Theorem faccld 14322

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14321. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14321	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  !cfa 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-fac 14312

This theorem is referenced by:  facmapnn  14323  facwordi  14327  faclbnd  14328  faclbnd6  14337  facavg  14339  bcrpcl  14346  bccmpl  14347  bcn1  14351  bcm1k  14353  bcp1n  14354  bcval5  14356  permnn  14364  hashf1  14496  hashfac  14497  bcfallfac  16099  efcllem  16132  eftlub  16166  eirrlem  16261  dvdsfac  16385  lcmflefac  16707  prmdvdsbc  16786  pcbc  16961  infpnlem1  16971  infpnlem2  16972  prmgaplem1  17110  prmgaplem2  17111  2expltfac  17153  gexcl3  19658  aaliou3lem1  26486  aaliou3lem2  26487  aaliou3lem3  26488  aaliou3lem8  26489  aaliou3lem5  26491  aaliou3lem6  26492  taylfvallem1  26501  tayl0  26506  taylply2  26512  taylply  26513  dvtaylp  26514  taylthlem2  26518  advlogexp  26801  birthdaylem2  27098  wilthlem3  27215  wilthimp  27217  chtublem  27356  logfacubnd  27366  logfaclbnd  27367  logfacbnd3  27368  logexprlim  27370  bposlem3  27431  gausslemma2dlem0c  27503  gausslemma2dlem6  27517  gausslemma2dlem7  27518  2np3bcnp1  42892  bcled  42926  bcle2d  42927  mccllem  46296  dvnprodlem2  46644  etransclem14  46945  etransclem15  46946  etransclem20  46951  etransclem21  46952  etransclem22  46953  etransclem23  46954  etransclem24  46955  etransclem25  46956  etransclem28  46959  etransclem31  46962  etransclem32  46963  etransclem33  46964  etransclem34  46965  etransclem35  46966  etransclem37  46968  etransclem38  46969  etransclem41  46972  etransclem44  46975  etransclem45  46976  etransclem47  46978  etransclem48  46979  muldvdsfacm1  48107  nprmdvdsfacm1lem4  48358  ppivalnnprm  48360  ppivalnnnprmge6  48361