Theorem tngngpd 24674

Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
tngngp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tngngpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
tngngpd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		tngngpd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
3		tngngp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
5		reex 11246	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		fex2 7958	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
7	4, 5, 6	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
8		tngngp.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9		tngngp.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	8, 9	tngds 24668	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
11	2, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
12		tngngp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13		tngngpd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
14		tngngpd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
15	3, 9, 12, 1, 2, 13, 14	nrmmetd 24587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))
16	11, 15	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
18	8, 3, 17	tngngp2 24673	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
19	2, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
20	1, 16, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   ≤ cle 11296  Basecbs 17247  distcds 17306  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  Metcmet 21350  NrmGrpcngp 24590   toNrmGrp ctng 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597

This theorem is referenced by:  tngngp  24675  tngngp3  24677  tcphcph  25271