MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0d 11678
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nngt0d (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nngt0 11660 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112   class class class wbr 5033  0cc0 10530   < clt 10668  cn 11629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  13596  faclbnd5  13658  facubnd  13660  harmonic  15209  efcllem  15426  ege2le3  15438  eftlub  15457  eflegeo  15469  eirrlem  15552  bitsfzo  15777  sqgcd  15902  prmind2  16022  nprm  16025  isprm5  16044  divdenle  16082  qnumgt0  16083  hashdvds  16105  odzdvds  16125  pythagtriplem11  16155  pythagtriplem13  16157  pythagtriplem19  16163  pcadd  16218  pcfaclem  16227  qexpz  16230  pockthlem  16234  pockthg  16235  prmreclem1  16245  prmreclem5  16249  4sqlem12  16285  4sqlem14  16287  4sqlem16  16289  vdwlem3  16312  vdwlem9  16318  psgnunilem3  18619  pgpfaclem2  19200  fvmptnn04ifd  21461  lebnumii  23574  dyadf  24198  dyadovol  24200  dyaddisjlem  24202  dyadmaxlem  24204  opnmbllem  24208  mbfi1fseqlem1  24322  mbfi1fseqlem4  24325  mbfi1fseqlem5  24326  mbfi1fseqlem6  24327  itg2gt0  24367  itg2cnlem2  24369  dgrcolem2  24874  leibpi  25531  log2tlbnd  25534  birthdaylem3  25542  amgm  25579  emcllem2  25585  harmonicbnd4  25599  lgamgulmlem1  25617  basellem1  25669  basellem4  25672  basellem6  25674  dvdsflf1o  25775  fsumfldivdiaglem  25777  fsumvma2  25801  chpchtsum  25806  perfectlem2  25817  bposlem1  25871  bposlem2  25872  bposlem6  25876  lgsqrlem4  25936  lgseisenlem1  25962  lgsquadlem1  25967  lgsquadlem2  25968  2sqlem8  26013  chebbnd1lem3  26058  rplogsumlem1  26071  rplogsumlem2  26072  rpvmasumlem  26074  dchrisumlema  26075  dchrisumlem1  26076  dchrisumlem3  26078  dchrisum0flblem2  26096  dchrisum0re  26100  logdivbnd  26143  pntpbnd1a  26172  pntpbnd1  26173  ostth2lem2  26221  ostth2lem3  26222  crctcsh  27613  clwwlknonex2  27897  minvecolem4  28666  cycpmrn  30838  eulerpartlemgc  31728  subfaclim  32543  cvmliftlem2  32641  cvmliftlem6  32645  cvmliftlem7  32646  cvmliftlem8  32647  cvmliftlem9  32648  cvmliftlem10  32649  cvmliftlem13  32651  knoppndvlem18  33976  knoppndvlem19  33977  knoppndvlem21  33979  poimirlem12  35062  poimirlem14  35064  poimirlem22  35072  opnmbllem0  35086  mblfinlem2  35088  lcmineqlem15  39324  3lexlogpow5ineq2  39335  3lexlogpow5ineq3  39336  2ap1caineq  39340  oexpreposd  39474  nn0expgcd  39479  rtprmirr  39489  irrapxlem4  39753  irrapxlem5  39754  pellexlem2  39758  pellexlem6  39762  rmxypos  39875  jm2.17b  39889  jm2.17c  39890  jm2.27a  39933  jm2.27c  39935  jm3.1lem1  39945  jm3.1lem2  39946  jm3.1lem3  39947  relexpxpmin  40405  hashnzfz2  41012  sumnnodd  42259  stoweidlem1  42630  stoweidlem11  42640  stoweidlem26  42655  stoweidlem38  42667  stoweidlem42  42671  stoweidlem44  42673  stoweidlem51  42680  stoweidlem59  42688  stirlinglem3  42705  stirlinglem15  42717  dirkertrigeqlem3  42729  dirkercncflem2  42733  fourierdlem11  42747  fourierdlem14  42750  fourierdlem20  42756  fourierdlem25  42761  fourierdlem37  42773  fourierdlem41  42777  fourierdlem48  42783  fourierdlem64  42799  fourierdlem73  42808  fourierdlem79  42814  fourierdlem93  42828  etransclem35  42898  etransclem48  42911  qndenserrnbllem  42923  hoiqssbllem1  43248  hoiqssbllem2  43249  lighneallem4a  44113  proththdlem  44118  ztprmneprm  44736  expnegico01  44914  dignnld  45004
  Copyright terms: Public domain W3C validator