Theorem prmgap 16971

Description: The prime gap theorem: for each positive integer there are (at least) two successive primes with a difference ("gap") at least as big as the given integer. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgap	⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑧

Proof of Theorem prmgap

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
2		facmapnn 14192	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)) ∈ (ℕ ↑m ℕ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)) ∈ (ℕ ↑m ℕ))
4		prmgaplem2 16962	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < (((!‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
5		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥)))
6		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑥 = 𝑛) → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
8		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9		fvexd 6837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ V)
10	5, 7, 8, 9	fvmptd 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) = (!‘𝑛))
11	10	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) = ((!‘𝑛) + 𝑖))
12	11	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((!‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
13	4, 12	breqtrrd 5120	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
14	13	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (2...𝑛)1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (!‘𝑥))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
15	1, 3, 14	prmgaplem8 16970	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
16	15	rgen 3046	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  !cfa 14180   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583

This theorem is referenced by: (None)