransclem31  46220  etransclem32  46221  etransclem33  46222  etransclem34  46223  etransclem35  46224  etransclem37  46226  etransclem38  46227  etransclem41  46230  etransclem44  46233  etransclem45  46234  etransclem47  46236  etransclem48  46237