Theorem nngt0d 12256

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  0cc0 11067   < clt 11210  ℕcn 12204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205

This theorem is referenced by:  nnge2recico01  13505  expmulnbnd  14242  faclbnd5  14305  facubnd  14307  harmonic  15880  efcllem  16098  ege2le3  16111  eftlub  16132  eflegeo  16144  eirrlem  16227  bitsfzo  16460  sqgcd  16587  nn0expgcd  16589  prmind2  16710  nprm  16713  isprm5  16733  divdenle  16775  qnumgt0  16776  hashdvds  16801  odzdvds  16822  pythagtriplem11  16852  pythagtriplem13  16854  pythagtriplem19  16860  pcadd  16916  pcfaclem  16925  qexpz  16928  pockthlem  16932  pockthg  16933  prmreclem1  16943  prmreclem5  16947  4sqlem12  16983  4sqlem14  16985  4sqlem16  16987  vdwlem3  17010  vdwlem9  17016  ressmulgnnd  19111  psgnunilem3  19527  pgpfaclem2  20115  fvmptnn04ifd  22901  lebnumii  25016  dyadf  25641  dyadovol  25643  dyaddisjlem  25645  dyadmaxlem  25647  opnmbllem  25651  mbfi1fseqlem1  25765  mbfi1fseqlem4  25768  mbfi1fseqlem5  25769  mbfi1fseqlem6  25770  itg2gt0  25810  itg2cnlem2  25812  dgrcolem2  26322  rtprmirr  26813  leibpi  26995  log2tlbnd  26998  birthdaylem3  27006  amgm  27043  emcllem2  27049  harmonicbnd4  27063  lgamgulmlem1  27081  basellem1  27133  basellem4  27136  basellem6  27138  dvdsflf1o  27239  fsumfldivdiaglem  27241  fsumvma2  27266  chpchtsum  27271  perfectlem2  27282  bposlem1  27336  bposlem2  27337  bposlem6  27341  lgsqrlem4  27401  lgseisenlem1  27427  lgsquadlem1  27432  lgsquadlem2  27433  2sqlem8  27478  chebbnd1lem3  27523  rplogsumlem1  27536  rplogsumlem2  27537  rpvmasumlem  27539  dchrisumlema  27540  dchrisumlem1  27541  dchrisumlem3  27543  dchrisum0flblem2  27561  dchrisum0re  27565  logdivbnd  27608  pntpbnd1a  27637  pntpbnd1  27638  ostth2lem2  27686  ostth2lem3  27687  crctcsh  29981  clwwlknonex2  30268  minvecolem4  31040  cycpmrn  33284  fldextrspundgdvdslem  33938  eulerpartlemgc  34620  subfaclim  35499  cvmliftlem2  35597  cvmliftlem6  35601  cvmliftlem7  35602  cvmliftlem8  35603  cvmliftlem9  35604  cvmliftlem10  35605  cvmliftlem13  35607  knoppndvlem18  36928  knoppndvlem19  36929  knoppndvlem21  36931  poimirlem12  38092  poimirlem14  38094  poimirlem22  38102  opnmbllem0  38116  mblfinlem2  38118  lcmineqlem15  42621  aks4d1p1p3  42647  aks4d1p1p2  42648  aks4d1p1p4  42649  aks4d1p6  42659  aks4d1p8  42665  aks4d1p9  42666  posbezout  42678  aks6d1c1  42694  aks6d1c3  42701  aks6d1c4  42702  2ap1caineq  42723  sticksstones12a  42735  sticksstones12  42736  aks6d1c6lem4  42751  aks6d1c7lem1  42758  unitscyglem4  42776  unitscyglem5  42777  oexpreposd  42892  flt4lem5e  43199  flt4lem6  43201  flt4lem7  43202  irrapxlem4  43363  irrapxlem5  43364  pellexlem2  43368  pellexlem6  43372  rmxypos  43485  jm2.17b  43499  jm2.17c  43500  jm2.27a  43543  jm2.27c  43545  jm3.1lem1  43555  jm3.1lem2  43556  jm3.1lem3  43557  relexpxpmin  44254  hashnzfz2  44858  sumnnodd  46167  stoweidlem1  46536  stoweidlem11  46546  stoweidlem26  46561  stoweidlem38  46573  stoweidlem42  46577  stoweidlem44  46579  stoweidlem51  46586  stoweidlem59  46594  stirlinglem3  46611  stirlinglem15  46623  dirkertrigeqlem3  46635  dirkercncflem2  46639  fourierdlem11  46653  fourierdlem14  46656  fourierdlem20  46662  fourierdlem25  46667  fourierdlem37  46679  fourierdlem41  46683  fourierdlem48  46689  fourierdlem64  46705  fourierdlem73  46714  fourierdlem79  46720  fourierdlem93  46734  etransclem35  46804  etransclem48  46817  qndenserrnbllem  46829  hoiqssbllem1  47157  hoiqssbllem2  47158  cjnpoly  47444  2timesltsq  47933  lighneallem4a  48178  proththdlem  48183  stgrusgra  48542  ztprmneprm  48930  expnegico01  49101  dignnld  49186