Theorem frege133d 43868

Description: If 𝐹 is a function and 𝐴 and 𝐵 both follow 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹 (or both if it loops). Similar to Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. Compare with frege133 44099. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege133d.xa	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
frege133d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege133d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege133d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Proof of Theorem frege133d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
2		frege133d.xb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
3		frege133d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		funrel 6498	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
6		reltrclfv 14924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
8		eliniseg2 6054	. . . . . 6 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵))
10	2, 9	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}))
11		frege133d.xa	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐴)
12		brrelex2 5668	. . . . 5 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13	7, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14		un12 4120	. . . . . 6 ⊢ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) = ({𝐵} ∪ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
16	1, 15, 3	frege131d 43867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))) ⊆ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
17	1, 10, 13, 11, 16	frege83d 43851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
18		elun 4100	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
19	18	orbi2i 912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
20		elun 4100	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
21		3orass 1089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ (𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))))
22	19, 20, 21	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}))) ↔ (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
23	17, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})))
24		eliniseg2 6054	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
25	7, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
26	25	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
27		elsni 4590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
29		elrelimasn 6034	. . . . 5 ⊢ (Rel (t+‘𝐹) → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
31	30	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵}) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
32	26, 28, 31	3orim123d 1446	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (◡(t+‘𝐹) “ {𝐵}) ∨ 𝐴 ∈ {𝐵} ∨ 𝐴 ∈ ((t+‘𝐹) “ {𝐵})) → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)))
33	23, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  {csn 4573   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  Rel wrel 5619  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  t+ctcl 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-trcl 14894  df-relexp 14927

This theorem is referenced by: (None)