Theorem frege133d 43260

Description: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops). Similar to Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. Compare with frege133 43491. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege133d.xa	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
frege133d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege133d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege133d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Proof of Theorem frege133d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
2		frege133d.xb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
3		frege133d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		funrel 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
6		reltrclfv 14996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
7	1, 5, 6	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
8		eliniseg2 6105	. . . . . 6 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
10	2, 9	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}))
11		frege133d.xa	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
12		brrelex2 5726	. . . . 5 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13	7, 11, 12	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14		un12 4161	. . . . . 6 ⊢ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
16	1, 15, 3	frege131d 43259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))) ⊆ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
17	1, 10, 13, 11, 16	frege83d 43243	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
18		elun 4141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
19	18	orbi2i 910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
20		elun 4141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
21		3orass 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
22	19, 20, 21	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
23	17, 22	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
24		eliniseg2 6105	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
25	7, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
26	25	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
27		elsni 4641	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
29		elrelimasn 6084	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
31	30	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
32	26, 28, 31	3orim123d 1440	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)))
33	23, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∪ cun 3937  {csn 4624   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675  Rel wrel 5677  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  t+ctcl 14964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-trcl 14966  df-relexp 14999

This theorem is referenced by: (None)