Theorem faccld 14333

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14332. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14332	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  !cfa 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-fac 14323

This theorem is referenced by:  facmapnn  14334  facwordi  14338  faclbnd  14339  faclbnd6  14348  facavg  14350  bcrpcl  14357  bccmpl  14358  bcn1  14362  bcm1k  14364  bcp1n  14365  bcval5  14367  permnn  14375  hashf1  14506  hashfac  14507  bcfallfac  16092  efcllem  16125  eftlub  16157  eirrlem  16252  dvdsfac  16374  lcmflefac  16695  prmdvdsbc  16773  pcbc  16947  infpnlem1  16957  infpnlem2  16958  prmgaplem1  17096  prmgaplem2  17097  2expltfac  17140  gexcl3  19629  aaliou3lem1  26402  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem3  26404  aaliou3lem8  26405  aaliou3lem5  26407  aaliou3lem6  26408  taylfvallem1  26416  tayl0  26421  taylply2  26427  taylply2OLD  26428  taylply  26429  dvtaylp  26430  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  advlogexp  26715  birthdaylem2  27013  wilthlem3  27131  wilthimp  27133  chtublem  27273  logfacubnd  27283  logfaclbnd  27284  logfacbnd3  27285  logexprlim  27287  bposlem3  27348  gausslemma2dlem0c  27420  gausslemma2dlem6  27434  gausslemma2dlem7  27435  2np3bcnp1  42101  bcled  42135  bcle2d  42136  mccllem  45518  dvnprodlem2  45868  etransclem14  46169  etransclem15  46170  etransclem20  46175  etransclem21  46176  etransclem22  46177  etransclem23  46178  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem28  46183  etransclem31  46186  etransclem32  46187  etransclem33  46188  etransclem34  46189  etransclem35  46190  etransclem37  46192  etransclem38  46193  etransclem41  46196  etransclem44  46199  etransclem45  46200  etransclem47  46202  etransclem48  46203