MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulcl 22568
Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulcl.m × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulcl.t · = (.r𝑅)
mavmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mavmulcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mavmulcl.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulcl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
Assertion
Ref Expression
mavmulcl (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))

Proof of Theorem mavmulcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulcl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmulcl.m . . 3 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 mavmulcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 mavmulcl.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 mavmulcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mavmulcl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8 mavmulcl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 22566 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
10 ringcmn 20295 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
136adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
145ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
151, 3matbas2 22442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
166, 5, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
177, 16eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
18 elmapi 8887 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
23 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2420, 22, 23fovcdmd 7604 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
25 elmapi 8887 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
268, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝑁𝐵)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
2827, 23ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
293, 4ringcl 20267 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3014, 24, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3130ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
323, 12, 13, 31gsummptcl 19999 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
3332ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
34 eqid 2734 . . . . 5 (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
3534fmpt 7129 . . . 4 (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵)
363fvexi 6920 . . . . 5 𝐵 ∈ V
37 elmapg 8877 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
3836, 6, 37sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
3935, 38bitr4id 290 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁)))
4033, 39mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁))
419, 40eqeltrd 2838 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  cop 4636  cmpt 5230   × cxp 5686  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  Basecbs 17244  .rcmulr 17298   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19812  Ringcrg 20250   Mat cmat 22426   maVecMul cmvmul 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-mat 22427  df-mvmul 22562
This theorem is referenced by:  mavmulass  22570  slesolex  22703
  Copyright terms: Public domain W3C validator