Theorem frlmbas3 20893

Description: An element of the base set of a finite free module with a Cartesian product as index set as operation value. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmbas3.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
frlmbas3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmbas3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbas3	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmbas3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmbas3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
2	1	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
3	2	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
5	4	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
6		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑊)
7		xpfi 9015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin)
8	6, 7	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
9	8	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
10		frlmbas3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
11		frlmbas3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 11	frlmfibas 20879	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
14	5, 13	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
15		elmapi 8595	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
17		simp3l 1199	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18		simp3r 1200	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐽 ∈ 𝑀)
19	16, 17, 18	fovrnd 7422	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  Basecbs 16840   freeLMod cfrlm 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864

This theorem is referenced by: (None)