Theorem cnfldds 20947

Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldds	⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 15281	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		subf 11459	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		fco 6739	. . . 4 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5		cnex 11188	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
6	5, 5	xpex 7737	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
7		reex 11198	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
8		fex2 7921	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → (abs ∘ − ) ∈ V)
9	4, 6, 7, 8	mp3an 1462	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
10		cnfldstr 20939	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
11		dsid 17328	. . 3 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
12		snsstp3 4821	. . . 4 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
13		ssun1 4172	. . . . 5 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
14		ssun2 4173	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
15		df-cnfld 20938	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
16	14, 15	sseqtrri 4019	. . . . 5 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ ℂfld
17	13, 16	sstri 3991	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
18	12, 17	sstri 3991	. . 3 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
19	10, 11, 18	strfv 17134	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld))
20	9, 19	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   × cxp 5674   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  ℂcc 11105  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   ≤ cle 11246   − cmin 11441  3c3 12265  ;cdc 12674  ∗ccj 15040  abscabs 15178  ndxcnx 17123  Basecbs 17141  +_gcplusg 17194  ._rcmulr 17195  *_𝑟cstv 17196  TopSetcts 17200  lecple 17201  distcds 17203  UnifSetcunif 17204  MetOpencmopn 20927  metUnifcmetu 20928  ℂ_fldccnfld 20937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-cnfld 20938

This theorem is referenced by:  reds  21161  cnfldms  24284  cnfldnm  24287  cnngp  24288  cncms  24864  cnfldcusp  24866  qqhcn  32960  qqhucn  32961  cnrrext  32979  cnpwstotbnd  36654  repwsmet  36691  rrnequiv  36692