Theorem xrsmul 21369

Description: The multiplication operation of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmul	⊢ ·e = (.r‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulf 13219	. . 3 ⊢ ·e :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2		xrex 12932	. . . 4 ⊢ ℝ* ∈ V
3	2, 2	xpex 7699	. . 3 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
4		fex2 7880	. . 3 ⊢ (( ·e :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* ∧ (ℝ* × ℝ*) ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → ·e ∈ V)
5	1, 3, 2, 4	mp3an 1470	. 2 ⊢ ·e ∈ V
6		df-xrs 17461	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
7	6	odrngmulr 17364	. 2 ⊢ ( ·e ∈ V → ·e = (.r‘ℝ*𝑠))
8	5, 7	ax-mp 5	1 ⊢ ·e = (.r‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ifcif 4456   class class class wbr 5074   × cxp 5618  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∈ cmpo 7361  ℝ^*cxr 11174   ≤ cle 11176  -_𝑒cxne 13055   +_𝑒 cxad 13056   ·_e cxmu 13057  ._rcmulr 17216  ordTopcordt 17458  ℝ^*_𝑠cxrs 17459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-xmul 13060  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-xrs 17461

This theorem is referenced by:  xrsmcmn  21373