MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0d 12203
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nngt0d (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nngt0 12185 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  0cc0 11052   < clt 11190  cn 12154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14139  faclbnd5  14199  facubnd  14201  harmonic  15745  efcllem  15961  ege2le3  15973  eftlub  15992  eflegeo  16004  eirrlem  16087  bitsfzo  16316  sqgcd  16442  prmind2  16562  nprm  16565  isprm5  16584  divdenle  16625  qnumgt0  16626  hashdvds  16648  odzdvds  16668  pythagtriplem11  16698  pythagtriplem13  16700  pythagtriplem19  16706  pcadd  16762  pcfaclem  16771  qexpz  16774  pockthlem  16778  pockthg  16779  prmreclem1  16789  prmreclem5  16793  4sqlem12  16829  4sqlem14  16831  4sqlem16  16833  vdwlem3  16856  vdwlem9  16862  psgnunilem3  19279  pgpfaclem2  19862  fvmptnn04ifd  22205  lebnumii  24332  dyadf  24958  dyadovol  24960  dyaddisjlem  24962  dyadmaxlem  24964  opnmbllem  24968  mbfi1fseqlem1  25083  mbfi1fseqlem4  25086  mbfi1fseqlem5  25087  mbfi1fseqlem6  25088  itg2gt0  25128  itg2cnlem2  25130  dgrcolem2  25638  leibpi  26295  log2tlbnd  26298  birthdaylem3  26306  amgm  26343  emcllem2  26349  harmonicbnd4  26363  lgamgulmlem1  26381  basellem1  26433  basellem4  26436  basellem6  26438  dvdsflf1o  26539  fsumfldivdiaglem  26541  fsumvma2  26565  chpchtsum  26570  perfectlem2  26581  bposlem1  26635  bposlem2  26636  bposlem6  26640  lgsqrlem4  26700  lgseisenlem1  26726  lgsquadlem1  26731  lgsquadlem2  26732  2sqlem8  26777  chebbnd1lem3  26822  rplogsumlem1  26835  rplogsumlem2  26836  rpvmasumlem  26838  dchrisumlema  26839  dchrisumlem1  26840  dchrisumlem3  26842  dchrisum0flblem2  26860  dchrisum0re  26864  logdivbnd  26907  pntpbnd1a  26936  pntpbnd1  26937  ostth2lem2  26985  ostth2lem3  26986  crctcsh  28772  clwwlknonex2  29056  minvecolem4  29825  cycpmrn  31995  eulerpartlemgc  32965  subfaclim  33785  cvmliftlem2  33883  cvmliftlem6  33887  cvmliftlem7  33888  cvmliftlem8  33889  cvmliftlem9  33890  cvmliftlem10  33891  cvmliftlem13  33893  knoppndvlem18  34995  knoppndvlem19  34996  knoppndvlem21  34998  poimirlem12  36093  poimirlem14  36095  poimirlem22  36103  opnmbllem0  36117  mblfinlem2  36119  lcmineqlem15  40503  aks4d1p1p3  40529  aks4d1p1p2  40530  aks4d1p1p4  40531  aks4d1p6  40541  aks4d1p8  40547  aks4d1p9  40548  2ap1caineq  40556  sticksstones12a  40568  sticksstones12  40569  oexpreposd  40810  nn0expgcd  40824  rtprmirr  40836  flt4lem5e  40997  flt4lem6  40999  flt4lem7  41000  irrapxlem4  41151  irrapxlem5  41152  pellexlem2  41156  pellexlem6  41160  rmxypos  41274  jm2.17b  41288  jm2.17c  41289  jm2.27a  41332  jm2.27c  41334  jm3.1lem1  41344  jm3.1lem2  41345  jm3.1lem3  41346  relexpxpmin  41996  hashnzfz2  42608  sumnnodd  43878  stoweidlem1  44249  stoweidlem11  44259  stoweidlem26  44274  stoweidlem38  44286  stoweidlem42  44290  stoweidlem44  44292  stoweidlem51  44299  stoweidlem59  44307  stirlinglem3  44324  stirlinglem15  44336  dirkertrigeqlem3  44348  dirkercncflem2  44352  fourierdlem11  44366  fourierdlem14  44369  fourierdlem20  44375  fourierdlem25  44380  fourierdlem37  44392  fourierdlem41  44396  fourierdlem48  44402  fourierdlem64  44418  fourierdlem73  44427  fourierdlem79  44433  fourierdlem93  44447  etransclem35  44517  etransclem48  44530  qndenserrnbllem  44542  hoiqssbllem1  44870  hoiqssbllem2  44871  lighneallem4a  45807  proththdlem  45812  ztprmneprm  46430  expnegico01  46606  dignnld  46696
  Copyright terms: Public domain W3C validator