Theorem faccld 14219

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14218. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14218	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  !cfa 14208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-fac 14209

This theorem is referenced by:  facmapnn  14220  facwordi  14224  faclbnd  14225  faclbnd6  14234  facavg  14236  bcrpcl  14243  bccmpl  14244  bcn1  14248  bcm1k  14250  bcp1n  14251  bcval5  14253  permnn  14261  hashf1  14392  hashfac  14393  bcfallfac  15979  efcllem  16012  eftlub  16046  eirrlem  16141  dvdsfac  16265  lcmflefac  16587  prmdvdsbc  16665  pcbc  16840  infpnlem1  16850  infpnlem2  16851  prmgaplem1  16989  prmgaplem2  16990  2expltfac  17032  gexcl3  19528  aaliou3lem1  26318  aaliou3lem2  26319  aaliou3lem3  26320  aaliou3lem8  26321  aaliou3lem5  26323  aaliou3lem6  26324  taylfvallem1  26332  tayl0  26337  taylply2  26343  taylply2OLD  26344  taylply  26345  dvtaylp  26346  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  advlogexp  26632  birthdaylem2  26930  wilthlem3  27048  wilthimp  27050  chtublem  27190  logfacubnd  27200  logfaclbnd  27201  logfacbnd3  27202  logexprlim  27204  bposlem3  27265  gausslemma2dlem0c  27337  gausslemma2dlem6  27351  gausslemma2dlem7  27352  2np3bcnp1  42511  bcled  42545  bcle2d  42546  mccllem  45954  dvnprodlem2  46302  etransclem14  46603  etransclem15  46604  etransclem20  46609  etransclem21  46610  etransclem22  46611  etransclem23  46612  etransclem24  46613  etransclem25  46614  etransclem28  46617  etransclem31  46620  etransclem32  46621  etransclem33  46622  etransclem34  46623  etransclem35  46624  etransclem37  46626  etransclem38  46627  etransclem41  46630  etransclem44  46633  etransclem45  46634  etransclem47  46636  etransclem48  46637  nthrucw  47241