MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulcl 20863
Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulcl.m × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulcl.t · = (.r𝑅)
mavmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mavmulcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mavmulcl.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulcl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
Assertion
Ref Expression
mavmulcl (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝑁))

Proof of Theorem mavmulcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulcl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmulcl.m . . 3 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 mavmulcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 mavmulcl.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 mavmulcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mavmulcl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8 mavmulcl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 20861 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
10 ringcmn 19057 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1211adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
136adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
145ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
151, 3matbas2 20737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
166, 5, 15syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
177, 16eleqtrrd 2869 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
18 elmapi 8230 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
2019ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
21 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
2221adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
23 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2420, 22, 23fovrnd 7138 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
25 elmapi 8230 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
268, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝑁𝐵)
2726ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
2827, 23ffvelrnd 6679 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
293, 4ringcl 19037 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3014, 24, 28, 29syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3130ralrimiva 3132 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
323, 12, 13, 31gsummptcl 18843 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
3332ralrimiva 3132 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
343fvexi 6515 . . . . 5 𝐵 ∈ V
35 elmapg 8221 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
3634, 6, 35sylancr 578 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
37 eqid 2778 . . . . 5 (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
3837fmpt 6699 . . . 4 (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵)
3936, 38syl6rbbr 282 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁)))
4033, 39mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
419, 40eqeltrd 2866 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  Vcvv 3415  cop 4448  cmpt 5009   × cxp 5406  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308  Basecbs 16342  .rcmulr 16425   Σg cgsu 16573  CMndccmn 18669  Ringcrg 19023   Mat cmat 20723   maVecMul cmvmul 20856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-ot 4451  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-hash 13509  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-mat 20724  df-mvmul 20857
This theorem is referenced by:  mavmulass  20865  slesolex  20998
  Copyright terms: Public domain W3C validator