Theorem matgsumcl 21654

Description: Closure of a group sum over the diagonal coefficients of a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matgsumcl	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑈(𝑟)

Proof of Theorem matgsumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madetsumid.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 19771	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
4	1	crngmgp 19836	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
5	4	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ CMnd)
6		madetsumid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		madetsumid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8	6, 7	matrcl 21604	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
10	9	simpld 496	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
12	6, 2, 7	matbas2i 21616	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13		elmapi 8668	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
15	14	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
16		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑟 ∈ 𝑁)
17	15, 16, 16	fovcdmd 7476	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
18	17	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
19	3, 5, 10, 18	gsummptcl 19613	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5164   × cxp 5598  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ↑_m cmap 8646  Fincfn 8764  Basecbs 16957   Σ_g cgsu 17196  CMndccmn 19431  mulGrpcmgp 19765  CRingccrg 19829   Mat cmat 21599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-sup 9245  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-hash 14091  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-hom 17031  df-cco 17032  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-prds 17203  df-pws 17205  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-mgp 19766  df-cring 19831  df-sra 20479  df-rgmod 20480  df-dsmm 20984  df-frlm 20999  df-mat 21600

This theorem is referenced by:  madetsumid  21655