MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngngpd 24521
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tngngp.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
tngngp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tngngpd.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
tngngpd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
tngngpd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
tngngpd (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd
StepHypRef Expression
1 tngngpd.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 tngngpd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
3 tngngp.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6898 . . . . 5 𝑋 ∈ V
5 reex 11200 . . . . 5 ℝ ∈ V
6 fex2 7920 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) β†’ 𝑁 ∈ V)
74, 5, 6mp3an23 1449 . . . 4 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝑁 ∈ V)
8 tngngp.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9 tngngp.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
108, 9tngds 24515 . . . 4 (𝑁 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
12 tngngp.z . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
13 tngngpd.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
14 tngngpd.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)))
153, 9, 12, 1, 2, 13, 14nrmmetd 24434 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1611, 15eqeltrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
17 eqid 2726 . . . 4 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
188, 3, 17tngngp2 24520 . . 3 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜π‘‹))))
192, 18syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜π‘‹))))
201, 16, 19mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   ≀ cle 11250  Basecbs 17151  distcds 17213  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  -gcsg 18863  Metcmet 21222  NrmGrpcngp 24437   toNrmGrp ctng 24438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-tset 17223  df-ds 17226  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-xms 24177  df-ms 24178  df-nm 24442  df-ngp 24443  df-tng 24444
This theorem is referenced by:  tngngp  24522  tngngp3  24524  tcphcph  25116
  Copyright terms: Public domain W3C validator