Theorem nngt0d 12394

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  0cc0 11207   < clt 11350  ℕcn 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343

This theorem is used by:  nnge2recico01  13645  expmulnbnd  14386  faclbnd5  14449  facubnd  14451  harmonic  16037  efcllem  16252  ege2le3  16265  eftlub  16286  eflegeo  16298  eirrlem  16381  bitsfzo  16614  sqgcd  16745  nn0expgcd  16747  prmind2  16869  nprm  16872  isprm5  16892  divdenle  16934  qnumgt0  16935  hashdvds  16961  odzdvds  16982  pythagtriplem11  17012  pythagtriplem13  17014  pythagtriplem19  17020  pcadd  17076  pcfaclem  17085  qexpz  17088  pockthlem  17092  pockthg  17093  prmreclem1  17103  prmreclem5  17107  4sqlem12  17143  4sqlem14  17145  4sqlem16  17147  vdwlem3  17170  vdwlem9  17176  ressmulgnnd  19297  psgnunilem3  19719  pgpfaclem2  20307  fvmptnn04ifd  23180  lebnumii  25296  dyadf  25921  dyadovol  25923  dyaddisjlem  25925  dyadmaxlem  25927  opnmbllem  25931  mbfi1fseqlem1  26045  mbfi1fseqlem4  26048  mbfi1fseqlem5  26049  mbfi1fseqlem6  26050  itg2gt0  26090  itg2cnlem2  26092  dgrcolem2  26602  rtprmirr  27097  leibpi  27279  log2tlbnd  27282  birthdaylem3  27290  amgm  27327  emcllem2  27333  harmonicbnd4  27347  lgamgulmlem1  27365  basellem1  27417  basellem4  27420  basellem6  27422  dvdsflf1o  27523  fsumfldivdiaglem  27525  fsumvma2  27550  chpchtsum  27555  perfectlem2  27566  bposlem1  27620  bposlem2  27621  bposlem6  27625  lgsqrlem4  27685  lgseisenlem1  27711  lgsquadlem1  27716  lgsquadlem2  27717  2sqlem8  27762  chebbnd1lem3  27807  rplogsumlem1  27820  rplogsumlem2  27821  rpvmasumlem  27823  dchrisumlema  27824  dchrisumlem1  27825  dchrisumlem3  27827  dchrisum0flblem2  27845  dchrisum0re  27849  logdivbnd  27892  pntpbnd1a  27921  pntpbnd1  27922  ostth2lem2  27970  ostth2lem3  27971  flt4lem5e  27995  flt4lem6  27997  flt4lem7  27998  crctcsh  30422  clwwlknonex2  30709  minvecolem4  31491  cycpmrn  33754  fldextrspundgdvdslem  34362  eulerpartlemgc  35044  subfaclim  36043  cvmliftlem2  36141  cvmliftlem6  36145  cvmliftlem7  36146  cvmliftlem8  36147  cvmliftlem9  36148  cvmliftlem10  36149  cvmliftlem13  36151  knoppndvlem18  37491  knoppndvlem19  37492  knoppndvlem21  37494  poimirlem12  38659  poimirlem14  38661  poimirlem22  38669  opnmbllem0  38683  mblfinlem2  38685  lcmineqlem15  43202  aks4d1p1p3  43228  aks4d1p1p2  43229  aks4d1p1p4  43230  aks4d1p6  43240  aks4d1p8  43246  aks4d1p9  43247  posbezout  43259  aks6d1c1  43275  aks6d1c3  43282  aks6d1c4  43283  2ap1caineq  43304  sticksstones12a  43316  sticksstones12  43317  aks6d1c6lem4  43332  aks6d1c7lem1  43339  unitscyglem4  43357  unitscyglem5  43358  oexpreposd  43488  irrapxlem4  43941  irrapxlem5  43942  pellexlem2  43946  pellexlem6  43950  rmxypos  44063  jm2.17b  44077  jm2.17c  44078  jm2.27a  44121  jm2.27c  44123  jm3.1lem1  44133  jm3.1lem2  44134  jm3.1lem3  44135  relexpxpmin  44826  hashnzfz2  45414  sumnnodd  46750  stoweidlem1  47119  stoweidlem11  47129  stoweidlem26  47144  stoweidlem38  47156  stoweidlem42  47160  stoweidlem44  47162  stoweidlem51  47169  stoweidlem59  47177  stirlinglem3  47194  stirlinglem15  47206  dirkertrigeqlem3  47218  dirkercncflem2  47222  fourierdlem11  47236  fourierdlem14  47239  fourierdlem20  47245  fourierdlem25  47250  fourierdlem37  47262  fourierdlem41  47266  fourierdlem48  47272  fourierdlem64  47288  fourierdlem73  47297  fourierdlem79  47303  fourierdlem93  47317  etransclem35  47387  etransclem48  47400  qndenserrnbllem  47412  hoiqssbllem1  47740  hoiqssbllem2  47741  cjnpoly  48047  2timesltsq  48556  lighneallem4a  48801  proththdlem  48806  stgrusgra  49165  ztprmneprm  49567  expnegico01  49738  dignnld  49823