Theorem nngt0d 12315

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  0cc0 11155   < clt 11295  ℕcn 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14274  faclbnd5  14337  facubnd  14339  harmonic  15895  efcllem  16113  ege2le3  16126  eftlub  16145  eflegeo  16157  eirrlem  16240  bitsfzo  16472  sqgcd  16599  nn0expgcd  16601  prmind2  16722  nprm  16725  isprm5  16744  divdenle  16786  qnumgt0  16787  hashdvds  16812  odzdvds  16833  pythagtriplem11  16863  pythagtriplem13  16865  pythagtriplem19  16871  pcadd  16927  pcfaclem  16936  qexpz  16939  pockthlem  16943  pockthg  16944  prmreclem1  16954  prmreclem5  16958  4sqlem12  16994  4sqlem14  16996  4sqlem16  16998  vdwlem3  17021  vdwlem9  17027  ressmulgnnd  19096  psgnunilem3  19514  pgpfaclem2  20102  fvmptnn04ifd  22859  lebnumii  24998  dyadf  25626  dyadovol  25628  dyaddisjlem  25630  dyadmaxlem  25632  opnmbllem  25636  mbfi1fseqlem1  25750  mbfi1fseqlem4  25753  mbfi1fseqlem5  25754  mbfi1fseqlem6  25755  itg2gt0  25795  itg2cnlem2  25797  dgrcolem2  26314  rtprmirr  26803  leibpi  26985  log2tlbnd  26988  birthdaylem3  26996  amgm  27034  emcllem2  27040  harmonicbnd4  27054  lgamgulmlem1  27072  basellem1  27124  basellem4  27127  basellem6  27129  dvdsflf1o  27230  fsumfldivdiaglem  27232  fsumvma2  27258  chpchtsum  27263  perfectlem2  27274  bposlem1  27328  bposlem2  27329  bposlem6  27333  lgsqrlem4  27393  lgseisenlem1  27419  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  2sqlem8  27470  chebbnd1lem3  27515  rplogsumlem1  27528  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  dchrisumlema  27532  dchrisumlem1  27533  dchrisumlem3  27535  dchrisum0flblem2  27553  dchrisum0re  27557  logdivbnd  27600  pntpbnd1a  27629  pntpbnd1  27630  ostth2lem2  27678  ostth2lem3  27679  crctcsh  29844  clwwlknonex2  30128  minvecolem4  30899  cycpmrn  33163  fldextrspundgdvdslem  33730  eulerpartlemgc  34364  subfaclim  35193  cvmliftlem2  35291  cvmliftlem6  35295  cvmliftlem7  35296  cvmliftlem8  35297  cvmliftlem9  35298  cvmliftlem10  35299  cvmliftlem13  35301  knoppndvlem18  36530  knoppndvlem19  36531  knoppndvlem21  36533  poimirlem12  37639  poimirlem14  37641  poimirlem22  37649  opnmbllem0  37663  mblfinlem2  37665  lcmineqlem15  42044  aks4d1p1p3  42070  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p6  42082  aks4d1p8  42088  aks4d1p9  42089  posbezout  42101  aks6d1c1  42117  aks6d1c3  42124  aks6d1c4  42125  2ap1caineq  42146  sticksstones12a  42158  sticksstones12  42159  aks6d1c6lem4  42174  aks6d1c7lem1  42181  unitscyglem4  42199  unitscyglem5  42200  oexpreposd  42357  flt4lem5e  42666  flt4lem6  42668  flt4lem7  42669  irrapxlem4  42836  irrapxlem5  42837  pellexlem2  42841  pellexlem6  42845  rmxypos  42959  jm2.17b  42973  jm2.17c  42974  jm2.27a  43017  jm2.27c  43019  jm3.1lem1  43029  jm3.1lem2  43030  jm3.1lem3  43031  relexpxpmin  43730  hashnzfz2  44340  sumnnodd  45645  stoweidlem1  46016  stoweidlem11  46026  stoweidlem26  46041  stoweidlem38  46053  stoweidlem42  46057  stoweidlem44  46059  stoweidlem51  46066  stoweidlem59  46074  stirlinglem3  46091  stirlinglem15  46103  dirkertrigeqlem3  46115  dirkercncflem2  46119  fourierdlem11  46133  fourierdlem14  46136  fourierdlem20  46142  fourierdlem25  46147  fourierdlem37  46159  fourierdlem41  46163  fourierdlem48  46169  fourierdlem64  46185  fourierdlem73  46194  fourierdlem79  46200  fourierdlem93  46214  etransclem35  46284  etransclem48  46297  qndenserrnbllem  46309  hoiqssbllem1  46637  hoiqssbllem2  46638  lighneallem4a  47595  proththdlem  47600  stgrusgra  47926  ztprmneprm  48263  expnegico01  48435  dignnld  48524