Theorem mavmulcl 22895

Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmulcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulcl.m	⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mavmulcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mavmulcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mavmulcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mavmulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Proof of Theorem mavmulcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmulcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmulcl.m	. . 3 ⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		mavmulcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		mavmulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		mavmulcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		mavmulcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mavmulcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8		mavmulcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mavmulval 22893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))))
10		ringcmn 20544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
11	5, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
13	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
14	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
15	1, 3	matbas2 22769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
16	6, 5, 15	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
17	7, 16	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18		elmapi 8900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
21		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
24	20, 22, 23	fovcdmd 7620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
25		elmapi 8900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
26	8, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
28	27, 23	ffvelcdmd 7112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
29	3, 4	ringcl 20510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
30	14, 24, 28, 29	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
31	30	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
32	3, 12, 13, 31	gsummptcl 20214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵)
33	32	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵)
34		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))))
35	34	fmpt 7137	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))):𝑁⟶𝐵)
36	3	fvexi 6925	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
37		elmapg 8890	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))):𝑁⟶𝐵))
38	36, 6, 37	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))):𝑁⟶𝐵))
39	35, 38	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)))
40	33, 39	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
41	9, 40	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461   Σ_g cgsu 17643  CMndccmn 20027  Ringcrg 20492   Mat cmat 22755   maVecMul cmvmul 22888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-mat 22756  df-mvmul 22889

This theorem is used by:  mavmulass  22897  slesolex  23033