Theorem frege81d 44691

Description: If the image of 𝑈 is a subset 𝑈, 𝐴 is an element of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 81 of [Frege1879] p. 63. Compare with frege81 44888. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege81d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege81d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
frege81d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege81d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege81d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
frege81d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frege81d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege81d.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		frege81d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	2	elexd 3473	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
4		frege81d.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		frege81d.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
6		frege81d.he	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
7	2	snssd 4746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑈)
8		imass2 6092	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ⊆ 𝑈 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ (𝑅 “ 𝑈))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ (𝑅 “ 𝑈))
10	9, 6	sstrd 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
11	1, 3, 4, 5, 6, 10	frege77d 44690	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {csn 4583   class class class wbr 5102   “ cima 5650  ‘cfv 6527  t+ctcl 15106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-seq 14114  df-trcl 15108  df-relexp 15141

This theorem is used by:  frege83d  44692