Theorem faccld 14291

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14290. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  !cfa 14280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-fac 14281

This theorem is referenced by:  facmapnn  14292  facwordi  14296  faclbnd  14297  faclbnd6  14306  facavg  14308  bcrpcl  14315  bccmpl  14316  bcn1  14320  bcm1k  14322  bcp1n  14323  bcval5  14325  permnn  14333  hashf1  14464  hashfac  14465  bcfallfac  16065  efcllem  16098  eftlub  16132  eirrlem  16227  dvdsfac  16351  lcmflefac  16673  prmdvdsbc  16752  pcbc  16927  infpnlem1  16937  infpnlem2  16938  prmgaplem1  17076  prmgaplem2  17077  2expltfac  17119  gexcl3  19618  aaliou3lem1  26394  aaliou3lem2  26395  aaliou3lem3  26396  aaliou3lem8  26397  aaliou3lem5  26399  aaliou3lem6  26400  taylfvallem1  26408  tayl0  26413  taylply2  26419  taylply  26420  dvtaylp  26421  taylthlem2  26425  advlogexp  26708  birthdaylem2  27005  wilthlem3  27122  wilthimp  27124  chtublem  27263  logfacubnd  27273  logfaclbnd  27274  logfacbnd3  27275  logexprlim  27277  bposlem3  27338  gausslemma2dlem0c  27410  gausslemma2dlem6  27424  gausslemma2dlem7  27425  2np3bcnp1  42722  bcled  42756  bcle2d  42757  mccllem  46134  dvnprodlem2  46482  etransclem14  46783  etransclem15  46784  etransclem20  46789  etransclem21  46790  etransclem22  46791  etransclem23  46792  etransclem24  46793  etransclem25  46794  etransclem28  46797  etransclem31  46800  etransclem32  46801  etransclem33  46802  etransclem34  46803  etransclem35  46804  etransclem37  46806  etransclem38  46807  etransclem41  46810  etransclem44  46813  etransclem45  46814  etransclem47  46816  etransclem48  46817  nthrucw  47423  muldvdsfacm1  47942  nprmdvdsfacm1lem4  48193  ppivalnnprm  48195  ppivalnnnprmge6  48196