Theorem frege133d 44908

Description: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops). Similar to Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. Compare with frege133 45139. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege133d.xa	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
frege133d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege133d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege133d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Proof of Theorem frege133d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
2		frege133d.xb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
3		frege133d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		funrel 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
6		reltrclfv 15185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
7	1, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
8		eliniseg2 6108	. . . . . 6 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
10	2, 9	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}))
11		frege133d.xa	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
12		brrelex2 5709	. . . . 5 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13	7, 11, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14		un12 4174	. . . . . 6 ⊢ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
16	1, 15, 3	frege131d 44907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))) ⊆ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
17	1, 10, 13, 11, 16	frege83d 44891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
18		elun 4155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
19	18	orbi2i 926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
20		elun 4155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
21		3orass 1106	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
22	19, 20, 21	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
23	17, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
24		eliniseg2 6108	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
25	7, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
26	25	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
27		elsni 4601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
29		elrelimasn 6090	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
30	7, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
31	30	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
32	26, 28, 31	3orim123d 1472	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)))
33	23, 32	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  Rel wrel 5660  Fun wfun 6541  ‘cfv 6547  t+ctcl 15153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-seq 14158  df-trcl 15155  df-relexp 15188

This theorem is used by: (None)