Theorem nngt0d 12281

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  0cc0 11096   < clt 11239  ℕcn 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230

This theorem is referenced by:  nnge2recico01  13530  expmulnbnd  14267  faclbnd5  14330  facubnd  14332  harmonic  15909  efcllem  16127  ege2le3  16140  eftlub  16161  eflegeo  16173  eirrlem  16256  bitsfzo  16489  sqgcd  16616  nn0expgcd  16618  prmind2  16739  nprm  16742  isprm5  16762  divdenle  16804  qnumgt0  16805  hashdvds  16830  odzdvds  16851  pythagtriplem11  16881  pythagtriplem13  16883  pythagtriplem19  16889  pcadd  16945  pcfaclem  16954  qexpz  16957  pockthlem  16961  pockthg  16962  prmreclem1  16972  prmreclem5  16976  4sqlem12  17012  4sqlem14  17014  4sqlem16  17016  vdwlem3  17039  vdwlem9  17045  ressmulgnnd  19140  psgnunilem3  19562  pgpfaclem2  20150  fvmptnn04ifd  22975  lebnumii  25090  dyadf  25715  dyadovol  25717  dyaddisjlem  25719  dyadmaxlem  25721  opnmbllem  25725  mbfi1fseqlem1  25839  mbfi1fseqlem4  25842  mbfi1fseqlem5  25843  mbfi1fseqlem6  25844  itg2gt0  25884  itg2cnlem2  25886  dgrcolem2  26396  rtprmirr  26887  leibpi  27069  log2tlbnd  27072  birthdaylem3  27080  amgm  27117  emcllem2  27123  harmonicbnd4  27137  lgamgulmlem1  27155  basellem1  27207  basellem4  27210  basellem6  27212  dvdsflf1o  27313  fsumfldivdiaglem  27315  fsumvma2  27340  chpchtsum  27345  perfectlem2  27356  bposlem1  27410  bposlem2  27411  bposlem6  27415  lgsqrlem4  27475  lgseisenlem1  27501  lgsquadlem1  27506  lgsquadlem2  27507  2sqlem8  27552  chebbnd1lem3  27597  rplogsumlem1  27610  rplogsumlem2  27611  rpvmasumlem  27613  dchrisumlema  27614  dchrisumlem1  27615  dchrisumlem3  27617  dchrisum0flblem2  27635  dchrisum0re  27639  logdivbnd  27682  pntpbnd1a  27711  pntpbnd1  27712  ostth2lem2  27760  ostth2lem3  27761  crctcsh  30110  clwwlknonex2  30397  minvecolem4  31169  cycpmrn  33400  fldextrspundgdvdslem  34011  eulerpartlemgc  34693  subfaclim  35575  cvmliftlem2  35673  cvmliftlem6  35677  cvmliftlem7  35678  cvmliftlem8  35679  cvmliftlem9  35680  cvmliftlem10  35681  cvmliftlem13  35683  knoppndvlem18  37003  knoppndvlem19  37004  knoppndvlem21  37006  poimirlem12  38166  poimirlem14  38168  poimirlem22  38176  opnmbllem0  38190  mblfinlem2  38192  lcmineqlem15  42695  aks4d1p1p3  42721  aks4d1p1p2  42722  aks4d1p1p4  42723  aks4d1p6  42733  aks4d1p8  42739  aks4d1p9  42740  posbezout  42752  aks6d1c1  42768  aks6d1c3  42775  aks6d1c4  42776  2ap1caineq  42797  sticksstones12a  42809  sticksstones12  42810  aks6d1c6lem4  42825  aks6d1c7lem1  42832  unitscyglem4  42850  unitscyglem5  42851  oexpreposd  42968  flt4lem5e  43275  flt4lem6  43277  flt4lem7  43278  irrapxlem4  43439  irrapxlem5  43440  pellexlem2  43444  pellexlem6  43448  rmxypos  43561  jm2.17b  43575  jm2.17c  43576  jm2.27a  43619  jm2.27c  43621  jm3.1lem1  43631  jm3.1lem2  43632  jm3.1lem3  43633  relexpxpmin  44330  hashnzfz2  44918  sumnnodd  46233  stoweidlem1  46602  stoweidlem11  46612  stoweidlem26  46627  stoweidlem38  46639  stoweidlem42  46643  stoweidlem44  46645  stoweidlem51  46652  stoweidlem59  46660  stirlinglem3  46677  stirlinglem15  46689  dirkertrigeqlem3  46701  dirkercncflem2  46705  fourierdlem11  46719  fourierdlem14  46722  fourierdlem20  46728  fourierdlem25  46733  fourierdlem37  46745  fourierdlem41  46749  fourierdlem48  46755  fourierdlem64  46771  fourierdlem73  46780  fourierdlem79  46786  fourierdlem93  46800  etransclem35  46870  etransclem48  46883  qndenserrnbllem  46895  hoiqssbllem1  47223  hoiqssbllem2  47224  cjnpoly  47510  2timesltsq  47999  lighneallem4a  48244  proththdlem  48249  stgrusgra  48608  ztprmneprm  49007  expnegico01  49178  dignnld  49263