Theorem cnfldds 20652

Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldds	⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 15094	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		subf 11269	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		fco 6654	. . . 4 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5		cnex 10998	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
6	5, 5	xpex 7635	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
7		reex 11008	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
8		fex2 7812	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → (abs ∘ − ) ∈ V)
9	4, 6, 7, 8	mp3an 1461	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
10		cnfldstr 20644	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
11		dsid 17141	. . 3 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
12		snsstp3 4757	. . . 4 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
13		ssun1 4112	. . . . 5 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
14		ssun2 4113	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
15		df-cnfld 20643	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
16	14, 15	sseqtrri 3963	. . . . 5 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ ℂfld
17	13, 16	sstri 3935	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
18	12, 17	sstri 3935	. . 3 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
19	10, 11, 18	strfv 16950	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld))
20	9, 19	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ∪ cun 3890  {csn 4565  {ctp 4569  ⟨cop 4571   × cxp 5598   ∘ ccom 5604  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  ℂcc 10915  ℝcr 10916  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922   ≤ cle 11056   − cmin 11251  3c3 12075  ;cdc 12483  ∗ccj 14852  abscabs 14990  ndxcnx 16939  Basecbs 16957  +_gcplusg 17007  ._rcmulr 17008  *_𝑟cstv 17009  TopSetcts 17013  lecple 17014  distcds 17016  UnifSetcunif 17017  MetOpencmopn 20632  metUnifcmetu 20633  ℂ_fldccnfld 20642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-struct 16893  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-cnfld 20643

This theorem is referenced by:  reds  20866  cnfldms  23984  cnfldnm  23987  cnngp  23988  cncms  24564  cnfldcusp  24566  qqhcn  31986  qqhucn  31987  cnrrext  32005  cnpwstotbnd  35999  repwsmet  36036  rrnequiv  36037