Theorem nngt0d 12342

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  0cc0 11184   < clt 11324  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14284  faclbnd5  14347  facubnd  14349  harmonic  15907  efcllem  16125  ege2le3  16138  eftlub  16157  eflegeo  16169  eirrlem  16252  bitsfzo  16481  sqgcd  16609  nn0expgcd  16611  prmind2  16732  nprm  16735  isprm5  16754  divdenle  16796  qnumgt0  16797  hashdvds  16822  odzdvds  16842  pythagtriplem11  16872  pythagtriplem13  16874  pythagtriplem19  16880  pcadd  16936  pcfaclem  16945  qexpz  16948  pockthlem  16952  pockthg  16953  prmreclem1  16963  prmreclem5  16967  4sqlem12  17003  4sqlem14  17005  4sqlem16  17007  vdwlem3  17030  vdwlem9  17036  ressmulgnnd  19118  psgnunilem3  19538  pgpfaclem2  20126  fvmptnn04ifd  22880  lebnumii  25017  dyadf  25645  dyadovol  25647  dyaddisjlem  25649  dyadmaxlem  25651  opnmbllem  25655  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  itg2gt0  25815  itg2cnlem2  25817  dgrcolem2  26334  rtprmirr  26821  leibpi  27003  log2tlbnd  27006  birthdaylem3  27014  amgm  27052  emcllem2  27058  harmonicbnd4  27072  lgamgulmlem1  27090  basellem1  27142  basellem4  27145  basellem6  27147  dvdsflf1o  27248  fsumfldivdiaglem  27250  fsumvma2  27276  chpchtsum  27281  perfectlem2  27292  bposlem1  27346  bposlem2  27347  bposlem6  27351  lgsqrlem4  27411  lgseisenlem1  27437  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  2sqlem8  27488  chebbnd1lem3  27533  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrisumlema  27550  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem3  27553  dchrisum0flblem2  27571  dchrisum0re  27575  logdivbnd  27618  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  ostth2lem2  27696  ostth2lem3  27697  crctcsh  29857  clwwlknonex2  30141  minvecolem4  30912  cycpmrn  33136  eulerpartlemgc  34327  subfaclim  35156  cvmliftlem2  35254  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  cvmliftlem13  35264  knoppndvlem18  36495  knoppndvlem19  36496  knoppndvlem21  36498  poimirlem12  37592  poimirlem14  37594  poimirlem22  37602  opnmbllem0  37616  mblfinlem2  37618  lcmineqlem15  42000  aks4d1p1p3  42026  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p6  42038  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  posbezout  42057  aks6d1c1  42073  aks6d1c3  42080  aks6d1c4  42081  2ap1caineq  42102  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  aks6d1c6lem4  42130  aks6d1c7lem1  42137  unitscyglem4  42155  unitscyglem5  42156  oexpreposd  42309  flt4lem5e  42611  flt4lem6  42613  flt4lem7  42614  irrapxlem4  42781  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  rmxypos  42904  jm2.17b  42918  jm2.17c  42919  jm2.27a  42962  jm2.27c  42964  jm3.1lem1  42974  jm3.1lem2  42975  jm3.1lem3  42976  relexpxpmin  43679  hashnzfz2  44290  sumnnodd  45551  stoweidlem1  45922  stoweidlem11  45932  stoweidlem26  45947  stoweidlem38  45959  stoweidlem42  45963  stoweidlem44  45965  stoweidlem51  45972  stoweidlem59  45980  stirlinglem3  45997  stirlinglem15  46009  dirkertrigeqlem3  46021  dirkercncflem2  46025  fourierdlem11  46039  fourierdlem14  46042  fourierdlem20  46048  fourierdlem25  46053  fourierdlem37  46065  fourierdlem41  46069  fourierdlem48  46075  fourierdlem64  46091  fourierdlem73  46100  fourierdlem79  46106  fourierdlem93  46120  etransclem35  46190  etransclem48  46203  qndenserrnbllem  46215  hoiqssbllem1  46543  hoiqssbllem2  46544  lighneallem4a  47482  proththdlem  47487  ztprmneprm  48072  expnegico01  48247  dignnld  48337