MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngngpd 24588
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tngngp.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
tngngp.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tngngpd.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
tngngpd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
tngngpd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
tngngpd (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd
StepHypRef Expression
1 tngngpd.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 tngngpd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
3 tngngp.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6914 . . . . 5 𝑋 ∈ V
5 reex 11235 . . . . 5 ℝ ∈ V
6 fex2 7945 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) β†’ 𝑁 ∈ V)
74, 5, 6mp3an23 1449 . . . 4 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝑁 ∈ V)
8 tngngp.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9 tngngp.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
108, 9tngds 24582 . . . 4 (𝑁 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
12 tngngp.z . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
13 tngngpd.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
14 tngngpd.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)))
153, 9, 12, 1, 2, 13, 14nrmmetd 24501 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1611, 15eqeltrrd 2829 . 2 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
17 eqid 2727 . . . 4 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
188, 3, 17tngngp2 24587 . . 3 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜π‘‹))))
192, 18syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜π‘‹))))
201, 16, 19mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   class class class wbr 5150   ∘ ccom 5684  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„cr 11143  0cc0 11144   + caddc 11147   ≀ cle 11285  Basecbs 17185  distcds 17247  0gc0g 17426  Grpcgrp 18895  -gcsg 18897  Metcmet 21270  NrmGrpcngp 24504   toNrmGrp ctng 24505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-tset 17257  df-ds 17260  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-topgen 17430  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-xms 24244  df-ms 24245  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-tng 24511
This theorem is referenced by:  tngngp  24589  tngngp3  24591  tcphcph  25183
  Copyright terms: Public domain W3C validator