Theorem nngt0d 12194

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  0cc0 11026   < clt 11166  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14158  faclbnd5  14221  facubnd  14223  harmonic  15782  efcllem  16000  ege2le3  16013  eftlub  16034  eflegeo  16046  eirrlem  16129  bitsfzo  16362  sqgcd  16489  nn0expgcd  16491  prmind2  16612  nprm  16615  isprm5  16634  divdenle  16676  qnumgt0  16677  hashdvds  16702  odzdvds  16723  pythagtriplem11  16753  pythagtriplem13  16755  pythagtriplem19  16761  pcadd  16817  pcfaclem  16826  qexpz  16829  pockthlem  16833  pockthg  16834  prmreclem1  16844  prmreclem5  16848  4sqlem12  16884  4sqlem14  16886  4sqlem16  16888  vdwlem3  16911  vdwlem9  16917  ressmulgnnd  19008  psgnunilem3  19425  pgpfaclem2  20013  fvmptnn04ifd  22797  lebnumii  24921  dyadf  25548  dyadovol  25550  dyaddisjlem  25552  dyadmaxlem  25554  opnmbllem  25558  mbfi1fseqlem1  25672  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  mbfi1fseqlem6  25677  itg2gt0  25717  itg2cnlem2  25719  dgrcolem2  26236  rtprmirr  26726  leibpi  26908  log2tlbnd  26911  birthdaylem3  26919  amgm  26957  emcllem2  26963  harmonicbnd4  26977  lgamgulmlem1  26995  basellem1  27047  basellem4  27050  basellem6  27052  dvdsflf1o  27153  fsumfldivdiaglem  27155  fsumvma2  27181  chpchtsum  27186  perfectlem2  27197  bposlem1  27251  bposlem2  27252  bposlem6  27256  lgsqrlem4  27316  lgseisenlem1  27342  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  2sqlem8  27393  chebbnd1lem3  27438  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrisumlema  27455  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem3  27458  dchrisum0flblem2  27476  dchrisum0re  27480  logdivbnd  27523  pntpbnd1a  27552  pntpbnd1  27553  ostth2lem2  27601  ostth2lem3  27602  crctcsh  29897  clwwlknonex2  30184  minvecolem4  30955  cycpmrn  33225  fldextrspundgdvdslem  33837  eulerpartlemgc  34519  subfaclim  35382  cvmliftlem2  35480  cvmliftlem6  35484  cvmliftlem7  35485  cvmliftlem8  35486  cvmliftlem9  35487  cvmliftlem10  35488  cvmliftlem13  35490  knoppndvlem18  36729  knoppndvlem19  36730  knoppndvlem21  36732  poimirlem12  37833  poimirlem14  37835  poimirlem22  37843  opnmbllem0  37857  mblfinlem2  37859  lcmineqlem15  42297  aks4d1p1p3  42323  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p4  42325  aks4d1p6  42335  aks4d1p8  42341  aks4d1p9  42342  posbezout  42354  aks6d1c1  42370  aks6d1c3  42377  aks6d1c4  42378  2ap1caineq  42399  sticksstones12a  42411  sticksstones12  42412  aks6d1c6lem4  42427  aks6d1c7lem1  42434  unitscyglem4  42452  unitscyglem5  42453  oexpreposd  42577  flt4lem5e  42899  flt4lem6  42901  flt4lem7  42902  irrapxlem4  43067  irrapxlem5  43068  pellexlem2  43072  pellexlem6  43076  rmxypos  43189  jm2.17b  43203  jm2.17c  43204  jm2.27a  43247  jm2.27c  43249  jm3.1lem1  43259  jm3.1lem2  43260  jm3.1lem3  43261  relexpxpmin  43958  hashnzfz2  44562  sumnnodd  45876  stoweidlem1  46245  stoweidlem11  46255  stoweidlem26  46270  stoweidlem38  46282  stoweidlem42  46286  stoweidlem44  46288  stoweidlem51  46295  stoweidlem59  46303  stirlinglem3  46320  stirlinglem15  46332  dirkertrigeqlem3  46344  dirkercncflem2  46348  fourierdlem11  46362  fourierdlem14  46365  fourierdlem20  46371  fourierdlem25  46376  fourierdlem37  46388  fourierdlem41  46392  fourierdlem48  46398  fourierdlem64  46414  fourierdlem73  46423  fourierdlem79  46429  fourierdlem93  46443  etransclem35  46513  etransclem48  46526  qndenserrnbllem  46538  hoiqssbllem1  46866  hoiqssbllem2  46867  cjnpoly  47135  lighneallem4a  47854  proththdlem  47859  stgrusgra  48205  ztprmneprm  48593  expnegico01  48764  dignnld  48849