Theorem nngt0d 11489

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 11471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  0cc0 10335   < clt 10474  ℕcn 11439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  13411  faclbnd5  13473  facubnd  13475  harmonic  15074  efcllem  15291  ege2le3  15303  eftlub  15322  eflegeo  15334  eirrlem  15417  bitsfzo  15644  sqgcd  15765  prmind2  15885  nprm  15888  isprm5  15907  divdenle  15945  qnumgt0  15946  hashdvds  15968  odzdvds  15988  pythagtriplem11  16018  pythagtriplem13  16020  pythagtriplem19  16026  pcadd  16081  pcfaclem  16090  qexpz  16093  pockthlem  16097  pockthg  16098  prmreclem1  16108  prmreclem5  16112  4sqlem12  16148  4sqlem14  16150  4sqlem16  16152  vdwlem3  16175  vdwlem9  16181  psgnunilem3  18386  pgpfaclem2  18954  fvmptnn04ifd  21165  lebnumii  23273  dyadf  23895  dyadovol  23897  dyaddisjlem  23899  dyadmaxlem  23901  opnmbllem  23905  mbfi1fseqlem1  24019  mbfi1fseqlem4  24022  mbfi1fseqlem5  24023  mbfi1fseqlem6  24024  itg2gt0  24064  itg2cnlem2  24066  dgrcolem2  24567  leibpi  25222  log2tlbnd  25225  birthdaylem3  25233  amgm  25270  emcllem2  25276  harmonicbnd4  25290  lgamgulmlem1  25308  basellem1  25360  basellem4  25363  basellem6  25365  dvdsflf1o  25466  fsumfldivdiaglem  25468  fsumvma2  25492  chpchtsum  25497  perfectlem2  25508  bposlem1  25562  bposlem2  25563  bposlem6  25567  lgsqrlem4  25627  lgseisenlem1  25653  lgsquadlem1  25658  lgsquadlem2  25659  2sqlem8  25704  chebbnd1lem3  25749  rplogsumlem1  25762  rplogsumlem2  25763  rpvmasumlem  25765  dchrisumlema  25766  dchrisumlem1  25767  dchrisumlem3  25769  dchrisum0flblem2  25787  dchrisum0re  25791  logdivbnd  25834  pntpbnd1a  25863  pntpbnd1  25864  ostth2lem2  25912  ostth2lem3  25913  crctcsh  27310  clwwlknonex2  27637  minvecolem4  28435  eulerpartlemgc  31262  subfaclim  32017  cvmliftlem2  32115  cvmliftlem6  32119  cvmliftlem7  32120  cvmliftlem8  32121  cvmliftlem9  32122  cvmliftlem10  32123  cvmliftlem13  32125  knoppndvlem18  33385  knoppndvlem19  33386  knoppndvlem21  33388  poimirlem12  34342  poimirlem14  34344  poimirlem22  34352  opnmbllem0  34366  mblfinlem2  34368  oexpreposd  38608  nn0expgcd  38613  rtprmirr  38623  irrapxlem4  38815  irrapxlem5  38816  pellexlem2  38820  pellexlem6  38824  rmxypos  38937  jm2.17b  38951  jm2.17c  38952  jm2.27a  38995  jm2.27c  38997  jm3.1lem1  39007  jm3.1lem2  39008  jm3.1lem3  39009  relexpxpmin  39422  hashnzfz2  40066  sumnnodd  41340  stoweidlem1  41715  stoweidlem11  41725  stoweidlem26  41740  stoweidlem38  41752  stoweidlem42  41756  stoweidlem44  41758  stoweidlem51  41765  stoweidlem59  41773  stirlinglem3  41790  stirlinglem15  41802  dirkertrigeqlem3  41814  dirkercncflem2  41818  fourierdlem11  41832  fourierdlem14  41835  fourierdlem20  41841  fourierdlem25  41846  fourierdlem37  41858  fourierdlem41  41862  fourierdlem48  41868  fourierdlem64  41884  fourierdlem73  41893  fourierdlem79  41899  fourierdlem93  41913  etransclem35  41983  etransclem48  41996  qndenserrnbllem  42008  hoiqssbllem1  42333  hoiqssbllem2  42334  lighneallem4a  43139  proththdlem  43144  ztprmneprm  43757  expnegico01  43939  dignnld  44029