MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngngpd 24626
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m = (-g𝐺)
tngngp.z 0 = (0g𝐺)
tngngpd.1 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2 (𝜑𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
Assertion
Ref Expression
tngngpd (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd
StepHypRef Expression
1 tngngpd.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 tngngpd.2 . . . 4 (𝜑𝑁:𝑋⟶ℝ)
3 tngngp.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
43fvexi 6846 . . . . 5 𝑋 ∈ V
5 reex 11118 . . . . 5 ℝ ∈ V
6 fex2 7878 . . . . 5 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
74, 5, 6mp3an23 1456 . . . 4 (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
8 tngngp.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9 tngngp.m . . . . 5 = (-g𝐺)
108, 9tngds 24621 . . . 4 (𝑁 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
12 tngngp.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
13 tngngpd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
14 tngngpd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
153, 9, 12, 1, 2, 13, 14nrmmetd 24547 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ) ∈ (Met‘𝑋))
1611, 15eqeltrrd 2838 . 2 (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
17 eqid 2737 . . . 4 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
188, 3, 17tngngp2 24625 . . 3 (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
192, 18syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
201, 16, 19mpbir2and 714 1 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ccom 5626  wf 6486  cfv 6490  (class class class)co 7358  cr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030  cle 11169  Basecbs 17168  distcds 17218  0gc0g 17391  Grpcgrp 18898  -gcsg 18900  Metcmet 21328  NrmGrpcngp 24550   toNrmGrp ctng 24551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-tset 17228  df-ds 17231  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-xms 24293  df-ms 24294  df-nm 24555  df-ngp 24556  df-tng 24557
This theorem is referenced by:  tngngp  24627  tngngp3  24629  tcphcph  25212
  Copyright terms: Public domain W3C validator