Theorem tngngpd 22834

Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
tngngp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tngngpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
tngngpd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		tngngpd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
3		tngngp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6451	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
5		reex 10350	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		fex2 7388	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
7	4, 5, 6	mp3an23 1581	. . . 4 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
8		tngngp.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9		tngngp.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	8, 9	tngds 22829	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
11	2, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
12		tngngp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13		tngngpd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
14		tngngpd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
15	3, 9, 12, 1, 2, 13, 14	nrmmetd 22756	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))
16	11, 15	eqeltrrd 2907	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
17		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
18	8, 3, 17	tngngp2 22833	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
19	2, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
20	1, 16, 19	mpbir2and 704	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   class class class wbr 4875   ∘ ccom 5350  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259   + caddc 10262   ≤ cle 10399  Basecbs 16229  distcds 16321  0_gc0g 16460  Grpcgrp 17783  -_gcsg 17785  Metcmet 20099  NrmGrpcngp 22759   toNrmGrp ctng 22760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-tset 16331  df-ds 16334  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-topgen 16464  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-xms 22502  df-ms 22503  df-nm 22764  df-ngp 22765  df-tng 22766

This theorem is referenced by:  tngngp  22835  tngngp3  22837  tcphcph  23412