Theorem tngngpd 24599

Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
tngngp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tngngpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
tngngpd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		tngngpd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
3		tngngp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
5		reex 11119	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		fex2 7878	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
7	4, 5, 6	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
8		tngngp.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9		tngngp.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	8, 9	tngds 24594	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
11	2, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
12		tngngp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13		tngngpd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
14		tngngpd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))
15	3, 9, 12, 1, 2, 13, 14	nrmmetd 24520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))
16	11, 15	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
18	8, 3, 17	tngngp2 24598	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
19	2, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
20	1, 16, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   ≤ cle 11169  Basecbs 17138  distcds 17188  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  Metcmet 21297  NrmGrpcngp 24523   toNrmGrp ctng 24524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-ds 17201  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-topgen 17365  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-xms 24266  df-ms 24267  df-nm 24528  df-ngp 24529  df-tng 24530

This theorem is referenced by:  tngngp  24600  tngngp3  24602  tcphcph  25195