Theorem frege83d 38559

Description: If the image of the union of 𝑈 and 𝑉 is a subset of the union of 𝑈 and 𝑉, 𝐴 is an element of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of the union of 𝑈 and 𝑉. Similar to Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Compare with frege83 38759. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege83d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege83d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
frege83d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege83d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege83d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
frege83d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem frege83d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege83d.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		ssun1 3927	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)
3		frege83d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sseldi 3750	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))
5		frege83d.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		frege83d.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
7		frege83d.he	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
8	1, 4, 5, 6, 7	frege81d 38558	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∪ cun 3721   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786   “ cima 5252  ‘cfv 6029  t+ctcl 13927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-seq 13002  df-trcl 13929  df-relexp 13962

This theorem is referenced by:  frege133d  38576