Theorem xrsadd 20624

Description: The addition operation of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsadd	⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsadd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 12967	. . 3 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2		xrex 12736	. . . 4 ⊢ ℝ* ∈ V
3	2, 2	xpex 7612	. . 3 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
4		fex2 7789	. . 3 ⊢ (( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* ∧ (ℝ* × ℝ*) ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → +𝑒 ∈ V)
5	1, 3, 2, 4	mp3an 1460	. 2 ⊢ +𝑒 ∈ V
6		df-xrs 17222	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
7	6	odrngplusg 17124	. 2 ⊢ ( +𝑒 ∈ V → +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠))
8	5, 7	ax-mp 5	1 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3433  ifcif 4460   class class class wbr 5075   × cxp 5588  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ∈ cmpo 7286  ℝ^*cxr 11017   ≤ cle 11019  -_𝑒cxne 12854   +_𝑒 cxad 12855   ·_e cxmu 12856  +_gcplusg 16971  ordTopcordt 17219  ℝ^*_𝑠cxrs 17220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-xadd 12858  df-fz 13249  df-struct 16857  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-xrs 17222

This theorem is referenced by:  xrsmgm  20642  xrsnsgrp  20643  xrs1mnd  20645  xrs10  20646  xrs1cmn  20647  xrge0subm  20648  imasdsf1olem  23535  xrge0gsumle  24005  xrs0  31293  xrsinvgval  31295  xrsmulgzz  31296  xrge0plusg  31305  xrge0tmdALT  31905  esumpfinvallem  32051  sge0tsms  43925