MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0d 11674
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nngt0d (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nngt0 11656 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  0cc0 10525   < clt 10663  cn 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  13584  faclbnd5  13646  facubnd  13648  harmonic  15202  efcllem  15419  ege2le3  15431  eftlub  15450  eflegeo  15462  eirrlem  15545  bitsfzo  15772  sqgcd  15897  prmind2  16017  nprm  16020  isprm5  16039  divdenle  16077  qnumgt0  16078  hashdvds  16100  odzdvds  16120  pythagtriplem11  16150  pythagtriplem13  16152  pythagtriplem19  16158  pcadd  16213  pcfaclem  16222  qexpz  16225  pockthlem  16229  pockthg  16230  prmreclem1  16240  prmreclem5  16244  4sqlem12  16280  4sqlem14  16282  4sqlem16  16284  vdwlem3  16307  vdwlem9  16313  psgnunilem3  18553  pgpfaclem2  19133  fvmptnn04ifd  21389  lebnumii  23497  dyadf  24119  dyadovol  24121  dyaddisjlem  24123  dyadmaxlem  24125  opnmbllem  24129  mbfi1fseqlem1  24243  mbfi1fseqlem4  24246  mbfi1fseqlem5  24247  mbfi1fseqlem6  24248  itg2gt0  24288  itg2cnlem2  24290  dgrcolem2  24791  leibpi  25447  log2tlbnd  25450  birthdaylem3  25458  amgm  25495  emcllem2  25501  harmonicbnd4  25515  lgamgulmlem1  25533  basellem1  25585  basellem4  25588  basellem6  25590  dvdsflf1o  25691  fsumfldivdiaglem  25693  fsumvma2  25717  chpchtsum  25722  perfectlem2  25733  bposlem1  25787  bposlem2  25788  bposlem6  25792  lgsqrlem4  25852  lgseisenlem1  25878  lgsquadlem1  25883  lgsquadlem2  25884  2sqlem8  25929  chebbnd1lem3  25974  rplogsumlem1  25987  rplogsumlem2  25988  rpvmasumlem  25990  dchrisumlema  25991  dchrisumlem1  25992  dchrisumlem3  25994  dchrisum0flblem2  26012  dchrisum0re  26016  logdivbnd  26059  pntpbnd1a  26088  pntpbnd1  26089  ostth2lem2  26137  ostth2lem3  26138  crctcsh  27529  clwwlknonex2  27815  minvecolem4  28584  cycpmrn  30712  eulerpartlemgc  31519  subfaclim  32332  cvmliftlem2  32430  cvmliftlem6  32434  cvmliftlem7  32435  cvmliftlem8  32436  cvmliftlem9  32437  cvmliftlem10  32438  cvmliftlem13  32440  knoppndvlem18  33765  knoppndvlem19  33766  knoppndvlem21  33768  poimirlem12  34785  poimirlem14  34787  poimirlem22  34795  opnmbllem0  34809  mblfinlem2  34811  oexpreposd  39057  nn0expgcd  39062  rtprmirr  39072  irrapxlem4  39300  irrapxlem5  39301  pellexlem2  39305  pellexlem6  39309  rmxypos  39422  jm2.17b  39436  jm2.17c  39437  jm2.27a  39480  jm2.27c  39482  jm3.1lem1  39492  jm3.1lem2  39493  jm3.1lem3  39494  relexpxpmin  39940  hashnzfz2  40530  sumnnodd  41787  stoweidlem1  42163  stoweidlem11  42173  stoweidlem26  42188  stoweidlem38  42200  stoweidlem42  42204  stoweidlem44  42206  stoweidlem51  42213  stoweidlem59  42221  stirlinglem3  42238  stirlinglem15  42250  dirkertrigeqlem3  42262  dirkercncflem2  42266  fourierdlem11  42280  fourierdlem14  42283  fourierdlem20  42289  fourierdlem25  42294  fourierdlem37  42306  fourierdlem41  42310  fourierdlem48  42316  fourierdlem64  42332  fourierdlem73  42341  fourierdlem79  42347  fourierdlem93  42361  etransclem35  42431  etransclem48  42444  qndenserrnbllem  42456  hoiqssbllem1  42781  hoiqssbllem2  42782  lighneallem4a  43650  proththdlem  43655  ztprmneprm  44323  expnegico01  44501  dignnld  44591
  Copyright terms: Public domain W3C validator