Theorem matgsumcl 22403

Description: Closure of a group sum over the diagonal coefficients of a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matgsumcl	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑈(𝑟)

Proof of Theorem matgsumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madetsumid.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20084	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
4	1	crngmgp 20180	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ CMnd)
6		madetsumid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		madetsumid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8	6, 7	matrcl 22355	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
12	6, 2, 7	matbas2i 22365	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13		elmapi 8787	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑟 ∈ 𝑁)
17	15, 16, 16	fovcdmd 7530	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
18	17	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑀𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
19	3, 5, 10, 18	gsummptcl 19900	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884  Basecbs 17137   Σ_g cgsu 17361  CMndccmn 19713  mulGrpcmgp 20079  CRingccrg 20173   Mat cmat 22350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-mgp 20080  df-cring 20175  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-mat 22351

This theorem is referenced by:  madetsumid  22404