Theorem frege83d 43931

Description: If the image of the union of 𝑈 and 𝑉 is a subset of the union of 𝑈 and 𝑉, 𝐴 is an element of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of the union of 𝑈 and 𝑉. Similar to Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Compare with frege83 44129. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege83d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege83d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
frege83d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege83d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege83d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
frege83d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem frege83d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege83d.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		ssun1 4128	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)
3		frege83d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))
5		frege83d.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		frege83d.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
7		frege83d.he	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
8	1, 4, 5, 6, 7	frege81d 43930	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   “ cima 5625  ‘cfv 6490  t+ctcl 14906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-trcl 14908  df-relexp 14941

This theorem is referenced by:  frege133d  43948