Theorem nngt0d 12165

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  0cc0 10997   < clt 11137  ℕcn 12116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14130  faclbnd5  14193  facubnd  14195  harmonic  15753  efcllem  15971  ege2le3  15984  eftlub  16005  eflegeo  16017  eirrlem  16100  bitsfzo  16333  sqgcd  16460  nn0expgcd  16462  prmind2  16583  nprm  16586  isprm5  16605  divdenle  16647  qnumgt0  16648  hashdvds  16673  odzdvds  16694  pythagtriplem11  16724  pythagtriplem13  16726  pythagtriplem19  16732  pcadd  16788  pcfaclem  16797  qexpz  16800  pockthlem  16804  pockthg  16805  prmreclem1  16815  prmreclem5  16819  4sqlem12  16855  4sqlem14  16857  4sqlem16  16859  vdwlem3  16882  vdwlem9  16888  ressmulgnnd  18944  psgnunilem3  19362  pgpfaclem2  19950  fvmptnn04ifd  22722  lebnumii  24846  dyadf  25473  dyadovol  25475  dyaddisjlem  25477  dyadmaxlem  25479  opnmbllem  25483  mbfi1fseqlem1  25597  mbfi1fseqlem4  25600  mbfi1fseqlem5  25601  mbfi1fseqlem6  25602  itg2gt0  25642  itg2cnlem2  25644  dgrcolem2  26161  rtprmirr  26651  leibpi  26833  log2tlbnd  26836  birthdaylem3  26844  amgm  26882  emcllem2  26888  harmonicbnd4  26902  lgamgulmlem1  26920  basellem1  26972  basellem4  26975  basellem6  26977  dvdsflf1o  27078  fsumfldivdiaglem  27080  fsumvma2  27106  chpchtsum  27111  perfectlem2  27122  bposlem1  27176  bposlem2  27177  bposlem6  27181  lgsqrlem4  27241  lgseisenlem1  27267  lgsquadlem1  27272  lgsquadlem2  27273  2sqlem8  27318  chebbnd1lem3  27363  rplogsumlem1  27376  rplogsumlem2  27377  rpvmasumlem  27379  dchrisumlema  27380  dchrisumlem1  27381  dchrisumlem3  27383  dchrisum0flblem2  27401  dchrisum0re  27405  logdivbnd  27448  pntpbnd1a  27477  pntpbnd1  27478  ostth2lem2  27526  ostth2lem3  27527  crctcsh  29756  clwwlknonex2  30040  minvecolem4  30811  cycpmrn  33080  fldextrspundgdvdslem  33661  eulerpartlemgc  34343  subfaclim  35178  cvmliftlem2  35276  cvmliftlem6  35280  cvmliftlem7  35281  cvmliftlem8  35282  cvmliftlem9  35283  cvmliftlem10  35284  cvmliftlem13  35286  knoppndvlem18  36520  knoppndvlem19  36521  knoppndvlem21  36523  poimirlem12  37629  poimirlem14  37631  poimirlem22  37639  opnmbllem0  37653  mblfinlem2  37655  lcmineqlem15  42033  aks4d1p1p3  42059  aks4d1p1p2  42060  aks4d1p1p4  42061  aks4d1p6  42071  aks4d1p8  42077  aks4d1p9  42078  posbezout  42090  aks6d1c1  42106  aks6d1c3  42113  aks6d1c4  42114  2ap1caineq  42135  sticksstones12a  42147  sticksstones12  42148  aks6d1c6lem4  42163  aks6d1c7lem1  42170  unitscyglem4  42188  unitscyglem5  42189  oexpreposd  42312  flt4lem5e  42646  flt4lem6  42648  flt4lem7  42649  irrapxlem4  42815  irrapxlem5  42816  pellexlem2  42820  pellexlem6  42824  rmxypos  42937  jm2.17b  42951  jm2.17c  42952  jm2.27a  42995  jm2.27c  42997  jm3.1lem1  43007  jm3.1lem2  43008  jm3.1lem3  43009  relexpxpmin  43707  hashnzfz2  44311  sumnnodd  45627  stoweidlem1  45996  stoweidlem11  46006  stoweidlem26  46021  stoweidlem38  46033  stoweidlem42  46037  stoweidlem44  46039  stoweidlem51  46046  stoweidlem59  46054  stirlinglem3  46071  stirlinglem15  46083  dirkertrigeqlem3  46095  dirkercncflem2  46099  fourierdlem11  46113  fourierdlem14  46116  fourierdlem20  46122  fourierdlem25  46127  fourierdlem37  46139  fourierdlem41  46143  fourierdlem48  46149  fourierdlem64  46165  fourierdlem73  46174  fourierdlem79  46180  fourierdlem93  46194  etransclem35  46264  etransclem48  46277  qndenserrnbllem  46289  hoiqssbllem1  46617  hoiqssbllem2  46618  cjnpoly  46887  lighneallem4a  47606  proththdlem  47611  stgrusgra  47957  ztprmneprm  48345  expnegico01  48517  dignnld  48602