Theorem cnfldds 21503

Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21492. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldds	⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldds

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 15389	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		subf 11459	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		fco 6731	. . . 4 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5		cnex 11181	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
6	5, 5	xpex 7752	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
7		reex 11191	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
8		fex2 7933	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → (abs ∘ − ) ∈ V)
9	4, 6, 7, 8	mp3an 1487	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
10		cnfldstr 21493	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
11		dsid 17439	. . 3 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
12		snsstp3 4788	. . . 4 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
13		ssun1 4139	. . . . 5 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
14		ssun2 4140	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
15		df-cnfld 21492	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
16	14, 15	sseqtrri 3994	. . . . 5 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ⊆ ℂfld
17	13, 16	sstri 3954	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
18	12, 17	sstri 3954	. . 3 ⊢ {⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ⊆ ℂfld
19	10, 11, 18	strfv 17263	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld))
20	9, 19	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600   × cxp 5660   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11098  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   ≤ cle 11244   − cmin 11441  3c3 12296  ;cdc 12711  ∗ccj 15147  abscabs 15285  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  *_𝑟cstv 17312  TopSetcts 17316  lecple 17317  distcds 17319  UnifSetcunif 17320  MetOpencmopn 21481  metUnifcmetu 21482  ℂ_fldccnfld 21491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-cnfld 21492

This theorem is referenced by:  reds  21735  cnfldms  24901  cnfldnm  24904  cnngp  24905  cncms  25483  cnfldcusp  25485  qqhcn  34326  qqhucn  34327  cnrrext  34345  cnpwstotbnd  38370  repwsmet  38407  rrnequiv  38408