Theorem nngt0d 12226

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  0cc0 11038   < clt 11179  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  nnge2recico01  13460  expmulnbnd  14197  faclbnd5  14260  facubnd  14262  harmonic  15824  efcllem  16042  ege2le3  16055  eftlub  16076  eflegeo  16088  eirrlem  16171  bitsfzo  16404  sqgcd  16531  nn0expgcd  16533  prmind2  16654  nprm  16657  isprm5  16677  divdenle  16719  qnumgt0  16720  hashdvds  16745  odzdvds  16766  pythagtriplem11  16796  pythagtriplem13  16798  pythagtriplem19  16804  pcadd  16860  pcfaclem  16869  qexpz  16872  pockthlem  16876  pockthg  16877  prmreclem1  16887  prmreclem5  16891  4sqlem12  16927  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  vdwlem3  16954  vdwlem9  16960  ressmulgnnd  19054  psgnunilem3  19471  pgpfaclem2  20059  fvmptnn04ifd  22818  lebnumii  24933  dyadf  25558  dyadovol  25560  dyaddisjlem  25562  dyadmaxlem  25564  opnmbllem  25568  mbfi1fseqlem1  25682  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  itg2gt0  25727  itg2cnlem2  25729  dgrcolem2  26239  rtprmirr  26724  leibpi  26906  log2tlbnd  26909  birthdaylem3  26917  amgm  26954  emcllem2  26960  harmonicbnd4  26974  lgamgulmlem1  26992  basellem1  27044  basellem4  27047  basellem6  27049  dvdsflf1o  27150  fsumfldivdiaglem  27152  fsumvma2  27177  chpchtsum  27182  perfectlem2  27193  bposlem1  27247  bposlem2  27248  bposlem6  27252  lgsqrlem4  27312  lgseisenlem1  27338  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2sqlem8  27389  chebbnd1lem3  27434  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlema  27451  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem3  27454  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0re  27476  logdivbnd  27519  pntpbnd1a  27548  pntpbnd1  27549  ostth2lem2  27597  ostth2lem3  27598  crctcsh  29892  clwwlknonex2  30179  minvecolem4  30951  cycpmrn  33204  fldextrspundgdvdslem  33824  eulerpartlemgc  34506  subfaclim  35370  cvmliftlem2  35468  cvmliftlem6  35472  cvmliftlem7  35473  cvmliftlem8  35474  cvmliftlem9  35475  cvmliftlem10  35476  cvmliftlem13  35478  knoppndvlem18  36789  knoppndvlem19  36790  knoppndvlem21  36792  poimirlem12  37953  poimirlem14  37955  poimirlem22  37963  opnmbllem0  37977  mblfinlem2  37979  lcmineqlem15  42482  aks4d1p1p3  42508  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p6  42520  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  posbezout  42539  aks6d1c1  42555  aks6d1c3  42562  aks6d1c4  42563  2ap1caineq  42584  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c6lem4  42612  aks6d1c7lem1  42619  unitscyglem4  42637  unitscyglem5  42638  oexpreposd  42754  flt4lem5e  43089  flt4lem6  43091  flt4lem7  43092  irrapxlem4  43253  irrapxlem5  43254  pellexlem2  43258  pellexlem6  43262  rmxypos  43375  jm2.17b  43389  jm2.17c  43390  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  jm3.1lem1  43445  jm3.1lem2  43446  jm3.1lem3  43447  relexpxpmin  44144  hashnzfz2  44748  sumnnodd  46060  stoweidlem1  46429  stoweidlem11  46439  stoweidlem26  46454  stoweidlem38  46466  stoweidlem42  46470  stoweidlem44  46472  stoweidlem51  46479  stoweidlem59  46487  stirlinglem3  46504  stirlinglem15  46516  dirkertrigeqlem3  46528  dirkercncflem2  46532  fourierdlem11  46546  fourierdlem14  46549  fourierdlem20  46555  fourierdlem25  46560  fourierdlem37  46572  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem64  46598  fourierdlem73  46607  fourierdlem79  46613  fourierdlem93  46627  etransclem35  46697  etransclem48  46710  qndenserrnbllem  46722  hoiqssbllem1  47050  hoiqssbllem2  47051  cjnpoly  47337  2timesltsq  47826  lighneallem4a  48071  proththdlem  48076  stgrusgra  48435  ztprmneprm  48823  expnegico01  48994  dignnld  49079