Theorem fczpsrbag 21886

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4546	. . . . 5 ⊢ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0) = 0
2	1	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 0 = if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 = if(𝑥 = 𝑛, 0, 0))
4	3	mpteq2dv 5220	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)))
5		0nn0 12521	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	snifpsrbag 21885	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)) ∈ 𝐷)
8	5, 7	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)) ∈ 𝐷)
9	4, 8	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  ifcif 4505   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  0cc0 11134  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-nn 12246  df-n0 12507

This theorem is referenced by:  psrbas  21898  psrlidm  21927  psrridm  21928