Theorem nngt0d 12265

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  0cc0 11112   < clt 11252  ℕcn 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14202  faclbnd5  14262  facubnd  14264  harmonic  15809  efcllem  16025  ege2le3  16037  eftlub  16056  eflegeo  16068  eirrlem  16151  bitsfzo  16380  sqgcd  16506  prmind2  16626  nprm  16629  isprm5  16648  divdenle  16689  qnumgt0  16690  hashdvds  16712  odzdvds  16732  pythagtriplem11  16762  pythagtriplem13  16764  pythagtriplem19  16770  pcadd  16826  pcfaclem  16835  qexpz  16838  pockthlem  16842  pockthg  16843  prmreclem1  16853  prmreclem5  16857  4sqlem12  16893  4sqlem14  16895  4sqlem16  16897  vdwlem3  16920  vdwlem9  16926  psgnunilem3  19405  pgpfaclem2  19993  fvmptnn04ifd  22575  lebnumii  24712  dyadf  25340  dyadovol  25342  dyaddisjlem  25344  dyadmaxlem  25346  opnmbllem  25350  mbfi1fseqlem1  25465  mbfi1fseqlem4  25468  mbfi1fseqlem5  25469  mbfi1fseqlem6  25470  itg2gt0  25510  itg2cnlem2  25512  dgrcolem2  26024  leibpi  26683  log2tlbnd  26686  birthdaylem3  26694  amgm  26731  emcllem2  26737  harmonicbnd4  26751  lgamgulmlem1  26769  basellem1  26821  basellem4  26824  basellem6  26826  dvdsflf1o  26927  fsumfldivdiaglem  26929  fsumvma2  26953  chpchtsum  26958  perfectlem2  26969  bposlem1  27023  bposlem2  27024  bposlem6  27028  lgsqrlem4  27088  lgseisenlem1  27114  lgsquadlem1  27119  lgsquadlem2  27120  2sqlem8  27165  chebbnd1lem3  27210  rplogsumlem1  27223  rplogsumlem2  27224  rpvmasumlem  27226  dchrisumlema  27227  dchrisumlem1  27228  dchrisumlem3  27230  dchrisum0flblem2  27248  dchrisum0re  27252  logdivbnd  27295  pntpbnd1a  27324  pntpbnd1  27325  ostth2lem2  27373  ostth2lem3  27374  crctcsh  29345  clwwlknonex2  29629  minvecolem4  30400  cycpmrn  32572  eulerpartlemgc  33659  subfaclim  34477  cvmliftlem2  34575  cvmliftlem6  34579  cvmliftlem7  34580  cvmliftlem8  34581  cvmliftlem9  34582  cvmliftlem10  34583  cvmliftlem13  34585  knoppndvlem18  35708  knoppndvlem19  35709  knoppndvlem21  35711  poimirlem12  36803  poimirlem14  36805  poimirlem22  36813  opnmbllem0  36827  mblfinlem2  36829  lcmineqlem15  41214  aks4d1p1p3  41240  aks4d1p1p2  41241  aks4d1p1p4  41242  aks4d1p6  41252  aks4d1p8  41258  aks4d1p9  41259  2ap1caineq  41267  sticksstones12a  41279  sticksstones12  41280  oexpreposd  41514  nn0expgcd  41528  rtprmirr  41539  flt4lem5e  41700  flt4lem6  41702  flt4lem7  41703  irrapxlem4  41865  irrapxlem5  41866  pellexlem2  41870  pellexlem6  41874  rmxypos  41988  jm2.17b  42002  jm2.17c  42003  jm2.27a  42046  jm2.27c  42048  jm3.1lem1  42058  jm3.1lem2  42059  jm3.1lem3  42060  relexpxpmin  42770  hashnzfz2  43382  sumnnodd  44644  stoweidlem1  45015  stoweidlem11  45025  stoweidlem26  45040  stoweidlem38  45052  stoweidlem42  45056  stoweidlem44  45058  stoweidlem51  45065  stoweidlem59  45073  stirlinglem3  45090  stirlinglem15  45102  dirkertrigeqlem3  45114  dirkercncflem2  45118  fourierdlem11  45132  fourierdlem14  45135  fourierdlem20  45141  fourierdlem25  45146  fourierdlem37  45158  fourierdlem41  45162  fourierdlem48  45168  fourierdlem64  45184  fourierdlem73  45193  fourierdlem79  45199  fourierdlem93  45213  etransclem35  45283  etransclem48  45296  qndenserrnbllem  45308  hoiqssbllem1  45636  hoiqssbllem2  45637  lighneallem4a  46574  proththdlem  46579  ztprmneprm  47111  expnegico01  47286  dignnld  47376