Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege83 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege83 42292
Description: Apply commuted form of frege81 42290 when the property 𝑅 is hereditary in a disjunction of two properties, only one of which is known to be held by 𝑋. Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Here we introduce the union of classes where Frege has a disjunction of properties which are represented by membership in either of the classes. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege83.x 𝑋𝑆
frege83.y 𝑌𝑇
frege83.r 𝑅𝑈
frege83.b 𝐵𝑉
frege83.c 𝐶𝑊
Assertion
Ref Expression
frege83 (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶))))

Proof of Theorem frege83
StepHypRef Expression
1 frege36 42185 . . 3 (𝑋𝐵 → (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
2 elun 4113 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑋𝐵𝑋𝐶))
3 df-or 847 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑋𝐶) ↔ (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
42, 3bitri 275 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
51, 4sylibr 233 . 2 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐵𝐶))
6 frege83.x . . 3 𝑋𝑆
7 frege83.y . . 3 𝑌𝑇
8 frege83.r . . 3 𝑅𝑈
9 frege83.b . . . . 5 𝐵𝑉
109elexi 3467 . . . 4 𝐵 ∈ V
11 frege83.c . . . . 5 𝐶𝑊
1211elexi 3467 . . . 4 𝐶 ∈ V
1310, 12unex 7685 . . 3 (𝐵𝐶) ∈ V
146, 7, 8, 13frege82 42291 . 2 ((𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶)))))
155, 14ax-mp 5 1 (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 846  wcel 2107  Vcvv 3448  cun 3913   class class class wbr 5110  cfv 6501  t+ctcl 14877   hereditary whe 42118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-frege1 42136  ax-frege2 42137  ax-frege8 42155  ax-frege28 42176  ax-frege31 42180  ax-frege52a 42203  ax-frege58b 42247
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-trcl 14879  df-relexp 14912  df-he 42119
This theorem is referenced by:  frege133  42342
  Copyright terms: Public domain W3C validator