Theorem nngt0d 12217

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12199	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  0cc0 11029   < clt 11170  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  nnge2recico01  13451  expmulnbnd  14188  faclbnd5  14251  facubnd  14253  harmonic  15815  efcllem  16033  ege2le3  16046  eftlub  16067  eflegeo  16079  eirrlem  16162  bitsfzo  16395  sqgcd  16522  nn0expgcd  16524  prmind2  16645  nprm  16648  isprm5  16668  divdenle  16710  qnumgt0  16711  hashdvds  16736  odzdvds  16757  pythagtriplem11  16787  pythagtriplem13  16789  pythagtriplem19  16795  pcadd  16851  pcfaclem  16860  qexpz  16863  pockthlem  16867  pockthg  16868  prmreclem1  16878  prmreclem5  16882  4sqlem12  16918  4sqlem14  16920  4sqlem16  16922  vdwlem3  16945  vdwlem9  16951  ressmulgnnd  19045  psgnunilem3  19462  pgpfaclem2  20050  fvmptnn04ifd  22836  lebnumii  24951  dyadf  25576  dyadovol  25578  dyaddisjlem  25580  dyadmaxlem  25582  opnmbllem  25586  mbfi1fseqlem1  25700  mbfi1fseqlem4  25703  mbfi1fseqlem5  25704  mbfi1fseqlem6  25705  itg2gt0  25745  itg2cnlem2  25747  dgrcolem2  26257  rtprmirr  26742  leibpi  26924  log2tlbnd  26927  birthdaylem3  26935  amgm  26972  emcllem2  26978  harmonicbnd4  26992  lgamgulmlem1  27010  basellem1  27062  basellem4  27065  basellem6  27067  dvdsflf1o  27168  fsumfldivdiaglem  27170  fsumvma2  27195  chpchtsum  27200  perfectlem2  27211  bposlem1  27265  bposlem2  27266  bposlem6  27270  lgsqrlem4  27330  lgseisenlem1  27356  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  2sqlem8  27407  chebbnd1lem3  27452  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrisumlema  27469  dchrisumlem1  27470  dchrisumlem3  27472  dchrisum0flblem2  27490  dchrisum0re  27494  logdivbnd  27537  pntpbnd1a  27566  pntpbnd1  27567  ostth2lem2  27615  ostth2lem3  27616  crctcsh  29910  clwwlknonex2  30197  minvecolem4  30969  cycpmrn  33224  fldextrspundgdvdslem  33864  eulerpartlemgc  34546  subfaclim  35416  cvmliftlem2  35514  cvmliftlem6  35518  cvmliftlem7  35519  cvmliftlem8  35520  cvmliftlem9  35521  cvmliftlem10  35522  cvmliftlem13  35524  knoppndvlem18  36835  knoppndvlem19  36836  knoppndvlem21  36838  poimirlem12  37999  poimirlem14  38001  poimirlem22  38009  opnmbllem0  38023  mblfinlem2  38025  lcmineqlem15  42528  aks4d1p1p3  42554  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p6  42566  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  posbezout  42585  aks6d1c1  42601  aks6d1c3  42608  aks6d1c4  42609  2ap1caineq  42630  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  aks6d1c6lem4  42658  aks6d1c7lem1  42665  unitscyglem4  42683  unitscyglem5  42684  oexpreposd  42799  flt4lem5e  43106  flt4lem6  43108  flt4lem7  43109  irrapxlem4  43270  irrapxlem5  43271  pellexlem2  43275  pellexlem6  43279  rmxypos  43392  jm2.17b  43406  jm2.17c  43407  jm2.27a  43450  jm2.27c  43452  jm3.1lem1  43462  jm3.1lem2  43463  jm3.1lem3  43464  relexpxpmin  44161  hashnzfz2  44765  sumnnodd  46075  stoweidlem1  46444  stoweidlem11  46454  stoweidlem26  46469  stoweidlem38  46481  stoweidlem42  46485  stoweidlem44  46487  stoweidlem51  46494  stoweidlem59  46502  stirlinglem3  46519  stirlinglem15  46531  dirkertrigeqlem3  46543  dirkercncflem2  46547  fourierdlem11  46561  fourierdlem14  46564  fourierdlem20  46570  fourierdlem25  46575  fourierdlem37  46587  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem64  46613  fourierdlem73  46622  fourierdlem79  46628  fourierdlem93  46642  etransclem35  46712  etransclem48  46725  qndenserrnbllem  46737  hoiqssbllem1  47065  hoiqssbllem2  47066  cjnpoly  47352  2timesltsq  47841  lighneallem4a  48086  proththdlem  48091  stgrusgra  48450  ztprmneprm  48838  expnegico01  49009  dignnld  49094