Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matgsumcl 21106
 Description: Closure of a group sum over the diagonal coefficients of a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
matgsumcl ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑈(𝑟)

Proof of Theorem matgsumcl
StepHypRef Expression
1 madetsumid.u . . 3 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19259 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
41crngmgp 19319 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
54adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑈 ∈ CMnd)
6 madetsumid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 madetsumid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 21058 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98adantl 485 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 498 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
126, 2, 7matbas2i 21068 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13 elmapi 8429 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
1514adantr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
16 simpr 488 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑟𝑁)
1715, 16, 16fovrnd 7311 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
1817ralrimiva 3149 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
193, 5, 10, 18gsummptcl 19101 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5114   × cxp 5521  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↑m cmap 8407  Fincfn 8510  Basecbs 16495   Σg cgsu 16726  CMndccmn 18919  mulGrpcmgp 19253  CRingccrg 19312   Mat cmat 21053 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-hom 16601  df-cco 16602  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-prds 16733  df-pws 16735  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-mgp 19254  df-cring 19314  df-sra 19958  df-rgmod 19959  df-dsmm 20443  df-frlm 20458  df-mat 21054 This theorem is referenced by:  madetsumid  21107
 Copyright terms: Public domain W3C validator