Theorem frege83d 43705

Description: If the image of the union of 𝑈 and 𝑉 is a subset of the union of 𝑈 and 𝑉, 𝐴 is an element of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of the union of 𝑈 and 𝑉. Similar to Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Compare with frege83 43903. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege83d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege83d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
frege83d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege83d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege83d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
frege83d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem frege83d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege83d.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		ssun1 4201	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)
3		frege83d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sselid 4006	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))
5		frege83d.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		frege83d.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
7		frege83d.he	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
8	1, 4, 5, 6, 7	frege81d 43704	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   “ cima 5698  ‘cfv 6568  t+ctcl 15028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-n0 12548  df-z 12634  df-uz 12898  df-seq 14047  df-trcl 15030  df-relexp 15063

This theorem is referenced by:  frege133d  43722