Theorem faccld 14302

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14301. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14301	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  !cfa 14291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-fac 14292

This theorem is referenced by:  facmapnn  14303  facwordi  14307  faclbnd  14308  faclbnd6  14317  facavg  14319  bcrpcl  14326  bccmpl  14327  bcn1  14331  bcm1k  14333  bcp1n  14334  bcval5  14336  permnn  14344  hashf1  14475  hashfac  14476  bcfallfac  16060  efcllem  16093  eftlub  16127  eirrlem  16222  dvdsfac  16345  lcmflefac  16667  prmdvdsbc  16745  pcbc  16920  infpnlem1  16930  infpnlem2  16931  prmgaplem1  17069  prmgaplem2  17070  2expltfac  17112  gexcl3  19568  aaliou3lem1  26302  aaliou3lem2  26303  aaliou3lem3  26304  aaliou3lem8  26305  aaliou3lem5  26307  aaliou3lem6  26308  taylfvallem1  26316  tayl0  26321  taylply2  26327  taylply2OLD  26328  taylply  26329  dvtaylp  26330  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  advlogexp  26616  birthdaylem2  26914  wilthlem3  27032  wilthimp  27034  chtublem  27174  logfacubnd  27184  logfaclbnd  27185  logfacbnd3  27186  logexprlim  27188  bposlem3  27249  gausslemma2dlem0c  27321  gausslemma2dlem6  27335  gausslemma2dlem7  27336  2np3bcnp1  42157  bcled  42191  bcle2d  42192  mccllem  45626  dvnprodlem2  45976  etransclem14  46277  etransclem15  46278  etransclem20  46283  etransclem21  46284  etransclem22  46285  etransclem23  46286  etransclem24  46287  etransclem25  46288  etransclem28  46291  etransclem31  46294  etransclem32  46295  etransclem33  46296  etransclem34  46297  etransclem35  46298  etransclem37  46300  etransclem38  46301  etransclem41  46304  etransclem44  46307  etransclem45  46308  etransclem47  46310  etransclem48  46311