Theorem nngt0d 12185

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  0cc0 11017   < clt 11157  ℕcn 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14149  faclbnd5  14212  facubnd  14214  harmonic  15773  efcllem  15991  ege2le3  16004  eftlub  16025  eflegeo  16037  eirrlem  16120  bitsfzo  16353  sqgcd  16480  nn0expgcd  16482  prmind2  16603  nprm  16606  isprm5  16625  divdenle  16667  qnumgt0  16668  hashdvds  16693  odzdvds  16714  pythagtriplem11  16744  pythagtriplem13  16746  pythagtriplem19  16752  pcadd  16808  pcfaclem  16817  qexpz  16820  pockthlem  16824  pockthg  16825  prmreclem1  16835  prmreclem5  16839  4sqlem12  16875  4sqlem14  16877  4sqlem16  16879  vdwlem3  16902  vdwlem9  16908  ressmulgnnd  18999  psgnunilem3  19416  pgpfaclem2  20004  fvmptnn04ifd  22788  lebnumii  24912  dyadf  25539  dyadovol  25541  dyaddisjlem  25543  dyadmaxlem  25545  opnmbllem  25549  mbfi1fseqlem1  25663  mbfi1fseqlem4  25666  mbfi1fseqlem5  25667  mbfi1fseqlem6  25668  itg2gt0  25708  itg2cnlem2  25710  dgrcolem2  26227  rtprmirr  26717  leibpi  26899  log2tlbnd  26902  birthdaylem3  26910  amgm  26948  emcllem2  26954  harmonicbnd4  26968  lgamgulmlem1  26986  basellem1  27038  basellem4  27041  basellem6  27043  dvdsflf1o  27144  fsumfldivdiaglem  27146  fsumvma2  27172  chpchtsum  27177  perfectlem2  27188  bposlem1  27242  bposlem2  27243  bposlem6  27247  lgsqrlem4  27307  lgseisenlem1  27333  lgsquadlem1  27338  lgsquadlem2  27339  2sqlem8  27384  chebbnd1lem3  27429  rplogsumlem1  27442  rplogsumlem2  27443  rpvmasumlem  27445  dchrisumlema  27446  dchrisumlem1  27447  dchrisumlem3  27449  dchrisum0flblem2  27467  dchrisum0re  27471  logdivbnd  27514  pntpbnd1a  27543  pntpbnd1  27544  ostth2lem2  27592  ostth2lem3  27593  crctcsh  29823  clwwlknonex2  30110  minvecolem4  30881  cycpmrn  33153  fldextrspundgdvdslem  33765  eulerpartlemgc  34447  subfaclim  35304  cvmliftlem2  35402  cvmliftlem6  35406  cvmliftlem7  35407  cvmliftlem8  35408  cvmliftlem9  35409  cvmliftlem10  35410  cvmliftlem13  35412  knoppndvlem18  36645  knoppndvlem19  36646  knoppndvlem21  36648  poimirlem12  37745  poimirlem14  37747  poimirlem22  37755  opnmbllem0  37769  mblfinlem2  37771  lcmineqlem15  42209  aks4d1p1p3  42235  aks4d1p1p2  42236  aks4d1p1p4  42237  aks4d1p6  42247  aks4d1p8  42253  aks4d1p9  42254  posbezout  42266  aks6d1c1  42282  aks6d1c3  42289  aks6d1c4  42290  2ap1caineq  42311  sticksstones12a  42323  sticksstones12  42324  aks6d1c6lem4  42339  aks6d1c7lem1  42346  unitscyglem4  42364  unitscyglem5  42365  oexpreposd  42492  flt4lem5e  42814  flt4lem6  42816  flt4lem7  42817  irrapxlem4  42982  irrapxlem5  42983  pellexlem2  42987  pellexlem6  42991  rmxypos  43104  jm2.17b  43118  jm2.17c  43119  jm2.27a  43162  jm2.27c  43164  jm3.1lem1  43174  jm3.1lem2  43175  jm3.1lem3  43176  relexpxpmin  43874  hashnzfz2  44478  sumnnodd  45792  stoweidlem1  46161  stoweidlem11  46171  stoweidlem26  46186  stoweidlem38  46198  stoweidlem42  46202  stoweidlem44  46204  stoweidlem51  46211  stoweidlem59  46219  stirlinglem3  46236  stirlinglem15  46248  dirkertrigeqlem3  46260  dirkercncflem2  46264  fourierdlem11  46278  fourierdlem14  46281  fourierdlem20  46287  fourierdlem25  46292  fourierdlem37  46304  fourierdlem41  46308  fourierdlem48  46314  fourierdlem64  46330  fourierdlem73  46339  fourierdlem79  46345  fourierdlem93  46359  etransclem35  46429  etransclem48  46442  qndenserrnbllem  46454  hoiqssbllem1  46782  hoiqssbllem2  46783  cjnpoly  47051  lighneallem4a  47770  proththdlem  47775  stgrusgra  48121  ztprmneprm  48509  expnegico01  48680  dignnld  48765