Theorem tngngpd 24640

Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
tngngp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tngngpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
tngngpd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		tngngpd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
3		tngngp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6845	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
5		reex 11124	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		fex2 7880	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
7	4, 5, 6	mp3an23 1462	. . . 4 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
8		tngngp.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9		tngngp.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	8, 9	tngds 24635	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
11	2, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
12		tngngp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13		tngngpd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
14		tngngpd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
15	3, 9, 12, 1, 2, 13, 14	nrmmetd 24561	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))
16	11, 15	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
17		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
18	8, 3, 17	tngngp2 24639	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
19	2, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
20	1, 16, 19	mpbir2and 720	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   class class class wbr 5075   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   + caddc 11036   ≤ cle 11175  Basecbs 17174  distcds 17224  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906  Metcmet 21337  NrmGrpcngp 24564   toNrmGrp ctng 24565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-tset 17234  df-ds 17237  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-topgen 17401  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-xms 24307  df-ms 24308  df-nm 24569  df-ngp 24570  df-tng 24571

This theorem is referenced by:  tngngp  24641  tngngp3  24643  tcphcph  25226