Theorem nngt0d 12169

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  0cc0 11001   < clt 11141  ℕcn 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14137  faclbnd5  14200  facubnd  14202  harmonic  15761  efcllem  15979  ege2le3  15992  eftlub  16013  eflegeo  16025  eirrlem  16108  bitsfzo  16341  sqgcd  16468  nn0expgcd  16470  prmind2  16591  nprm  16594  isprm5  16613  divdenle  16655  qnumgt0  16656  hashdvds  16681  odzdvds  16702  pythagtriplem11  16732  pythagtriplem13  16734  pythagtriplem19  16740  pcadd  16796  pcfaclem  16805  qexpz  16808  pockthlem  16812  pockthg  16813  prmreclem1  16823  prmreclem5  16827  4sqlem12  16863  4sqlem14  16865  4sqlem16  16867  vdwlem3  16890  vdwlem9  16896  ressmulgnnd  18986  psgnunilem3  19403  pgpfaclem2  19991  fvmptnn04ifd  22763  lebnumii  24887  dyadf  25514  dyadovol  25516  dyaddisjlem  25518  dyadmaxlem  25520  opnmbllem  25524  mbfi1fseqlem1  25638  mbfi1fseqlem4  25641  mbfi1fseqlem5  25642  mbfi1fseqlem6  25643  itg2gt0  25683  itg2cnlem2  25685  dgrcolem2  26202  rtprmirr  26692  leibpi  26874  log2tlbnd  26877  birthdaylem3  26885  amgm  26923  emcllem2  26929  harmonicbnd4  26943  lgamgulmlem1  26961  basellem1  27013  basellem4  27016  basellem6  27018  dvdsflf1o  27119  fsumfldivdiaglem  27121  fsumvma2  27147  chpchtsum  27152  perfectlem2  27163  bposlem1  27217  bposlem2  27218  bposlem6  27222  lgsqrlem4  27282  lgseisenlem1  27308  lgsquadlem1  27313  lgsquadlem2  27314  2sqlem8  27359  chebbnd1lem3  27404  rplogsumlem1  27417  rplogsumlem2  27418  rpvmasumlem  27420  dchrisumlema  27421  dchrisumlem1  27422  dchrisumlem3  27424  dchrisum0flblem2  27442  dchrisum0re  27446  logdivbnd  27489  pntpbnd1a  27518  pntpbnd1  27519  ostth2lem2  27567  ostth2lem3  27568  crctcsh  29797  clwwlknonex2  30081  minvecolem4  30852  cycpmrn  33104  fldextrspundgdvdslem  33685  eulerpartlemgc  34367  subfaclim  35224  cvmliftlem2  35322  cvmliftlem6  35326  cvmliftlem7  35327  cvmliftlem8  35328  cvmliftlem9  35329  cvmliftlem10  35330  cvmliftlem13  35332  knoppndvlem18  36563  knoppndvlem19  36564  knoppndvlem21  36566  poimirlem12  37672  poimirlem14  37674  poimirlem22  37682  opnmbllem0  37696  mblfinlem2  37698  lcmineqlem15  42076  aks4d1p1p3  42102  aks4d1p1p2  42103  aks4d1p1p4  42104  aks4d1p6  42114  aks4d1p8  42120  aks4d1p9  42121  posbezout  42133  aks6d1c1  42149  aks6d1c3  42156  aks6d1c4  42157  2ap1caineq  42178  sticksstones12a  42190  sticksstones12  42191  aks6d1c6lem4  42206  aks6d1c7lem1  42213  unitscyglem4  42231  unitscyglem5  42232  oexpreposd  42355  flt4lem5e  42689  flt4lem6  42691  flt4lem7  42692  irrapxlem4  42858  irrapxlem5  42859  pellexlem2  42863  pellexlem6  42867  rmxypos  42980  jm2.17b  42994  jm2.17c  42995  jm2.27a  43038  jm2.27c  43040  jm3.1lem1  43050  jm3.1lem2  43051  jm3.1lem3  43052  relexpxpmin  43750  hashnzfz2  44354  sumnnodd  45670  stoweidlem1  46039  stoweidlem11  46049  stoweidlem26  46064  stoweidlem38  46076  stoweidlem42  46080  stoweidlem44  46082  stoweidlem51  46089  stoweidlem59  46097  stirlinglem3  46114  stirlinglem15  46126  dirkertrigeqlem3  46138  dirkercncflem2  46142  fourierdlem11  46156  fourierdlem14  46159  fourierdlem20  46165  fourierdlem25  46170  fourierdlem37  46182  fourierdlem41  46186  fourierdlem48  46192  fourierdlem64  46208  fourierdlem73  46217  fourierdlem79  46223  fourierdlem93  46237  etransclem35  46307  etransclem48  46320  qndenserrnbllem  46332  hoiqssbllem1  46660  hoiqssbllem2  46661  cjnpoly  46920  lighneallem4a  47639  proththdlem  47644  stgrusgra  47990  ztprmneprm  48378  expnegico01  48550  dignnld  48635