MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matgsumcl 22482
Description: Closure of a group sum over the diagonal coefficients of a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
matgsumcl ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑈(𝑟)

Proof of Theorem matgsumcl
StepHypRef Expression
1 madetsumid.u . . 3 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 20158 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
41crngmgp 20259 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
54adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑈 ∈ CMnd)
6 madetsumid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 madetsumid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 22432 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98adantl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 494 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
126, 2, 7matbas2i 22444 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13 elmapi 8888 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
1514adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
16 simpr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑟𝑁)
1715, 16, 16fovcdmd 7605 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
1817ralrimiva 3144 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
193, 5, 10, 18gsummptcl 20000 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245   Σg cgsu 17487  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  CRingccrg 20252   Mat cmat 22427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-cring 20254  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mat 22428
This theorem is referenced by:  madetsumid  22483
  Copyright terms: Public domain W3C validator