MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fczpsrbag 21959
Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
fczpsrbag (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifid 4571 . . . . 5 if(𝑥 = 𝑛, 0, 0) = 0
21eqcomi 2744 . . . 4 0 = if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)
32a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → 0 = if(𝑥 = 𝑛, 0, 0))
43mpteq2dv 5250 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)))
5 0nn0 12539 . . 3 0 ∈ ℕ0
6 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
76snifpsrbag 21958 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)) ∈ 𝐷)
85, 7mpan2 691 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑛, 0, 0)) ∈ 𝐷)
94, 8eqeltrd 2839 1 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  ifcif 4531  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  psrbas  21971  psrlidm  22000  psrridm  22001
  Copyright terms: Public domain W3C validator