Theorem frege133d 43748

Description: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops). Similar to Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. Compare with frege133 43979. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege133d.xa	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
frege133d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege133d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege133d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Proof of Theorem frege133d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
2		frege133d.xb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
3		frege133d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		funrel 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
6		reltrclfv 14924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
8		eliniseg2 6057	. . . . . 6 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
10	2, 9	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}))
11		frege133d.xa	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
12		brrelex2 5673	. . . . 5 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13	7, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14		un12 4124	. . . . . 6 ⊢ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
16	1, 15, 3	frege131d 43747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))) ⊆ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
17	1, 10, 13, 11, 16	frege83d 43731	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
18		elun 4104	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
19	18	orbi2i 912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
20		elun 4104	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
21		3orass 1089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
22	19, 20, 21	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
23	17, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
24		eliniseg2 6057	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
25	7, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
26	25	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
27		elsni 4594	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
29		elrelimasn 6037	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
31	30	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
32	26, 28, 31	3orim123d 1446	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)))
33	23, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901  {csn 4577   class class class wbr 5092  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  Rel wrel 5624  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  t+ctcl 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-trcl 14894  df-relexp 14927

This theorem is referenced by: (None)