Theorem nngt0d 12031

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12013	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  0cc0 10880   < clt 11018  ℕcn 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  13959  faclbnd5  14021  facubnd  14023  harmonic  15580  efcllem  15796  ege2le3  15808  eftlub  15827  eflegeo  15839  eirrlem  15922  bitsfzo  16151  sqgcd  16279  prmind2  16399  nprm  16402  isprm5  16421  divdenle  16462  qnumgt0  16463  hashdvds  16485  odzdvds  16505  pythagtriplem11  16535  pythagtriplem13  16537  pythagtriplem19  16543  pcadd  16599  pcfaclem  16608  qexpz  16611  pockthlem  16615  pockthg  16616  prmreclem1  16626  prmreclem5  16630  4sqlem12  16666  4sqlem14  16668  4sqlem16  16670  vdwlem3  16693  vdwlem9  16699  psgnunilem3  19113  pgpfaclem2  19694  fvmptnn04ifd  22011  lebnumii  24138  dyadf  24764  dyadovol  24766  dyaddisjlem  24768  dyadmaxlem  24770  opnmbllem  24774  mbfi1fseqlem1  24889  mbfi1fseqlem4  24892  mbfi1fseqlem5  24893  mbfi1fseqlem6  24894  itg2gt0  24934  itg2cnlem2  24936  dgrcolem2  25444  leibpi  26101  log2tlbnd  26104  birthdaylem3  26112  amgm  26149  emcllem2  26155  harmonicbnd4  26169  lgamgulmlem1  26187  basellem1  26239  basellem4  26242  basellem6  26244  dvdsflf1o  26345  fsumfldivdiaglem  26347  fsumvma2  26371  chpchtsum  26376  perfectlem2  26387  bposlem1  26441  bposlem2  26442  bposlem6  26446  lgsqrlem4  26506  lgseisenlem1  26532  lgsquadlem1  26537  lgsquadlem2  26538  2sqlem8  26583  chebbnd1lem3  26628  rplogsumlem1  26641  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisumlema  26645  dchrisumlem1  26646  dchrisumlem3  26648  dchrisum0flblem2  26666  dchrisum0re  26670  logdivbnd  26713  pntpbnd1a  26742  pntpbnd1  26743  ostth2lem2  26791  ostth2lem3  26792  crctcsh  28198  clwwlknonex2  28482  minvecolem4  29251  cycpmrn  31419  eulerpartlemgc  32338  subfaclim  33159  cvmliftlem2  33257  cvmliftlem6  33261  cvmliftlem7  33262  cvmliftlem8  33263  cvmliftlem9  33264  cvmliftlem10  33265  cvmliftlem13  33267  knoppndvlem18  34718  knoppndvlem19  34719  knoppndvlem21  34721  poimirlem12  35798  poimirlem14  35800  poimirlem22  35808  opnmbllem0  35822  mblfinlem2  35824  lcmineqlem15  40058  aks4d1p1p3  40084  aks4d1p1p2  40085  aks4d1p1p4  40086  aks4d1p6  40096  aks4d1p8  40102  aks4d1p9  40103  2ap1caineq  40108  sticksstones12a  40120  sticksstones12  40121  oexpreposd  40328  nn0expgcd  40342  rtprmirr  40354  flt4lem5e  40500  flt4lem6  40502  flt4lem7  40503  irrapxlem4  40654  irrapxlem5  40655  pellexlem2  40659  pellexlem6  40663  rmxypos  40776  jm2.17b  40790  jm2.17c  40791  jm2.27a  40834  jm2.27c  40836  jm3.1lem1  40846  jm3.1lem2  40847  jm3.1lem3  40848  relexpxpmin  41332  hashnzfz2  41946  sumnnodd  43178  stoweidlem1  43549  stoweidlem11  43559  stoweidlem26  43574  stoweidlem38  43586  stoweidlem42  43590  stoweidlem44  43592  stoweidlem51  43599  stoweidlem59  43607  stirlinglem3  43624  stirlinglem15  43636  dirkertrigeqlem3  43648  dirkercncflem2  43652  fourierdlem11  43666  fourierdlem14  43669  fourierdlem20  43675  fourierdlem25  43680  fourierdlem37  43692  fourierdlem41  43696  fourierdlem48  43702  fourierdlem64  43718  fourierdlem73  43727  fourierdlem79  43733  fourierdlem93  43747  etransclem35  43817  etransclem48  43830  qndenserrnbllem  43842  hoiqssbllem1  44167  hoiqssbllem2  44168  lighneallem4a  45071  proththdlem  45076  ztprmneprm  45694  expnegico01  45870  dignnld  45960