Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege133d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege133d 43755
Description: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops). Similar to Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. Compare with frege133 43986. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege133d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege133d.xa (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
frege133d.xb (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege133d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege133d (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Proof of Theorem frege133d
StepHypRef Expression
1 frege133d.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
2 frege133d.xb . . . . 5 (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
3 frege133d.fun . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 funrel 6585 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel 𝐹)
6 reltrclfv 15053 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
71, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
8 eliniseg2 6127 . . . . . 6 (Rel (t+‘𝐹) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
102, 9mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))
11 frege133d.xa . . . . 5 (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
12 brrelex2 5743 . . . . 5 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
137, 11, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
14 un12 4183 . . . . . 6 (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
161, 15, 3frege131d 43754 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))) ⊆ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
171, 10, 13, 11, 16frege83d 43738 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
18 elun 4163 . . . . 5 (𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
1918orbi2i 912 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
20 elun 4163 . . . 4 (𝐴 ∈ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
21 3orass 1089 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
2219, 20, 213bitr4i 303 . . 3 (𝐴 ∈ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
2317, 22sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
24 eliniseg2 6127 . . . . 5 (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
257, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2625biimpd 229 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
27 elsni 4648 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
2827a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
29 elrelimasn 6106 . . . . 5 (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
307, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
3130biimpd 229 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
3226, 28, 313orim123d 1443 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴)))
3323, 32mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 847  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692  Rel wrel 5694  Fun wfun 6557  cfv 6563  t+ctcl 15021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-trcl 15023  df-relexp 15056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator