Theorem frege83d 44551

Description: If the image of the union of 𝑈 and 𝑉 is a subset of the union of 𝑈 and 𝑉, 𝐴 is an element of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of the union of 𝑈 and 𝑉. Similar to Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Compare with frege83 44749. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege83d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege83d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
frege83d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege83d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege83d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
frege83d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem frege83d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege83d.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		ssun1 4131	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)
3		frege83d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sselid 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))
5		frege83d.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		frege83d.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
7		frege83d.he	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ (𝑈 ∪ 𝑉)) ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
8	1, 4, 5, 6, 7	frege81d 44550	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   “ cima 5666  ‘cfv 6540  t+ctcl 15050

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-seq 14060  df-trcl 15052  df-relexp 15085

This theorem is used by:  frege133d  44568