Theorem fczpsrbag 21458

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓   𝑥,𝑉   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4567	. . . . 5 ⊢ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0) = 0
2	1	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ 0 = if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 = if(𝑥 = 𝑛, 0, 0))
4	3	mpteq2dv 5249	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)))
5		0nn0 12483	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	snifpsrbag 21457	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)) ∈ 𝐷)
8	5, 7	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)) ∈ 𝐷)
9	4, 8	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-nn 12209  df-n0 12469

This theorem is referenced by:  psrbas  21479  psrlidm  21505  psrridm  21506