Theorem frege133d 43747

Description: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops). Similar to Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. Compare with frege133 43978. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege133d.xa	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
frege133d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege133d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege133d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Proof of Theorem frege133d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
2		frege133d.xb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
3		frege133d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		funrel 6517	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
6		reltrclfv 14959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
8		eliniseg2 6066	. . . . . 6 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
10	2, 9	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}))
11		frege133d.xa	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
12		brrelex2 5685	. . . . 5 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13	7, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14		un12 4132	. . . . . 6 ⊢ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
16	1, 15, 3	frege131d 43746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))) ⊆ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
17	1, 10, 13, 11, 16	frege83d 43730	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
18		elun 4112	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
19	18	orbi2i 912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
20		elun 4112	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
21		3orass 1089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
22	19, 20, 21	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
23	17, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
24		eliniseg2 6066	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
25	7, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
26	25	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
27		elsni 4602	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
29		elrelimasn 6046	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
31	30	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
32	26, 28, 31	3orim123d 1446	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)))
33	23, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909  {csn 4585   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  Rel wrel 5636  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  t+ctcl 14927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-trcl 14929  df-relexp 14962

This theorem is referenced by: (None)