Theorem frege83 41443

Description: Apply commuted form of frege81 41441 when the property 𝑅 is hereditary in a disjunction of two properties, only one of which is known to be held by 𝑋. Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Here we introduce the union of classes where Frege has a disjunction of properties which are represented by membership in either of the classes. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege83.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑆
frege83.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑇
frege83.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑈
frege83.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑉
frege83.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege83	⊢ (𝑅 hereditary (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶))))

Proof of Theorem frege83

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege36 41336	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐶))
2		elun 4079	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ 𝐶))
3		df-or 844	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ 𝐶) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐶))
4	2, 3	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐶))
5	1, 4	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶))
6		frege83.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑆
7		frege83.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑇
8		frege83.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑈
9		frege83.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑉
10	9	elexi 3441	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
11		frege83.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑊
12	11	elexi 3441	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
13	10, 12	unex 7574	. . 3 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V
14	6, 7, 8, 13	frege82 41442	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝑅 hereditary (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)))))
15	5, 14	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑅 hereditary (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 843   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  t+ctcl 14624   hereditary whe 41269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-frege1 41287  ax-frege2 41288  ax-frege8 41306  ax-frege28 41327  ax-frege31 41331  ax-frege52a 41354  ax-frege58b 41398

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-trcl 14626  df-relexp 14659  df-he 41270

This theorem is referenced by:  frege133  41493