Theorem cnfldds 21360

Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21349. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldds	⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldds

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 15295	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		subf 11390	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		fco 6688	. . . 4 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 693	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5		cnex 11114	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
6	5, 5	xpex 7702	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
7		reex 11124	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
8		fex2 7882	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → (abs ∘ − ) ∈ V)
9	4, 6, 7, 8	mp3an 1464	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
10		cnfldstr 21350	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
11		dsid 17344	. . 3 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
12		snsstp3 4762	. . . 4 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
13		ssun1 4119	. . . . 5 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
14		ssun2 4120	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
15		df-cnfld 21349	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
16	14, 15	sseqtrri 3972	. . . . 5 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ ℂfld
17	13, 16	sstri 3932	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
18	12, 17	sstri 3932	. . 3 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
19	10, 11, 18	strfv 17168	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld))
20	9, 19	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  {csn 4568  {ctp 4572  ⟨cop 4574   × cxp 5624   ∘ ccom 5630  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  ℂcc 11031  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   ≤ cle 11175   − cmin 11372  3c3 12232  ;cdc 12639  ∗ccj 15053  abscabs 15191  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  *_𝑟cstv 17217  TopSetcts 17221  lecple 17222  distcds 17224  UnifSetcunif 17225  MetOpencmopn 21338  metUnifcmetu 21339  ℂ_fldccnfld 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-cnfld 21349

This theorem is referenced by:  reds  21610  cnfldms  24754  cnfldnm  24757  cnngp  24758  cncms  25336  cnfldcusp  25338  qqhcn  34155  qqhucn  34156  cnrrext  34174  cnpwstotbnd  38136  repwsmet  38173  rrnequiv  38174