Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege133d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege133d 43778
Description: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops). Similar to Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. Compare with frege133 44009. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege133d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege133d.xa (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
frege133d.xb (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege133d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege133d (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Proof of Theorem frege133d
StepHypRef Expression
1 frege133d.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
2 frege133d.xb . . . . 5 (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
3 frege133d.fun . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 funrel 6583 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel 𝐹)
6 reltrclfv 15056 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
71, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
8 eliniseg2 6124 . . . . . 6 (Rel (t+‘𝐹) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
102, 9mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))
11 frege133d.xa . . . . 5 (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
12 brrelex2 5739 . . . . 5 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
137, 11, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
14 un12 4173 . . . . . 6 (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
161, 15, 3frege131d 43777 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))) ⊆ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
171, 10, 13, 11, 16frege83d 43761 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
18 elun 4153 . . . . 5 (𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
1918orbi2i 913 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
20 elun 4153 . . . 4 (𝐴 ∈ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
21 3orass 1090 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
2219, 20, 213bitr4i 303 . . 3 (𝐴 ∈ (((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
2317, 22sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
24 eliniseg2 6124 . . . . 5 (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
257, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2625biimpd 229 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
27 elsni 4643 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
2827a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
29 elrelimasn 6104 . . . . 5 (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
307, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
3130biimpd 229 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
3226, 28, 313orim123d 1446 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴)))
3323, 32mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 848  w3o 1086   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  {csn 4626   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688  Rel wrel 5690  Fun wfun 6555  cfv 6561  t+ctcl 15024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-trcl 15026  df-relexp 15059
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator