Theorem nngt0d 12177

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  0cc0 11009   < clt 11149  ℕcn 12128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14142  faclbnd5  14205  facubnd  14207  harmonic  15766  efcllem  15984  ege2le3  15997  eftlub  16018  eflegeo  16030  eirrlem  16113  bitsfzo  16346  sqgcd  16473  nn0expgcd  16475  prmind2  16596  nprm  16599  isprm5  16618  divdenle  16660  qnumgt0  16661  hashdvds  16686  odzdvds  16707  pythagtriplem11  16737  pythagtriplem13  16739  pythagtriplem19  16745  pcadd  16801  pcfaclem  16810  qexpz  16813  pockthlem  16817  pockthg  16818  prmreclem1  16828  prmreclem5  16832  4sqlem12  16868  4sqlem14  16870  4sqlem16  16872  vdwlem3  16895  vdwlem9  16901  ressmulgnnd  18957  psgnunilem3  19375  pgpfaclem2  19963  fvmptnn04ifd  22738  lebnumii  24863  dyadf  25490  dyadovol  25492  dyaddisjlem  25494  dyadmaxlem  25496  opnmbllem  25500  mbfi1fseqlem1  25614  mbfi1fseqlem4  25617  mbfi1fseqlem5  25618  mbfi1fseqlem6  25619  itg2gt0  25659  itg2cnlem2  25661  dgrcolem2  26178  rtprmirr  26668  leibpi  26850  log2tlbnd  26853  birthdaylem3  26861  amgm  26899  emcllem2  26905  harmonicbnd4  26919  lgamgulmlem1  26937  basellem1  26989  basellem4  26992  basellem6  26994  dvdsflf1o  27095  fsumfldivdiaglem  27097  fsumvma2  27123  chpchtsum  27128  perfectlem2  27139  bposlem1  27193  bposlem2  27194  bposlem6  27198  lgsqrlem4  27258  lgseisenlem1  27284  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  2sqlem8  27335  chebbnd1lem3  27380  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrisumlema  27397  dchrisumlem1  27398  dchrisumlem3  27400  dchrisum0flblem2  27418  dchrisum0re  27422  logdivbnd  27465  pntpbnd1a  27494  pntpbnd1  27495  ostth2lem2  27543  ostth2lem3  27544  crctcsh  29769  clwwlknonex2  30053  minvecolem4  30824  cycpmrn  33085  fldextrspundgdvdslem  33647  eulerpartlemgc  34330  subfaclim  35161  cvmliftlem2  35259  cvmliftlem6  35263  cvmliftlem7  35264  cvmliftlem8  35265  cvmliftlem9  35266  cvmliftlem10  35267  cvmliftlem13  35269  knoppndvlem18  36503  knoppndvlem19  36504  knoppndvlem21  36506  poimirlem12  37612  poimirlem14  37614  poimirlem22  37622  opnmbllem0  37636  mblfinlem2  37638  lcmineqlem15  42016  aks4d1p1p3  42042  aks4d1p1p2  42043  aks4d1p1p4  42044  aks4d1p6  42054  aks4d1p8  42060  aks4d1p9  42061  posbezout  42073  aks6d1c1  42089  aks6d1c3  42096  aks6d1c4  42097  2ap1caineq  42118  sticksstones12a  42130  sticksstones12  42131  aks6d1c6lem4  42146  aks6d1c7lem1  42153  unitscyglem4  42171  unitscyglem5  42172  oexpreposd  42295  flt4lem5e  42629  flt4lem6  42631  flt4lem7  42632  irrapxlem4  42798  irrapxlem5  42799  pellexlem2  42803  pellexlem6  42807  rmxypos  42920  jm2.17b  42934  jm2.17c  42935  jm2.27a  42978  jm2.27c  42980  jm3.1lem1  42990  jm3.1lem2  42991  jm3.1lem3  42992  relexpxpmin  43690  hashnzfz2  44294  sumnnodd  45611  stoweidlem1  45982  stoweidlem11  45992  stoweidlem26  46007  stoweidlem38  46019  stoweidlem42  46023  stoweidlem44  46025  stoweidlem51  46032  stoweidlem59  46040  stirlinglem3  46057  stirlinglem15  46069  dirkertrigeqlem3  46081  dirkercncflem2  46085  fourierdlem11  46099  fourierdlem14  46102  fourierdlem20  46108  fourierdlem25  46113  fourierdlem37  46125  fourierdlem41  46129  fourierdlem48  46135  fourierdlem64  46151  fourierdlem73  46160  fourierdlem79  46166  fourierdlem93  46180  etransclem35  46250  etransclem48  46263  qndenserrnbllem  46275  hoiqssbllem1  46603  hoiqssbllem2  46604  cjnpoly  46873  lighneallem4a  47592  proththdlem  47597  stgrusgra  47943  ztprmneprm  48331  expnegico01  48503  dignnld  48588