Theorem tngngpd 23817

Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
tngngp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tngngpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
tngngpd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		tngngpd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
3		tngngp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
5		reex 10962	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		fex2 7780	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
7	4, 5, 6	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
8		tngngp.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9		tngngp.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	8, 9	tngds 23811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
11	2, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
12		tngngp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13		tngngpd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
14		tngngpd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
15	3, 9, 12, 1, 2, 13, 14	nrmmetd 23730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))
16	11, 15	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
18	8, 3, 17	tngngp2 23816	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
19	2, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
20	1, 16, 19	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   ≤ cle 11010  Basecbs 16912  distcds 16971  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  Metcmet 20583  NrmGrpcngp 23733   toNrmGrp ctng 23734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-tng 23740

This theorem is referenced by:  tngngp  23818  tngngp3  23820  tcphcph  24401