Theorem prmgap 16988

Description: The prime gap theorem: for each positive integer there are (at least) two successive primes with a difference ("gap") at least as big as the given integer. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgap	⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑧

Proof of Theorem prmgap

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
2		facmapnn 14241	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)) ∈ (ℕ ↑m ℕ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)) ∈ (ℕ ↑m ℕ))
4		prmgaplem2 16979	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < (((!‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
5		eqidd 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)))
6		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑥 = 𝑛) → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
8		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9		fvexd 6903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ V)
10	5, 7, 8, 9	fvmptd 7002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) = (!‘𝑛))
11	10	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) = ((!‘𝑛) + 𝑖))
12	11	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((!‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
13	4, 12	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
14	13	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (2...𝑛)1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
15	1, 3, 14	prmgaplem8 16987	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
16	15	rgen 3063	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  !cfa 14229   gcd cgcd 16431  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605

This theorem is referenced by: (None)