Theorem nngt0d 12287

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  0cc0 11127   < clt 11267  ℕcn 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14251  faclbnd5  14314  facubnd  14316  harmonic  15873  efcllem  16091  ege2le3  16104  eftlub  16125  eflegeo  16137  eirrlem  16220  bitsfzo  16452  sqgcd  16579  nn0expgcd  16581  prmind2  16702  nprm  16705  isprm5  16724  divdenle  16766  qnumgt0  16767  hashdvds  16792  odzdvds  16813  pythagtriplem11  16843  pythagtriplem13  16845  pythagtriplem19  16851  pcadd  16907  pcfaclem  16916  qexpz  16919  pockthlem  16923  pockthg  16924  prmreclem1  16934  prmreclem5  16938  4sqlem12  16974  4sqlem14  16976  4sqlem16  16978  vdwlem3  17001  vdwlem9  17007  ressmulgnnd  19059  psgnunilem3  19475  pgpfaclem2  20063  fvmptnn04ifd  22789  lebnumii  24914  dyadf  25542  dyadovol  25544  dyaddisjlem  25546  dyadmaxlem  25548  opnmbllem  25552  mbfi1fseqlem1  25666  mbfi1fseqlem4  25669  mbfi1fseqlem5  25670  mbfi1fseqlem6  25671  itg2gt0  25711  itg2cnlem2  25713  dgrcolem2  26230  rtprmirr  26720  leibpi  26902  log2tlbnd  26905  birthdaylem3  26913  amgm  26951  emcllem2  26957  harmonicbnd4  26971  lgamgulmlem1  26989  basellem1  27041  basellem4  27044  basellem6  27046  dvdsflf1o  27147  fsumfldivdiaglem  27149  fsumvma2  27175  chpchtsum  27180  perfectlem2  27191  bposlem1  27245  bposlem2  27246  bposlem6  27250  lgsqrlem4  27310  lgseisenlem1  27336  lgsquadlem1  27341  lgsquadlem2  27342  2sqlem8  27387  chebbnd1lem3  27432  rplogsumlem1  27445  rplogsumlem2  27446  rpvmasumlem  27448  dchrisumlema  27449  dchrisumlem1  27450  dchrisumlem3  27452  dchrisum0flblem2  27470  dchrisum0re  27474  logdivbnd  27517  pntpbnd1a  27546  pntpbnd1  27547  ostth2lem2  27595  ostth2lem3  27596  crctcsh  29752  clwwlknonex2  30036  minvecolem4  30807  cycpmrn  33100  fldextrspundgdvdslem  33667  eulerpartlemgc  34340  subfaclim  35156  cvmliftlem2  35254  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  cvmliftlem13  35264  knoppndvlem18  36493  knoppndvlem19  36494  knoppndvlem21  36496  poimirlem12  37602  poimirlem14  37604  poimirlem22  37612  opnmbllem0  37626  mblfinlem2  37628  lcmineqlem15  42002  aks4d1p1p3  42028  aks4d1p1p2  42029  aks4d1p1p4  42030  aks4d1p6  42040  aks4d1p8  42046  aks4d1p9  42047  posbezout  42059  aks6d1c1  42075  aks6d1c3  42082  aks6d1c4  42083  2ap1caineq  42104  sticksstones12a  42116  sticksstones12  42117  aks6d1c6lem4  42132  aks6d1c7lem1  42139  unitscyglem4  42157  unitscyglem5  42158  oexpreposd  42318  flt4lem5e  42626  flt4lem6  42628  flt4lem7  42629  irrapxlem4  42795  irrapxlem5  42796  pellexlem2  42800  pellexlem6  42804  rmxypos  42918  jm2.17b  42932  jm2.17c  42933  jm2.27a  42976  jm2.27c  42978  jm3.1lem1  42988  jm3.1lem2  42989  jm3.1lem3  42990  relexpxpmin  43688  hashnzfz2  44293  sumnnodd  45607  stoweidlem1  45978  stoweidlem11  45988  stoweidlem26  46003  stoweidlem38  46015  stoweidlem42  46019  stoweidlem44  46021  stoweidlem51  46028  stoweidlem59  46036  stirlinglem3  46053  stirlinglem15  46065  dirkertrigeqlem3  46077  dirkercncflem2  46081  fourierdlem11  46095  fourierdlem14  46098  fourierdlem20  46104  fourierdlem25  46109  fourierdlem37  46121  fourierdlem41  46125  fourierdlem48  46131  fourierdlem64  46147  fourierdlem73  46156  fourierdlem79  46162  fourierdlem93  46176  etransclem35  46246  etransclem48  46259  qndenserrnbllem  46271  hoiqssbllem1  46599  hoiqssbllem2  46600  lighneallem4a  47570  proththdlem  47575  stgrusgra  47919  ztprmneprm  48270  expnegico01  48442  dignnld  48531