Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulcl 21155
 Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulcl.m × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulcl.t · = (.r𝑅)
mavmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mavmulcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mavmulcl.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulcl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
Assertion
Ref Expression
mavmulcl (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))

Proof of Theorem mavmulcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulcl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmulcl.m . . 3 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 mavmulcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 mavmulcl.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 mavmulcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mavmulcl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8 mavmulcl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 21153 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
10 ringcmn 19330 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
136adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
145ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
151, 3matbas2 21029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
166, 5, 15syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
177, 16eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
18 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
21 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
2221adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
23 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2420, 22, 23fovrnd 7304 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
25 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
268, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝑁𝐵)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
2827, 23ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
293, 4ringcl 19310 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3014, 24, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3130ralrimiva 3152 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
323, 12, 13, 31gsummptcl 19083 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
3332ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
343fvexi 6663 . . . . 5 𝐵 ∈ V
35 elmapg 8406 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
3634, 6, 35sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
37 eqid 2801 . . . . 5 (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
3837fmpt 6855 . . . 4 (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵)
3936, 38syl6rbbr 293 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁)))
4033, 39mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵m 𝑁))
419, 40eqeltrd 2893 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444  ⟨cop 4534   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  Basecbs 16478  .rcmulr 16561   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18901  Ringcrg 19293   Mat cmat 21015   maVecMul cmvmul 21148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-mat 21016  df-mvmul 21149 This theorem is referenced by:  mavmulass  21157  slesolex  21290
 Copyright terms: Public domain W3C validator