Theorem frlmbas3 21819

Description: An element of the base set of a finite free module with a Cartesian product as index set as operation value. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmbas3.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
frlmbas3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmbas3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbas3	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmbas3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmbas3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
2	1	eleq2i 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
3	2	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
6		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑊)
7		xpfi 9386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin)
8	6, 7	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
9	8	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
10		frlmbas3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
11		frlmbas3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 11	frlmfibas 21805	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
14	5, 13	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
15		elmapi 8907	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
17		simp3l 1201	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18		simp3r 1202	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐽 ∈ 𝑀)
19	16, 17, 18	fovcdmd 7622	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  Basecbs 17258   freeLMod cfrlm 21789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790

This theorem is referenced by: (None)