Theorem nngt0d 12235

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  0cc0 11068   < clt 11208  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14200  faclbnd5  14263  facubnd  14265  harmonic  15825  efcllem  16043  ege2le3  16056  eftlub  16077  eflegeo  16089  eirrlem  16172  bitsfzo  16405  sqgcd  16532  nn0expgcd  16534  prmind2  16655  nprm  16658  isprm5  16677  divdenle  16719  qnumgt0  16720  hashdvds  16745  odzdvds  16766  pythagtriplem11  16796  pythagtriplem13  16798  pythagtriplem19  16804  pcadd  16860  pcfaclem  16869  qexpz  16872  pockthlem  16876  pockthg  16877  prmreclem1  16887  prmreclem5  16891  4sqlem12  16927  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  vdwlem3  16954  vdwlem9  16960  ressmulgnnd  19010  psgnunilem3  19426  pgpfaclem2  20014  fvmptnn04ifd  22740  lebnumii  24865  dyadf  25492  dyadovol  25494  dyaddisjlem  25496  dyadmaxlem  25498  opnmbllem  25502  mbfi1fseqlem1  25616  mbfi1fseqlem4  25619  mbfi1fseqlem5  25620  mbfi1fseqlem6  25621  itg2gt0  25661  itg2cnlem2  25663  dgrcolem2  26180  rtprmirr  26670  leibpi  26852  log2tlbnd  26855  birthdaylem3  26863  amgm  26901  emcllem2  26907  harmonicbnd4  26921  lgamgulmlem1  26939  basellem1  26991  basellem4  26994  basellem6  26996  dvdsflf1o  27097  fsumfldivdiaglem  27099  fsumvma2  27125  chpchtsum  27130  perfectlem2  27141  bposlem1  27195  bposlem2  27196  bposlem6  27200  lgsqrlem4  27260  lgseisenlem1  27286  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  2sqlem8  27337  chebbnd1lem3  27382  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisumlema  27399  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem3  27402  dchrisum0flblem2  27420  dchrisum0re  27424  logdivbnd  27467  pntpbnd1a  27496  pntpbnd1  27497  ostth2lem2  27545  ostth2lem3  27546  crctcsh  29754  clwwlknonex2  30038  minvecolem4  30809  cycpmrn  33100  fldextrspundgdvdslem  33675  eulerpartlemgc  34353  subfaclim  35175  cvmliftlem2  35273  cvmliftlem6  35277  cvmliftlem7  35278  cvmliftlem8  35279  cvmliftlem9  35280  cvmliftlem10  35281  cvmliftlem13  35283  knoppndvlem18  36517  knoppndvlem19  36518  knoppndvlem21  36520  poimirlem12  37626  poimirlem14  37628  poimirlem22  37636  opnmbllem0  37650  mblfinlem2  37652  lcmineqlem15  42031  aks4d1p1p3  42057  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p6  42069  aks4d1p8  42075  aks4d1p9  42076  posbezout  42088  aks6d1c1  42104  aks6d1c3  42111  aks6d1c4  42112  2ap1caineq  42133  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  aks6d1c6lem4  42161  aks6d1c7lem1  42168  unitscyglem4  42186  unitscyglem5  42187  oexpreposd  42310  flt4lem5e  42644  flt4lem6  42646  flt4lem7  42647  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  rmxypos  42936  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  jm2.27a  42994  jm2.27c  42996  jm3.1lem1  43006  jm3.1lem2  43007  jm3.1lem3  43008  relexpxpmin  43706  hashnzfz2  44310  sumnnodd  45628  stoweidlem1  45999  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  stoweidlem38  46036  stoweidlem42  46040  stoweidlem44  46042  stoweidlem51  46049  stoweidlem59  46057  stirlinglem3  46074  stirlinglem15  46086  dirkertrigeqlem3  46098  dirkercncflem2  46102  fourierdlem11  46116  fourierdlem14  46119  fourierdlem20  46125  fourierdlem25  46130  fourierdlem37  46142  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem64  46168  fourierdlem73  46177  fourierdlem79  46183  fourierdlem93  46197  etransclem35  46267  etransclem48  46280  qndenserrnbllem  46292  hoiqssbllem1  46620  hoiqssbllem2  46621  cjnpoly  46890  lighneallem4a  47609  proththdlem  47614  stgrusgra  47958  ztprmneprm  48335  expnegico01  48507  dignnld  48592