MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulcl 22462
Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulcl.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mavmulcl.m ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
mavmulcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mavmulcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mavmulcl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mavmulcl.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mavmulcl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
mavmulcl.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
Assertion
Ref Expression
mavmulcl (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))

Proof of Theorem mavmulcl
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulcl.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mavmulcl.m . . 3 ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 mavmulcl.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 mavmulcl.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 mavmulcl.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 mavmulcl.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mavmulcl.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8 mavmulcl.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 22460 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
10 ringcmn 20218 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
1211adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
136adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
145ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
151, 3matbas2 22336 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
166, 5, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
177, 16eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
18 elmapi 8868 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
23 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
2420, 22, 23fovcdmd 7593 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘—) โˆˆ ๐ต)
25 elmapi 8868 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต)
268, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต)
2827, 23ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
293, 4ringcl 20190 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘–๐‘‹๐‘—) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
3014, 24, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
3130ralrimiva 3143 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
323, 12, 13, 31gsummptcl 19922 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))) โˆˆ ๐ต)
3332ralrimiva 3143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))) โˆˆ ๐ต)
34 eqid 2728 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
3534fmpt 7120 . . . 4 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))):๐‘โŸถ๐ต)
363fvexi 6911 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
37 elmapg 8858 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ V โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†” (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))):๐‘โŸถ๐ต))
3836, 6, 37sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†” (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))):๐‘โŸถ๐ต))
3935, 38bitr4id 290 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘)))
4033, 39mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
419, 40eqeltrd 2829 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  Vcvv 3471  โŸจcop 4635   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โ†‘m cmap 8845  Fincfn 8964  Basecbs 17180  .rcmulr 17234   ฮฃg cgsu 17422  CMndccmn 19735  Ringcrg 20173   Mat cmat 22320   maVecMul cmvmul 22455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-mat 22321  df-mvmul 22456
This theorem is referenced by:  mavmulass  22464  slesolex  22597
  Copyright terms: Public domain W3C validator