Theorem nngt0d 12242

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 12224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  0cc0 11075   < clt 11215  ℕcn 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14207  faclbnd5  14270  facubnd  14272  harmonic  15832  efcllem  16050  ege2le3  16063  eftlub  16084  eflegeo  16096  eirrlem  16179  bitsfzo  16412  sqgcd  16539  nn0expgcd  16541  prmind2  16662  nprm  16665  isprm5  16684  divdenle  16726  qnumgt0  16727  hashdvds  16752  odzdvds  16773  pythagtriplem11  16803  pythagtriplem13  16805  pythagtriplem19  16811  pcadd  16867  pcfaclem  16876  qexpz  16879  pockthlem  16883  pockthg  16884  prmreclem1  16894  prmreclem5  16898  4sqlem12  16934  4sqlem14  16936  4sqlem16  16938  vdwlem3  16961  vdwlem9  16967  ressmulgnnd  19017  psgnunilem3  19433  pgpfaclem2  20021  fvmptnn04ifd  22747  lebnumii  24872  dyadf  25499  dyadovol  25501  dyaddisjlem  25503  dyadmaxlem  25505  opnmbllem  25509  mbfi1fseqlem1  25623  mbfi1fseqlem4  25626  mbfi1fseqlem5  25627  mbfi1fseqlem6  25628  itg2gt0  25668  itg2cnlem2  25670  dgrcolem2  26187  rtprmirr  26677  leibpi  26859  log2tlbnd  26862  birthdaylem3  26870  amgm  26908  emcllem2  26914  harmonicbnd4  26928  lgamgulmlem1  26946  basellem1  26998  basellem4  27001  basellem6  27003  dvdsflf1o  27104  fsumfldivdiaglem  27106  fsumvma2  27132  chpchtsum  27137  perfectlem2  27148  bposlem1  27202  bposlem2  27203  bposlem6  27207  lgsqrlem4  27267  lgseisenlem1  27293  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  2sqlem8  27344  chebbnd1lem3  27389  rplogsumlem1  27402  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrisumlema  27406  dchrisumlem1  27407  dchrisumlem3  27409  dchrisum0flblem2  27427  dchrisum0re  27431  logdivbnd  27474  pntpbnd1a  27503  pntpbnd1  27504  ostth2lem2  27552  ostth2lem3  27553  crctcsh  29761  clwwlknonex2  30045  minvecolem4  30816  cycpmrn  33107  fldextrspundgdvdslem  33682  eulerpartlemgc  34360  subfaclim  35182  cvmliftlem2  35280  cvmliftlem6  35284  cvmliftlem7  35285  cvmliftlem8  35286  cvmliftlem9  35287  cvmliftlem10  35288  cvmliftlem13  35290  knoppndvlem18  36524  knoppndvlem19  36525  knoppndvlem21  36527  poimirlem12  37633  poimirlem14  37635  poimirlem22  37643  opnmbllem0  37657  mblfinlem2  37659  lcmineqlem15  42038  aks4d1p1p3  42064  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p6  42076  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  posbezout  42095  aks6d1c1  42111  aks6d1c3  42118  aks6d1c4  42119  2ap1caineq  42140  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  aks6d1c6lem4  42168  aks6d1c7lem1  42175  unitscyglem4  42193  unitscyglem5  42194  oexpreposd  42317  flt4lem5e  42651  flt4lem6  42653  flt4lem7  42654  irrapxlem4  42820  irrapxlem5  42821  pellexlem2  42825  pellexlem6  42829  rmxypos  42943  jm2.17b  42957  jm2.17c  42958  jm2.27a  43001  jm2.27c  43003  jm3.1lem1  43013  jm3.1lem2  43014  jm3.1lem3  43015  relexpxpmin  43713  hashnzfz2  44317  sumnnodd  45635  stoweidlem1  46006  stoweidlem11  46016  stoweidlem26  46031  stoweidlem38  46043  stoweidlem42  46047  stoweidlem44  46049  stoweidlem51  46056  stoweidlem59  46064  stirlinglem3  46081  stirlinglem15  46093  dirkertrigeqlem3  46105  dirkercncflem2  46109  fourierdlem11  46123  fourierdlem14  46126  fourierdlem20  46132  fourierdlem25  46137  fourierdlem37  46149  fourierdlem41  46153  fourierdlem48  46159  fourierdlem64  46175  fourierdlem73  46184  fourierdlem79  46190  fourierdlem93  46204  etransclem35  46274  etransclem48  46287  qndenserrnbllem  46299  hoiqssbllem1  46627  hoiqssbllem2  46628  lighneallem4a  47613  proththdlem  47618  stgrusgra  47962  ztprmneprm  48339  expnegico01  48511  dignnld  48596