Theorem faccld 14316

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14315. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14315	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  !cfa 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-fac 14306

This theorem is referenced by:  facmapnn  14317  facwordi  14321  faclbnd  14322  faclbnd6  14331  facavg  14333  bcrpcl  14340  bccmpl  14341  bcn1  14345  bcm1k  14347  bcp1n  14348  bcval5  14350  permnn  14358  hashf1  14490  hashfac  14491  bcfallfac  16094  efcllem  16127  eftlub  16161  eirrlem  16256  dvdsfac  16380  lcmflefac  16702  prmdvdsbc  16781  pcbc  16956  infpnlem1  16966  infpnlem2  16967  prmgaplem1  17105  prmgaplem2  17106  2expltfac  17148  gexcl3  19653  aaliou3lem1  26468  aaliou3lem2  26469  aaliou3lem3  26470  aaliou3lem8  26471  aaliou3lem5  26473  aaliou3lem6  26474  taylfvallem1  26482  tayl0  26487  taylply2  26493  taylply  26494  dvtaylp  26495  taylthlem2  26499  advlogexp  26782  birthdaylem2  27079  wilthlem3  27196  wilthimp  27198  chtublem  27337  logfacubnd  27347  logfaclbnd  27348  logfacbnd3  27349  logexprlim  27351  bposlem3  27412  gausslemma2dlem0c  27484  gausslemma2dlem6  27498  gausslemma2dlem7  27499  2np3bcnp1  42796  bcled  42830  bcle2d  42831  mccllem  46198  dvnprodlem2  46546  etransclem14  46847  etransclem15  46848  etransclem20  46853  etransclem21  46854  etransclem22  46855  etransclem23  46856  etransclem24  46857  etransclem25  46858  etransclem28  46861  etransclem31  46864  etransclem32  46865  etransclem33  46866  etransclem34  46867  etransclem35  46868  etransclem37  46870  etransclem38  46871  etransclem41  46874  etransclem44  46877  etransclem45  46878  etransclem47  46880  etransclem48  46881  nthrucw  47487  muldvdsfacm1  48006  nprmdvdsfacm1lem4  48257  ppivalnnprm  48259  ppivalnnnprmge6  48260