Theorem faccld 14421

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14420. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14420	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  !cfa 14410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-fac 14411

This theorem is used by:  facmapnn  14422  facwordi  14426  faclbnd  14427  faclbnd6  14436  facavg  14438  bcrpcl  14445  bccmpl  14446  bcn1  14450  bcm1k  14452  bcp1n  14453  bcval5  14455  permnn  14463  hashf1  14595  hashfac  14596  bcfallfac  16203  efcllem  16236  eftlub  16270  eirrlem  16365  dvdsfac  16489  lcmflefac  16816  prmdvdsbc  16895  pcbc  17071  infpnlem1  17081  infpnlem2  17082  prmgaplem1  17220  prmgaplem2  17221  2expltfac  17263  gexcl3  19794  aaliou3lem1  26662  aaliou3lem2  26663  aaliou3lem3  26664  aaliou3lem8  26665  aaliou3lem5  26667  aaliou3lem6  26668  taylfvallem1  26677  tayl0  26682  taylply2  26688  taylply  26689  dvtaylp  26690  taylthlem2  26694  advlogexp  26976  birthdaylem2  27273  wilthlem3  27390  wilthimp  27392  chtublem  27531  logfacubnd  27541  logfaclbnd  27542  logfacbnd3  27543  logexprlim  27545  bposlem3  27606  gausslemma2dlem0c  27678  gausslemma2dlem6  27692  gausslemma2dlem7  27693  2np3bcnp1  43174  bcled  43208  bcle2d  43209  mccllem  46578  dvnprodlem2  46926  etransclem14  47227  etransclem15  47228  etransclem20  47233  etransclem21  47234  etransclem22  47235  etransclem23  47236  etransclem24  47237  etransclem25  47238  etransclem28  47241  etransclem31  47244  etransclem32  47245  etransclem33  47246  etransclem34  47247  etransclem35  47248  etransclem37  47250  etransclem38  47251  etransclem41  47254  etransclem44  47257  etransclem45  47258  etransclem47  47260  etransclem48  47261  muldvdsfacm1  48426  nprmdvdsfacm1lem4  48677  ppivalnnprm  48679  ppivalnnnprmge6  48680