Theorem faccld 14283

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14282. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14282	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  !cfa 14272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-fac 14273

This theorem is referenced by:  facmapnn  14284  facwordi  14288  faclbnd  14289  faclbnd6  14298  facavg  14300  bcrpcl  14307  bccmpl  14308  bcn1  14312  bcm1k  14314  bcp1n  14315  bcval5  14317  permnn  14325  hashf1  14458  hashfac  14459  bcfallfac  16028  efcllem  16061  eftlub  16093  eirrlem  16188  dvdsfac  16310  lcmflefac  16626  prmdvdsbc  16705  pcbc  16876  infpnlem1  16886  infpnlem2  16887  prmgaplem1  17025  prmgaplem2  17026  2expltfac  17069  gexcl3  19549  aaliou3lem1  26297  aaliou3lem2  26298  aaliou3lem3  26299  aaliou3lem8  26300  aaliou3lem5  26302  aaliou3lem6  26303  taylfvallem1  26311  tayl0  26316  taylply2  26322  taylply2OLD  26323  taylply  26324  dvtaylp  26325  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  advlogexp  26609  birthdaylem2  26904  wilthlem3  27022  wilthimp  27024  chtublem  27164  logfacubnd  27174  logfaclbnd  27175  logfacbnd3  27176  logexprlim  27178  bposlem3  27239  gausslemma2dlem0c  27311  gausslemma2dlem6  27325  gausslemma2dlem7  27326  2np3bcnp1  41648  bcled  41682  bcle2d  41683  mccllem  45014  dvnprodlem2  45364  etransclem14  45665  etransclem15  45666  etransclem20  45671  etransclem21  45672  etransclem22  45673  etransclem23  45674  etransclem24  45675  etransclem25  45676  etransclem28  45679  etransclem31  45682  etransclem32  45683  etransclem33  45684  etransclem34  45685  etransclem35  45686  etransclem37  45688  etransclem38  45689  etransclem41  45692  etransclem44  45695  etransclem45  45696  etransclem47  45698  etransclem48  45699