Theorem faccld 14238

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 14237. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14237	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  !cfa 14227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-seq 13956  df-fac 14228

This theorem is referenced by:  facmapnn  14239  facwordi  14243  faclbnd  14244  faclbnd6  14253  facavg  14255  bcrpcl  14262  bccmpl  14263  bcn1  14267  bcm1k  14269  bcp1n  14270  bcval5  14272  permnn  14280  hashf1  14411  hashfac  14412  bcfallfac  16001  efcllem  16034  eftlub  16068  eirrlem  16163  dvdsfac  16287  lcmflefac  16609  prmdvdsbc  16688  pcbc  16863  infpnlem1  16873  infpnlem2  16874  prmgaplem1  17012  prmgaplem2  17013  2expltfac  17055  gexcl3  19554  aaliou3lem1  26327  aaliou3lem2  26328  aaliou3lem3  26329  aaliou3lem8  26330  aaliou3lem5  26332  aaliou3lem6  26333  taylfvallem1  26341  tayl0  26346  taylply2  26352  taylply  26353  dvtaylp  26354  taylthlem2  26358  advlogexp  26638  birthdaylem2  26935  wilthlem3  27052  wilthimp  27054  chtublem  27193  logfacubnd  27203  logfaclbnd  27204  logfacbnd3  27205  logexprlim  27207  bposlem3  27268  gausslemma2dlem0c  27340  gausslemma2dlem6  27354  gausslemma2dlem7  27355  2np3bcnp1  42638  bcled  42672  bcle2d  42673  mccllem  46050  dvnprodlem2  46398  etransclem14  46699  etransclem15  46700  etransclem20  46705  etransclem21  46706  etransclem22  46707  etransclem23  46708  etransclem24  46709  etransclem25  46710  etransclem28  46713  etransclem31  46716  etransclem32  46717  etransclem33  46718  etransclem34  46719  etransclem35  46720  etransclem37  46722  etransclem38  46723  etransclem41  46726  etransclem44  46729  etransclem45  46730  etransclem47  46732  etransclem48  46733  nthrucw  47339  muldvdsfacm1  47858  nprmdvdsfacm1lem4  48109  ppivalnnprm  48111  ppivalnnnprmge6  48112