MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulcl 22553
Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulcl.m × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulcl.t · = (.r𝑅)
mavmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mavmulcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mavmulcl.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulcl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
Assertion
Ref Expression
mavmulcl (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))

Proof of Theorem mavmulcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulcl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmulcl.m . . 3 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 mavmulcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 mavmulcl.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 mavmulcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mavmulcl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8 mavmulcl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 22551 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
10 ringcmn 20279 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
136adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
145ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
151, 3matbas2 22427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
166, 5, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
177, 16eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
18 elmapi 8889 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
23 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2420, 22, 23fovcdmd 7605 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
25 elmapi 8889 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
268, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝑁𝐵)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
2827, 23ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
293, 4ringcl 20247 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3014, 24, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3130ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
323, 12, 13, 31gsummptcl 19985 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
3332ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
34 eqid 2737 . . . . 5 (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
3534fmpt 7130 . . . 4 (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵)
363fvexi 6920 . . . . 5 𝐵 ∈ V
37 elmapg 8879 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
3836, 6, 37sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
3935, 38bitr4id 290 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁)))
4033, 39mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁))
419, 40eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298   Σg cgsu 17485  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411   maVecMul cmvmul 22546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-mvmul 22547
This theorem is referenced by:  mavmulass  22555  slesolex  22688
  Copyright terms: Public domain W3C validator