Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege83 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege83 40480
Description: Apply commuted form of frege81 40478 when the property 𝑅 is hereditary in a disjunction of two properties, only one of which is known to be held by 𝑋. Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Here we introduce the union of classes where Frege has a disjunction of properties which are represented by membership in either of the classes. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege83.x 𝑋𝑆
frege83.y 𝑌𝑇
frege83.r 𝑅𝑈
frege83.b 𝐵𝑉
frege83.c 𝐶𝑊
Assertion
Ref Expression
frege83 (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶))))

Proof of Theorem frege83
StepHypRef Expression
1 frege36 40373 . . 3 (𝑋𝐵 → (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
2 elun 4109 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑋𝐵𝑋𝐶))
3 df-or 845 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑋𝐶) ↔ (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
42, 3bitri 278 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
51, 4sylibr 237 . 2 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐵𝐶))
6 frege83.x . . 3 𝑋𝑆
7 frege83.y . . 3 𝑌𝑇
8 frege83.r . . 3 𝑅𝑈
9 frege83.b . . . . 5 𝐵𝑉
109elexi 3498 . . . 4 𝐵 ∈ V
11 frege83.c . . . . 5 𝐶𝑊
1211elexi 3498 . . . 4 𝐶 ∈ V
1310, 12unex 7452 . . 3 (𝐵𝐶) ∈ V
146, 7, 8, 13frege82 40479 . 2 ((𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶)))))
155, 14ax-mp 5 1 (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 844  wcel 2115  Vcvv 3479  cun 3916   class class class wbr 5047  cfv 6336  t+ctcl 14334   hereditary whe 40306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-frege1 40324  ax-frege2 40325  ax-frege8 40343  ax-frege28 40364  ax-frege31 40368  ax-frege52a 40391  ax-frege58b 40435
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-seq 13363  df-trcl 14336  df-relexp 14369  df-he 40307
This theorem is referenced by:  frege133  40530
  Copyright terms: Public domain W3C validator