Theorem frlmbas3 21883

Description: An element of the base set of a finite free module with a Cartesian product as index set as operation value. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmbas3.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
frlmbas3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmbas3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbas3	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmbas3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmbas3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
2	1	eleq2i 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
3	2	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
4	3	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
5		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑊)
6		xpfi 9267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin)
7	5, 6	anim12i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
8	7	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
9		frlmbas3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
10		frlmbas3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	9, 10	frlmfibas 21869	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
12	8, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
13	4, 12	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
14		elmapi 8834	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
16		simp3l 1218	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
17		simp3r 1219	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐽 ∈ 𝑀)
18	15, 16, 17	fovcdmd 7572	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   × cxp 5649  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931  Basecbs 17257   freeLMod cfrlm 21853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-prds 17488  df-pws 17490  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-dsmm 21839  df-frlm 21854

This theorem is referenced by: (None)