Theorem faccld 14240

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14239. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  !cfa 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-fac 14230

This theorem is referenced by:  facmapnn  14241  facwordi  14245  faclbnd  14246  faclbnd6  14255  facavg  14257  bcrpcl  14264  bccmpl  14265  bcn1  14269  bcm1k  14271  bcp1n  14272  bcval5  14274  permnn  14282  hashf1  14414  hashfac  14415  bcfallfac  15984  efcllem  16017  eftlub  16048  eirrlem  16143  dvdsfac  16265  lcmflefac  16581  pcbc  16829  infpnlem1  16839  infpnlem2  16840  prmgaplem1  16978  prmgaplem2  16979  2expltfac  17022  gexcl3  19449  aaliou3lem1  25846  aaliou3lem2  25847  aaliou3lem3  25848  aaliou3lem8  25849  aaliou3lem5  25851  aaliou3lem6  25852  taylfvallem1  25860  tayl0  25865  taylply2  25871  taylply  25872  dvtaylp  25873  taylthlem2  25877  advlogexp  26154  birthdaylem2  26446  wilthlem3  26563  wilthimp  26565  chtublem  26703  logfacubnd  26713  logfaclbnd  26714  logfacbnd3  26715  logexprlim  26717  bposlem3  26778  gausslemma2dlem0c  26850  gausslemma2dlem6  26864  gausslemma2dlem7  26865  prmdvdsbc  32009  2np3bcnp1  40948  mccllem  44299  dvnprodlem2  44649  etransclem14  44950  etransclem15  44951  etransclem20  44956  etransclem21  44957  etransclem22  44958  etransclem23  44959  etransclem24  44960  etransclem25  44961  etransclem28  44964  etransclem31  44967  etransclem32  44968  etransclem33  44969  etransclem34  44970  etransclem35  44971  etransclem37  44973  etransclem38  44974  etransclem41  44977  etransclem44  44980  etransclem45  44981  etransclem47  44983  etransclem48  44984