Theorem mavmulcl 22741

Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmulcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulcl.m	⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mavmulcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mavmulcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mavmulcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mavmulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Proof of Theorem mavmulcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmulcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmulcl.m	. . 3 ⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		mavmulcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		mavmulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		mavmulcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		mavmulcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mavmulcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8		mavmulcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mavmulval 22739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))))
10		ringcmn 20397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
11	5, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
13	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
14	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
15	1, 3	matbas2 22615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
16	6, 5, 15	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
17	7, 16	eleqtrrd 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18		elmapi 8855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
21		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
24	20, 22, 23	fovcdmd 7595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
25		elmapi 8855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
26	8, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
28	27, 23	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
29	3, 4	ringcl 20363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
30	14, 24, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
31	30	ralrimiva 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
32	3, 12, 13, 31	gsummptcl 20068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵)
33	32	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵)
34		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))))
35	34	fmpt 7112	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))):𝑁⟶𝐵)
36	3	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
37		elmapg 8845	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))):𝑁⟶𝐵))
38	36, 6, 37	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))):𝑁⟶𝐵))
39	35, 38	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)))
40	33, 39	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
41	9, 40	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5197   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336   Σ_g cgsu 17518  CMndccmn 19881  Ringcrg 20346   Mat cmat 22601   maVecMul cmvmul 22734

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-mat 22602  df-mvmul 22735

This theorem is used by:  mavmulass  22743  slesolex  22876